Centro di massa

Il centro di massa di una sfera / disco uniforme si trova al centro di quella sfera / disco (questo potrebbe sembrare banale, ma questo è vero solo per i casi in cui la distribuzione della massa è sfericamente simmetrica). Il centro di massa può essere visto come una rappresentazione collettiva dell'intero corpo da un singolo punto (si noti che questo non è strettamente vero, ma per i nostri scopi aiuterà a costruire qualche intuizione di base). Allo stesso modo, il centro di massa di un cubo / piatto quadrato uniforme si trova al centro del piatto cubo / quadrato.

Energia potenziale gravitazionale

L ' energia potenziale gravitazionale di un oggetto è data da

$$ U = mg (h _ {\ text {COM}}) \ tag {1} $$

dove $ m $ è la massa del corpo, $ g $ è l'accelerazione gravitazionale e $ h _ {\ text {COM}} $ è l'altezza del centro di massa. Nell'equazione $ (1) $ , abbiamo assunto che l'energia potenziale fosse $ 0 $ al livello del suolo cioè $ h _ {\ text {COM}} = 0 $ . Ora, per sollevare un corpo in modo che il suo centro di massa si sposti da un'altezza $ h_1 $ a un'altezza $ h_2 $ , abbiamo bisogno di fare un lavoro che sia uguale al cambiamento nell'energia potenziale del corpo:

$$ W = \ Delta U = mg (h_2-h_1) $$

Rolling Square

Come puoi vedere nella GIF qui sotto, il quadrato rotolante ha una sorta di movimento rotatorio traballante. Traballante nel senso che il suo centro di massa si alza e si abbassa, si alza e si abbassa e si accende.

^{Fonte di animazione}

Quindi, come abbiamo calcolato sopra, dobbiamo fare del lavoro per aumentare l'altezza del centro di massa del quadrato (c'è un angolo specifico, $ 45 ^ {\ circ} $ span> in questo caso, fino a che devi ruotare il quadrato se vuoi che rotoli. Se ruoti il ​​quadrato di un angolo inferiore, allora il quadrato ricadrà). E una volta che il baricentro raggiunge l'altezza massima, cade da solo dall'altra parte e l'energia cinetica acquisita dal quadrato durante la caduta viene dissipata come energia sonora e termica a causa della natura anelastica di collisione del quadrato con il terreno. Ora dovresti di nuovo alzare il centro di massa del quadrato per farlo rotolare. Questo processo consiste nel dare continuamente energia per sollevare il centro di massa e poi perdere energia a causa della caduta del quadrato a terra. E questo rende davvero difficile il rotolamento di un quadrato.

Perché subisce collisioni anelastiche?

Il quadrato tende a perdere più energia a causa di collisioni anelastiche rispetto a un disco circolare a causa di un'area più ampia della superficie a contatto con il suolo. Questo è simile al caso di uno pneumatico per bicicletta. Quando il pneumatico è gonfiato, è sferico e quindi ha una minore sono a contatto con il suolo con conseguente minore perdita di energia, mentre uno pneumatico sgonfio ha un'area più ampia a contatto con il suolo che lo rende più incline a collisioni anelastiche.

Cerchio rotante

Quando un cerchio / sfera rotola, l'altezza del centro di massa rimane la stessa per tutto il movimento a causa della simmetria della forma. Puoi anche vederlo nella GIF qui sotto.

^{Fonte di animazione}

Ciò significa che nessuna dell'energia che forniamo viene sprecata nel modificare l'altezza del centro di massa. E tutta l'energia viene utilizzata per accelerare la sfera / cerchio, il che ci fa sentire facilmente rotolare più velocemente.

Perché il suo centro di massa rimane alla stessa altezza?

