Domanda:
Perché funzioni di correlazione?
Kostya
2011-01-17 22:10:29 UTC
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Sebbene questo concetto sia ampiamente utilizzato in fisica, è davvero sconcertante (almeno per i principianti) che devi solo moltiplicare due funzioni (o la funzione da sola) a valori diversi del parametro e quindi fare la media nel dominio la funzione che mantiene la differenza tra questi parametri:
$$ C (x) = \ langle f (x '+ x) g (x') \ rangle $$

C'è qualche illustrazione relativamente semplice esempi che danno l'intuizione sulle funzioni di correlazione in fisica?

Quattro risposte:
#1
+41
Luboš Motl
2011-01-17 22:27:48 UTC
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La funzione di correlazione che hai scritto è una correlazione completamente generale di due quantità, $$ \ langle f (X) g (Y) \ rangle $$ Devi solo usare il simbolo $ x '$ per $ Y $ e il simbolo $ x + x '$ per $ X $.

Se l'ambiente - il vuoto o il materiale - è tradizionalmente invariante, significa che le sue proprietà non dipendono dalle traduzioni complessive. Quindi, se modifichi $ X $ e $ Y $ dello stesso importo, ad es. di $ z $, la funzione di correlazione non cambierà.

Di conseguenza, puoi spostare di $ z = -Y = -x '$, il che significa che il nuovo $ Y $ sarà zero. Quindi $$ \ langle f (X) g (Y) \ rangle = \ langle f (XY) g (0) \ rangle = \ langle f (x) g (0) \ rangle $$ Come puoi vedere, per la traduzione sistemi simmetrici, la funzione di correlazione dipende solo dalla differenza delle coordinate, ovvero dalla separazione degli argomenti di $ f $ e $ g $, che nel tuo caso è uguale a $ x $.

Quindi dovrebbe avere ha spiegato la dipendenza da $ x $ e $ x '$.

Ora, cos'è un correlatore? Classicamente, è una media sulla distribuzione probabilistica $$ \ langle S \ rangle = \ int D \ phi \, \ rho (\ phi) S (\ phi) $$ Ciò vale per $ S $ essendo il prodotto di più quantità , pure. L'integrale copre tutte le possibili configurazioni del sistema fisico e $ \ rho (\ phi) $ è la densità di probabilità della particolare configurazione $ \ phi $.

In meccanica quantistica, la funzione di correlazione è l'aspettativa valore nello stato effettivo del sistema - solitamente lo stato fondamentale e / o uno stato termico. Per uno stato fondamentale puro, abbiamo $$ \ langle \ hat {S} \ rangle = \ langle 0 | \ hat {S} | 0 \ rangle $$ dove il vettore 0-ket è lo stato fondamentale, mentre per uno stato termico espresso da una matrice di densità $ \ rho $, la funzione di correlazione è definita come $$ \ langle \ hat {S} \ rangle = \ mbox {Tr} \, (\ hat {S} \ hat {\ rho}) $$ Ebbene, le funzioni di correlazione sono funzioni che conoscono la correlazione delle quantità fisiche $ f $ e $ g $ in due punti. Se la correlazione è zero, sembra che le due quantità siano indipendenti l'una dall'altra. Se la correlazione è positiva, è probabile che le due quantità abbiano lo stesso segno; più è positivo, più sono correlati. Sono correlate con i segni opposti se la funzione di correlazione è negativa.

Nella teoria quantistica dei campi, le funzioni di correlazione di due operatori - proprio come hai scritto - sono note come propagatori ed è l'espressione matematica che sostituisce tutte le linee interne dei diagrammi di Feynman. Ti dice qual è l'ampiezza di probabilità che la particella corrispondente si propaga dal punto $ x + x '$ al punto $ x' $. Di solito è diverso da zero solo all'interno del cono di luce e dipende solo dalla differenza delle coordinate. Un'eccezione è il Feynman Propagator in QED. È diverso da zero anche all'esterno del cono di luce, ma invoca le anti-particelle, che annullano questo contributo diverso da zero al di fuori del cono di luce e preservano la causalità.

Le funzioni di correlazione che coinvolgono un numero positivo arbitrario di operatori sono note come Funzioni di Green o $ n $ punti se un prodotto di $ n $ quantità si trova tra parentesi. In un certo senso, le funzioni $ n $ -point sanno tutto sulle quantità dinamiche calcolabili che descrivono il sistema fisico. Il fatto che tutto possa essere espanso in funzioni di correlazione è una generalizzazione delle espansioni di Taylor al caso di infinite variabili.