Per motivi di rigore, dimostriamo che un cerchio è l'unica forma 2D che ha la proprietà che il suo centro di massa rimane alla stessa altezza quando rotola. Per prima cosa supponiamo che esista un'altra forma (non un cerchio) che ha anche questa proprietà. Ciò implica che indipendentemente da come si posiziona quella forma sul terreno (ovviamente, non possiamo semplicemente appoggiarla in piano), il centro di massa rimarrà sempre ad un'altezza costante. Ciò significa che la distanza tra il suolo e il centro di massa sarà sempre la stessa. Il che quindi implica che la distanza tra il punto limite che tocca il suolo e il centro di massa sarà sempre la stessa. Tuttavia questo è vero per tutti i punti di confine, poiché tutti i punti di confine possono essere fatti toccare il suolo (ancora una volta stiamo assumendo una forma convessa). Ciò implica che tutti i punti di confine siano alla stessa distanza dal centro di massa. Ciò significa che i punti di confine giacciono su un cerchio centrato al centro di massa del corpo. E così la forma desiderata non può essere altro che un disco circolare.

Momento di inerzia

Anche il momento di inerzia ha un ruolo da svolgere qui. Si può dimostrare che per una data area costante di qualsiasi forma 2D, un disco circolare avrebbe il momento di inerzia più basso (assumendo che tutte le forme siano realizzate con gli stessi materiali / densità). Ciò significa che sarebbe un po 'più facile far rotolare un disco circolare rispetto a qualsiasi altra forma 2D. Un argomento simile vale per le forme 3D, tuttavia, qui manterremo il volume (l'analogo 3D dell'area) costante variando la forma. Ma qui, in teoria, un cilindro con un raggio infinitamente piccolo e una lunghezza infinitamente grande avrà il momento di inerzia più basso.

Addendum

Per superfici speciali, puoi persino far ruotare un quadrato come una sfera. Guarda la GIF di seguito.

^{Fonte di animazione}

Come puoi vedere, se usiamo una superficie composta da curve catenarie invertite, possiamo persino fare un rotolo quadrato.Per vedere perché questo è vero, puoi controllare la derivazione qui.

Inoltre, come suggerito da questa risposta, curve di larghezza costante sono anche buoni candidati quando si tratta di rotolare.Quindi, in senso stretto, il cerchio non è l'unica forma che può rotolare su una superficie piana.Tuttavia è molto meglio di un quadrato quando si tratta di rotolare.

In una condizione ideale di non scivolamento, la palla continua a rotolare all'infinito dopo un calcio o una spinta iniziale. Dopo che sta rotolando, non è necessario applicare forza esterna, non è necessaria alcuna energia esterna.

Il blocco non può continuare a rotolare. Affinché possa ruotare, è necessario sollevare il centro di massa di $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2} a $ ( $ a $ è la lunghezza di un lato), che richiede $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2 } mga $ energia. Dopo averlo ruotato di 45 gradi, può ribaltarsi sull'altro lato, spostandosi di altri 45 gradi. Quando il blocco colpisce il suolo, perde la sua energia cinetica in energia termica e deve essere sollevato di nuovo.

Energeticamente parlando, uno non ha bisogno di energia mentre l'altro ha bisogno di una quantità finita di energia ad ogni ciclo. Questa è una differenza tra finite e none. Come hai detto, se continui a spingerli con la stessa forza, la palla continuerà ad accelerare. Cercare di accelerare il blocco sarebbe molto frustrante. Quindi, in termini di velocità nel lungo periodo, hanno una differenza di velocità di infinite (dimentica Einstein per ora) e finite.

Come confronti infinito e finito? Come fai a confrontare finito e nessuno?

Diciamo che ho questi oggetti di uguale dimensione ...

Prima contro domanda: cosa significa "dimensione uguale"?

• Il diametro del cerchio è uguale alla lunghezza del bordo del quadrato
• Il quadrato e il cerchio hanno la stessa area

Dimostra matematicamente che gli oggetti rotondi rotolano più velocemente

Anche nei primi 90 gradi in cui non abbiamo collisioni (vedi la risposta di David Browne) il cerchio è più veloce:

Supponiamo che la lunghezza del bordo del quadrato sia $ a $ .