In particolare, l'ampiezza di diffusione per $ n $ particelle esterne (il numero totale, comprese quelle in entrata e in uscita) può essere calcolata dalle funzioni $ n $ punti. I diagrammi di Feynman menzionati in precedenza sono un metodo per eseguire questo calcolo in modo sistematico: un complicato correlatore può essere riscritto in una funzione delle funzioni a 2 punti, i propagatori, contratti con i vertici di interazione.

Ci sono molte parole descrivere fisicamente una funzione di correlazione in vari contesti, come le funzioni di risposta, ecc. L'idea è di inserire un'impurità o un segnale in $ x '$, che è il tuo $ g (x') $, e studiare quanto il il campo $ f (x + x ') $ nel punto $ x + x' $ è influenzato dall'impurità $ g (x ') $.

#2
+26
Robert Filter
2011-01-17 22:57:09 UTC
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un esempio intuitivo per le funzioni di correlazione può essere visto nella speckle metrologia del laser.

Se si illumina una superficie ruvida rispetto alla lunghezza d'onda, il segnale riflesso risultante sarà in qualche modo casuale . Questo può anche essere affermato in quanto non è possibile dire da un punto di un segnale l'aspetto di uno vicino: sono non correlati . Tale campo viene spesso definito motivo maculato .

Questo fatto può essere utilizzato. Supponiamo di prendere un'immagine $ A (x, y) $ di un tale campo sparso casuale, un movimento dell'immagine $$ (x, y) \ rightarrow (x + \ delta_x, y + \ delta_y) = (x ', y' ) $$ quindi $$ B (x, y) \ approx A (x ', y') $$

sarà chiaramente visibile e poiché tutte le informazioni sono statistiche, si trova che

$$ C (\ Delta_x, \ Delta_y) = \ int B (x, y) A (x + \ Delta_x, y + \ Delta_y) dx dy $$

avrà solo un "grande "contributo a $ (\ Delta_x, \ Delta_y) \ equiv (\ delta_x, \ delta_y) $ di qualche forma con il picco. L ' ampiezza del picco sarà data da alcune proprietà fisiche dell'illuminazione, rugosità della superficie ecc. - corrisponde direttamente alla variazione locale del campo.

Se ora avessimo nel campo qualche variazione periodica potremmo vedere che $ C $ avrà diversi picchi corrispondenti all'immagine (o al campo) auto-similarità .

Quindi, analizzare la correlazione di una quantità ti darà informazioni su quanto velocemente cambia e se è in qualche modo auto-simile.
Spero non ti dispiaccia che ho scelto un'applicazione in arrivo da un punto di vista più pratico .

Cordiali saluti

Robert

PS .: Si può trovare di più in tutti i ricchissimi lavori realizzati da Goodman.

Potresti specificare cos'è $ B (x, y) $?Stai scrivendo "così" dopo di che segue una dichiarazione su $ B $ ma non avevi nemmeno menzionato $ B $ prima.
@balu: $ B $ corrisponde alla sorgente, campo "unscattered"
#3
+23
Dragan Huterer
2011-01-18 11:09:14 UTC
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Ottima domanda, Kostya. Lubos ha già fornito una risposta dettagliata utilizzando argomenti generali nel linguaggio della QFT.

In astrofisica e cosmologia, tuttavia, c'è un'altra ragione, e molto semplice, per cui usiamo le funzioni di correlazione tutto il tempo. Risulta che il valore medio della funzione $ f (\ vec {x}) $, denotato $ \ langle f (\ vec {x}) \ rangle $, spesso non può essere previsto dal modello teorico (es. Modello bang con stadio inflazionistico all'inizio, materia oscura fredda negli ultimi tempi, ecc ... o qualsiasi altro modello si desideri considerare) - mentre la sua correlazione $ \ langle f (\ vec {x}) f (\ vec {y} ) \ rangle $ può essere previsto. Qui $ f $ può riferirsi a qualsiasi quantità osservabile cosmologica, e $ \ vec {x} $ e $ \ vec {y} $ si riferiscono a coordinate spaziali.

L'esempio più comune sarebbe considerare l'eccesso densità della materia oscura, $ f (\ vec {x}) \ equiv \ delta \ rho (\ vec {x}) / \ rho $, dove $ \ rho $ è la densità media (le cui unità sono chilogrammi per metro cubo per esempio) e $ \ delta \ rho (\ vec {x}) $ è l'eccesso di sovra o sottodensità nella posizione $ \ vec {x} $ e su alcune regioni che non specificherò per semplicità dell'argomento . Per definizione, la media di $ f $ è zero, quindi indichiamo esplicitamente che non siamo interessati alla media (in alternativa, non possiamo ottenere facilmente la densità media dell'universo dai principi primi). Ma la funzione di correlazione, $ \ langle \ delta \ rho (\ vec {x}) \ delta \ rho (\ vec {y}) / \ rho ^ 2 \ rangle $ può essere correlata a parametri fondamentali dell'universo, in particolare dettagli dell'epoca inflazionistica, densità della materia oscura, ecc. I dettagli di questo sono coinvolti, e vengono insegnati in un corso di laurea in cosmologia. Basti dire che la teoria predice non la media della funzione (funzione di correlazione a 1 punto), ma piuttosto le sue (co) varianze (funzione di correlazione a 2 punti).

Intuitivamente, la funzione di correlazione a due punti di $ \ delta \ rho / \ rho $ è correlata alla "probabilità che, data una regione eccessivamente densa di materia oscura nella posizione $ \ vec {x} $, ci sia un'eccessiva densità regione nella posizione $ \ vec {y} $ ", e questa probabilità è determinata dalla buona vecchia legge di gravità e può essere prevista dai primi principi.

La teoria in linea di principio predice anche i 3 punti (ad es. $ \ langle f (\ vec {x}) f (\ vec {y}) f (\ vec {z}) \ rangle $, e funzioni di correlazione di punto più alto, ma sono più difficili da calcolare teoricamente e da misurare osservativamente. Tuttavia, esiste un fiorente sottocampo nella fisica delle particelle e nella cosmologia per la previsione teorica e la misurazione osservativa di queste cosiddette funzioni di correlazione di ordine superiore.

Un ingrediente finale di tutto questo è il ruolo di misurare la funzione di correlazione. Il segno di media angolare, $ \ langle \ cdot \ rangle $ implica che dovremmo fare la media su diverse realizzazioni del sistema - cioè, il universo - nello stesso modello cosmologico sottostante . Questo è chiaramente impossibile, poiché abbiamo un solo universo da misurare! Invece, assumiamo l'omogeneità statistica (che è la stessa dell'invarianza traslazionale dal post di Lubos). Quindi, invece di fare la media sui diversi universi, i cosmologi fanno la media di $ f (\ vec {x}) f (\ vec {y}) $ o ver diverse posizioni ($ \ vec {x}, \ vec {y} $) nel nostro universo che hanno una distanza fissa tra i due punti $ | \ vec {x} - \ vec {y} | $. In questo modo, utilizzando l'ipotesi di omogeneità statistica, possiamo ottenere buone misurazioni della funzione di correlazione di qualsiasi quantità desideriamo.

Bella risposta! Ora abbiamo QFT, astrofisica e un esempio applicato :)
#4
+1
joseph f. johnson
2016-02-11 00:13:32 UTC
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C'è un altro motivo, sebbene non sia intuitivo. Un processo stocastico è quasi completamente caratterizzato dalla sua funzione di autocorrelazione. Più precisamente, se il processo è stazionario (ovviamente tutti questi metodi funzionano solo dopo che un processo è stato de-trend e tutti i cicli analizzati e filtrati per primi) e gaussiano e centrato, allora è completamente caratterizzato dall'auto'correlazione funzione. Questo è analogo al fatto elementare che una normale variabile casuale è completamente caratterizzata dalla sua media e deviazione standard.

Ma aspetta. C'è più. Anche se il processo non è gaussiano, è caratterizzato se non si conosce solo la solita autocorrelazione, chiamata anche funzioni di correlazione a due punti, ma si conoscono anche tutte le autocorrelazioni superiori. (cioè tre punti, quattro punti, ecc.). Questo è analogo al (difficile) "problema dei momenti". risolto dal mio antenato (dottorato accademico. genealogia) Marcel Riesz e da quel genio alcolico svedese, Carlman, che dice che se conosci tutti i momenti di una variabile casuale, è determinato fino all'equivalenza.

E, in pratica, sono le correlazioni più accessibili alla misurazione. La maggior parte degli esperimenti con le particelle, inclusi i famosi esperimenti di disuguaglianza di Bell di Aspect, sono misurazioni di correlazioni. Probabilmente c'è un profondo significato filosofico in questo ...



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