Quindi il momento di inerzia del quadrato che ruota attorno al suo bordo è:

$$ J = (\ frac16 + \ frac12) ma ^ 2 $$

Il tempo necessario al quadrato per ruotare di un angolo di $ \ alpha $ può ora essere calcolato come:

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ alpha J} {M} = \ frac {4 \ alpha ma ^ 2} {3 M} $$ span >

I simboli hanno il seguente significato:

$$ \ begin {array} {ll} \ alpha & \ text {Angolo di rotazione} \\ J & \ text {Momento di inerzia} \\ M & \ text {Coppia} \\ m & \ text {Massa del quadrato} \\ a & \ text {Lunghezza del bordo del quadrato} \\ t & \ text {Tempo necessario per la rotazione} \ end {array} $$

Diamo un'occhiata solo al tempo necessario per i primi 90 gradi di rotazione, il che significa che il quadrato si sposta della distanza $ a $ :

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ pi} {3} \ frac {ma ^ 2} {M} $$

Ora esaminiamo il cerchio con la stessa area del quadrato:

Ciò significa che il raggio di questo cerchio è $ r = \ frac {a} {\ sqrt \ pi} $ .

Il momento di inerzia è $ J = \ frac32mr ^ 2 = \ frac3 {2 \ pi} ma ^ 2 $ .Il cerchio deve ruotare di un angolo di $ \ alpha = \ sqrt \ pi $ per spostare una distanza di $ a $ .

Quindi il tempo necessario per spostare una distanza di $ a $ è:

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ alpha J} {M} = \ frac3 {\ sqrt {\ pi}} \ frac {ma ^ 2} {M} $$

E ora possiamo confrontare il tempo necessario:

$$ \ frac3 {\ sqrt {\ pi}} < \ frac {2 \ pi} {3} $$

Ciò significa che il cerchio ha bisogno di meno tempo per rotolare per una distanza di $ a $ .

Matematicamente, un cerchio è la forma unica del perimetro minimo rispetto all'area chiusa.Pertanto, poiché ogni volta che ruota percorre una distanza pari al suo perimetro, impiega un tempo di rotazione inferiore rispetto a qualsiasi altra forma.

Insieme al fatto che l'asse non si muove mai su e giù, ciò implica che richiede la minima quantità di forza per viaggiare (in un ambiente ideale).

Gli oggetti Circular non sono i più veloci.

Ad esempio, utilizza un trilobato.(O qualsiasi altra forma convessa liscia.)

Inizia nell'orientamento mostrato in quella pagina di Wikipedia.Questo è l'orientamento in cui il suo centro di massa è più alto.Quindi generalmente rotolerà più velocemente del cerchio a causa di aver convertito parte della sua energia potenziale in energia cinetica.Solo negli istanti in cui il suo centro di massa è tornato all'altezza originale, procederà lentamente come il cerchio.

Anche il tuo esempio di quadrato andrà più veloce del cerchio, se sostituisci i lati piatti con lati leggermente sporgenti e arrotondi leggermente gli angoli e lo ruoti di 45 ° in modo che inizi "in piedi su un angolo".

Ci sono due differenze tra il cerchio e il quadrato che causano. Il primo è il momento di inerzia. Nello spazio libero, una data coppia sulla squadra e sulla ruota non ti darà la stessa accelerazione angolare. L'equazione è Coppia = Momento di inerzia X accelerazione angolare. Il momento di inerzia può essere calcolato o trovato in una tabella.

Tuttavia, il motivo principale per cui c'è una differenza tra le due ruote è che quando si passa da una rotazione attorno a un vertice a un altro del vertice, si verifica una massiccia perdita di energia quando si frantuma il pneumatico quadrato il terreno ogni volta che giace con un lato parallelo al suolo. Quindi, lo slancio e il rimbalzo lo trasportano mentre ruota sul vertice successivo.

Se dimentichi per un momento la tua coppia esterna e consideri cosa succede quando cambi punto di rotazione, vedrai che in pratica devi prendere un oggetto il cui centro di massa si muove in diagonale verso il basso e in avanti per un movimento con il centro di massa che si sposta in alto e in avanti. Per fare ciò, è necessario esercitare una forza nel punto di contatto che ridurrà la quantità di moto in avanti della ruota quadrata. Il problema è che qualsiasi soluzione esatta dipenderà da molte ipotesi su come avviene la transizione dalla rotazione attorno a un vertice all'altro. Ogni ipotesi ti darà una risposta diversa. Non esiste una risposta "universale". Dipenderà dalle proprietà del tuo pneumatico.

Una soluzione realistica richiederebbe probabilmente la modellazione agli elementi finiti per vedere come il pneumatico si deforma quando colpisce il suolo, il che può portare a una perdita di energia per isteresi se il pneumatico è fatto di gomma. Ma anche per ruote perfettamente rigide, ci sarà una certa perdita di slancio.

Un approccio che può funzionare è presumere che ci sia un coefficiente che descrive quanta energia si perde ad ogni "passo", quando si colpisce il suolo. Il calcolo di questo coefficiente dai primi principi probabilmente non è necessario per il tuo scopo.

Una buona discussione su tutto questo può essere trovata in Mcdonald, Kirk.(2008).Matita esagonale che rotola su un piano inclinato.Dinamiche regolari e caotiche.13. 332-343.10.1134 / S1560354708040072.Questo sembra essere disponibile gratuitamente dall'autore su http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/pencil.pdf.Si riferisce principalmente agli esagoni, ma vengono trattate altre forme e i concetti principali rimangono gli stessi.

A proposito, non so se sei stato ispirato da questo, ma Mythbusters ha fatto ruote quadrate. https://www.youtube.com/watch?v=CIN8Q_4iaxU funziona in questo momento, ma un'adeguata ricerca su Google può rivelare cosa è successo se il collegamento è interrotto.

Ignorando le perdite di energia, mettiamo il cerchio e il quadrato ciascuno su una linea piatta inclinata separata, con i loro centri di massa ad altezze uguali rispetto al suolo orizzontale. Il quadrato si trova su uno dei suoi lati e l'angolo di inclinazione di entrambe le linee (che sono le linee di riferimento per gli angoli futuri) è $ \ frac {1} {4} \ pi $ (o solo un po 'sopra).

Per confrontare le velocità lineari di un quadrato 2d e di una ruota 2d, supportate da una linea in un campo di gravità, quando una forza (in questo caso fornita dalla gravità, e lo stesso sia per la ruota che per il quadrato: puntando parallelamente alla linea inclinata con un valore $ \ sqrt {\ frac {1} {2}} \ times 10 = 7N $ ) è applicato su di essi, è logico assumiamo che il quadrato e la ruota abbiano massa uguale, $ m $ (e densità di massa). Questa condizione significa che ogni lato del quadrato, $ S_s $ , è $ \ sqrt {\ pi} $ span > volte il raggio della ruota, $ R_w $ . Cioè $ S_s = \ sqrt {\ pi} R_w $ . La metà della diagonale del quadrato, $ D $ , ha valore $ D = \ sqrt {\ frac {1} {2 } \ pi} R_w $ .

Formule utili:

Momenta di inerzia per la ruota e il quadrato (il quadrato ruota attorno a un asse perpendicolare a uno dei suoi punti angolari mentre il quadrato ruota attorno ai punti di contatto momentanei, quindi possiamo usare il teorema dell'asse parallelo):
$ I_w = (\ frac {1} 2 + 1) m {R_w} ^ 2 = \ frac {3} {2} m {R_w} ^ 2 $ $ I_s = (\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}) m {S_s} ^ 2 = (\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}) \ pi m {R_w} ^ 2 $

Le coppie per la ruota e la squadra (la forza di gravità che tira sul CM sia della ruota che della squadra):
$ \ vec {\ tau} _w = - \ vec {F_g} \ times \ vec {R_w} $ erano entrambi $ - \ vec {F_g} $ e $ \ vec {R_w} $ iniziano nel punto di contatto tra la linea su cui si trovano e la ruota e sono sempre perpendicolari tra loro. Il vettore (pseudo) $ \ vec {\ tau} _w $ punta nello schermo e la sua lunghezza è $ 7mR_w $ .
$ \ vec {\ tau} _s = - \ vec {F_g} \ times \ vec {D} $ , dove $ - \ vec {F_g} $ e $ \ vec {D} $ iniziano nel punto di contatto tra il quadrato e la linea. In questo caso, entrambi i vettori hanno un angolo $ \ theta $ tra loro che varia tra gli angoli $ \ frac {1} { 4} \ pi $ e $ \ frac {3} {4} \ pi $ . Ancora una volta il vettore di coppia (pseudo) punta nello schermo e la sua lunghezza è $ 7m \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w sin \ theta $ . L'integrale di $ sin \ theta $ tra l'angolo $ \ frac {1} {4} \ pi $ span > e l'angolo $ \ frac {3} {4} \ pi $ è $ 1,4 $ quindi la coppia è ridotta a $ 7m \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w 1,4 $ .
Quindi la coppia esercitata sul quadrato $ {\ tau} _s $ è di circa $ 1,75 = 1,25 (= \ sqrt {{\ frac {1} {2}} {\ pi}}) \ times 1,4 $ grande quanto la coppia sulla ruota $ {\ tau } _w $ : $ {\ tau} _s = 1,75 {\ tau} _w $

Ora, $ I_s = 3,6I_w $

Quindi per il valore dell'accelerazione angolare della ruota e del quadrato abbiamo:
1) $ {\ omega} '_ w = \ frac {\ tau_w} {I_w} $
2) $ {\ omega} '_ s = \ frac {1,75 \ tau_w} {3,61 {I_w}} = 0,48 {\ frac {{\ tau} _w } {I_w}} $

Sia il cerchio che il quadrato sono tenuti fermi da un dispositivo (puoi pensare da solo come è fatto) che li rilascerà premendo un pulsante. Questo è necessario perché è chiaro che il cerchio inizia già a muoversi quando la linea è solo un po 'inclinata rispetto a. la linea orizzontale.

Ora premi il pulsante. Il centro di massa del quadrato si muoverà così sulla curva catenaria come mostrato nella prima risposta sopra (con qualche bella grafica), con la differenza che la curva catenaria ha un angolo di 45 gradi con l'orizzontale, quindi il centro di la massa non sale mai. Si sposta di 45 gradi su un cerchio con raggio $ \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} $ volte il raggio del cerchio (metà della diagonale del quadrato) tra 0 gradi in orizzontale e 45 gradi verso il basso (parallelamente alla linea inclinata). Dopodiché si ripete lo stesso quarto di cerchio.

Potrebbe essere chiaro che quando confrontiamo le accelerazioni angolari di una ruota (equazione 1) sopra) e di un quadrato con la stessa massa (equazione 2) sopra), l'accelerazione angolare per la ruota è quasi il doppio di grande come quello per il quadrato, quindi la ruota arriva per prima lungo la linea.
Le automobili usano le ruote invece dei quadrati perché le ruote hanno la forma per dare loro la massima velocità angolare con la stessa coppia. E quindi il modo più semplice per dare velocità lineare all'auto mediante un meccanismo di trasformazione. Per raggiungere una certa velocità un'auto con ruote ha bisogno di meno carburante.

Per inciso, supponiamo che la linea rialzata di 45 gradi sia trasformata in una curva catenaria come mostrato nella prima domanda.In questo caso, la ruota e il cerchio cambieranno posizione nella misura in cui la domanda su quale delle due arriva prima (e quindi ha la velocità lineare più alta).È ovviamente vero che per la massa più arbitrariamente formata una tale curva catenaria non esiste.È solo un sottoinsieme molto piccolo di 2d-figure, come poligoni o cerchi con parti uguali equidistanti di cerchi incollate ad esso.

Mi sono piaciute molto le risposte di FakeMod e LukeLYU. Questa è un'estensione e una generalizzazione.

Atteniamoci a forme idealizzate e presumiamo che non venga immessa alcuna energia aggiuntiva oltre a quella richiesta per avviare il movimento.

Quando alzi il quadrato per stare in piedi sul suo angolo, non continuerà a rotolare automaticamente. Deve usare parte della sua energia per superare quel punto, perché l'angolo è un punto speciale corrispondente a un punto di flessione (equilibrio metastabile) nel PE. Questa curva potenziale avrà una serie di punti come i rotoli quadrati. Per simmetria, per un corpo uniforme, tutti questi punti di flessione sono equivalenti nel senso che la forma della curva potenziale "vicino" all'estremità locale è la stessa.

Allo stesso modo, affinché le superfici piane continuino a rotolare, l'energia deve essere spesa per passare e mentre passa attraverso ogni punto perderà energia (solo qui la perdita potenziale è più profonda) La PE diminuirà, rallentando e alla fine si fermerà la piazza di spostarsi ulteriormente.

Per un cerchio non esiste un tale punto di flessione. Tutti i punti sulla superficie sono equivalenti e poiché non esiste un punto speciale, non esiste un estremo. Una volta iniziato a rotolare, continuerà a rotolare senza alcuna forza applicata aggiuntiva. (Newton 1)

Possiamo estendere questo argomento ai poligoni. Smussa ogni angolo in modo uguale, quindi non solo ogni vertice corrisponde a un punto di flessione, ma anche ciascuna delle nuove superfici piatte che abbiamo creato. Di nuovo per simmetria, ma in ogni punto di flessione l'energia viene persa, ma la perderà più rapidamente.

[Se continui questo processo fino alla nausea, tuttavia non ottieni un cerchio! Poiché il gruppo che rappresenta le traslazioni di un cerchio è continuo, SO (2), e quello che rappresenta quelle di un n-gon è finito (D2n), non si ottengono le stesse dinamiche.]

Sfruttando argomenti simili possiamo considerare analoghi n-dimensionali, ma dobbiamo stare attenti: ad esempio un cilindro in 3D ha un asse preferito (la sua lunghezza) e non è un analogo di un cerchio in questo senso, tuttavia unLa 3-sfera è e avrà dinamiche simili, perché non ha simmetria continua.

La tua domanda non dice nulla sulla presenza o meno di un campo gravitazionale o di un altro campo potenziale che ho supposto esista.Se non esiste un tale campo e nessuna perdita, ovviamente i tuoi oggetti continueranno per sempre.

La velocità con cui si muovono gli oggetti dipende ovviamente dall'impulso applicato.Tuttavia con un potenziale campo anche in un ambiente senza attrito tutti gli n-gons perderanno energia e si fermeranno, a causa delle perdite in PE.

C'è un fattore che non credo nessuno abbia menzionato finora.È stato sottolineato che quando il quadrato ruota, oscilla su e giù.Quando si sale la forza è fornita dalla coppia che la guida.La forza richiesta per accelerare il quadrato verso l'alto dipenderà dalla sua velocità di rotazione.Più veloce è la rotazione, maggiore è la forza richiesta.Quando ci si sposta verso l'alto possiamo presumere che questa forza possa essere fornita dalla coppia che guida la rotazione.Quando ci si sposta verso il basso, tuttavia, la forza è fornita dalla gravità.Questo è ovviamente limitato dalla costante gravitazionale.Quindi, poiché il quadrato ruota più velocemente, arriverà un punto in cui la gravità non è sufficiente per tenerlo a contatto con il suolo.A questo punto la coppia sulla squadra non sarà più tradotta in avanzamento.Quindi, al di sopra di questo limite, anche supponendo che non ci siano perdite dovute a collisioni non elastiche, la ruota circolare accelererà più velocemente.

Se consenti un cambio a stella eccentrico come un motore Wankle, nessuno dei due ha un centro di massa mobile.Il quadrato si consumerebbe più velocemente a causa del carico non uniforme (stesso problema delle guarnizioni del motore Wankle).

Penso che in condizioni perfette, il quadrato e il cerchio rotolano ALLA STESSA VELOCITÀ.La ragione di ciò è che nella vita reale, un cerchio rotolerà più velocemente di un quadrato per motivi di attrito: l'energia cinetica del quadrato si perderà più velocemente dell'energia del cerchio a causa della sua forma e andrà all'energia termica.Ma in condizioni perfette, senza attrito, non c'è motivo per cui il quadrato rotoli più lentamente del cerchio, tranne se l'energia che gli applichi è inferiore a quella necessaria in modo che si capovolga di 45 gradi, ma se non è così,l'energia potenziale andrà in energia cinetica e viceversa per sempre, spostando il quadrato meno regolarmente ma ad una media pari al cerchio.Penso che questa domanda sia un problema di intuizione di come avvengono le cose in "condizioni perfette", allo stesso modo in cui due oggetti cadono alla stessa velocità quando non c'è attrito d'aria.