La legge di Ohm non è un costrutto che può essere derivato. È essenzialmente un'osservazione generalizzata. È utile solo per pochi materiali (conduttori e resistività media), e anche allora praticamente tutti quei materiali mostrano deviazioni dall'ideale, come coefficienti di temperatura e limiti di tensione di rottura.

Piuttosto, la legge di Ohm è un'idealizzazione del comportamento osservato di questi materiali. Come si suol dire, "Tutti i modelli sono sbagliati. Alcuni modelli sono utili". In questo caso, la legge di Ohm è straordinariamente utile, ma ciò non la rende universale. I semiconduttori, ad esempio, non seguono la legge di Ohm in senso lato, e guarda quanto è diffuso il loro uso.

Come originariamente scoperto e formulato, era coinvolta una grande quantità di pio desiderio. Non c'era comprensione delle forze coinvolte e non esisteva una definizione reale, ad esempio, di tensione o corrente. Tuttavia, è stato determinato che era possibile un insieme di valori autoconsistente (è possibile definire diverse chimiche della batteria come produttrici di tensioni specifiche e ottenere un comportamento coerente dei galvanometri, purché si sia disposti ad accettare l'errore sperimentale). Nel tempo, sono stati stabiliti degli standard e sono state scoperte misure più oggettive, come la quantità di elettroni in un coulomb, in modo che una corrente di 1 ampere possa essere misurata senza ambiguità) Alla fine, un'ottima comprensione del comportamento degli elettroni (e dei buchi) in conduttori è stato raggiunto e tale comprensione è generalmente, per un'ampia gamma di condizioni utili, esprimibile come legge di Ohm.

Ma non è derivata.

Potresti iniziare da Drude in campo magnetico nullo, che eguaglia la derivata della quantità di moto $ \ vec p $ dalla forza elettrostatica $ \ vec F_ {el} = q \ vec E $ come prodotto della carica $ q $ e campo elettrico $ \ vec E $ meno un termine di dispersione (con costante di tempo $ \ tau $; rispetto alla seconda legge di Newton che non presenta quest'ultima, termine cristallino):

$ ~~~~~ ~ \ dot {\ vec p} = q {\ vec E} - \ cfrac {\ vec p} {\ tau} $

La soluzione stazionaria ($ \ dot {\ vec p} = 0 $ ) utilizzando la densità di corrente $ \ vec j $

$ ~~~~~~ \ vec j = nq \ vec v $

come prodotto della densità del vettore $ n $, addebitare $ q $ e la velocità del vettore $ \ vec v $ comporta

$ ~~~~~~ \ vec j = \ cfrac {q ^ 2} {m} \ tau n \ vec E $

che non è altro che la relazione lineare tra corrente (densità) "$ j = \ cfrac {I} {A} $" e campo elettrico (gradiente potenziale) "$ E = \ cfrac {U} {d} $ "dichiarato da Ohm.

Secondo me, l'equazione matematica che chiamiamo legge di Ohm è meglio compresa non come una "legge", un fatto sull'universo, ma come la definizione della quantità "resistenza" .

$$ R \ overset {\ mathrm {def}} {=} \ frac {V} {I} $$

Data questa definizione di $ R $ , possiamo quindi fare (come altre risposte hanno menzionato) l'osservazione empirica che molti materiali hanno approssimativamente costanti $ R $ (che chiamiamo essere ohmico ) e quindi $ R $ è una quantità utile da definire.

Ma se c'è qualcosa da derivare , allora è la risposta a "perché osserviamo approssimativamente $ R $ ?", non $ V = IR $ .

La legge di Ohm non è fondamentale e vale solo in determinate condizioni, come ad esempio la temperatura costante. Tuttavia, c'è un modo semplice per pensarci. Immagina il flusso di oggetti enormi attraverso un ampio tubo dell'acqua. È come una corrente. La pressione dell'acqua fa scorrere velocemente gli oggetti, questo è il tuo voltaggio. Se il tubo è stretto, gli oggetti non possono fluire altrettanto velocemente. Inoltre, gli oggetti possono essere rallentati quando colpiscono i lati del tubo che non è perfettamente liscio. Questa è la resistenza. Ora se prendi la pressione dell'acqua (tensione) e la dividi per una resistenza al flusso, ottieni la velocità con cui gli oggetti fluiscono attraverso il tubo. Dividere per una grande resistenza significa meno flusso.

Pensala come V / R = I invece di V = IR Division è più facile da capire mentalmente. Man mano che la resistenza si riduce, la corrente aumenta e viceversa.

La legge di Ohm in realtà segue la definizione di potenza, corrente e tensione.

Iniziamo definendo la potenza $ P $, la corrente $ I $ e la tensione $ U $ come $ P = \ displaystyle \ lim_ { \ Delta t \ to 0} \ frac {E} {\ Delta t} $, $ I = \ displaystyle \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ frac {Q} {\ Delta t} $ e $ U = \ frac {E} {Q} $.

Troviamo quindi per una corrente costante $ I $ con una tensione costante $ U $ che il lavoro svolto durante il periodo di tempo $ \ Delta t $ è il lavoro svolto per carica moltiplicato per la carica che supera un certo punto durante $ \ Delta t $, ovvero il lavoro svolto $ E = \ left (\ displaystyle \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ frac {Q} {\ Delta t} \ cdot \ Delta t \ right) \ cdot \ frac {E} {Q} = U \ cdot \ Delta t \ cdot I $.

Ricorda che questo è stato il lavoro svolto durante un periodo di tempo , più specificamente $ \ Delta t $, e possiamo quindi dire che la potenza durante quel periodo di tempo è $ \ frac {U \ cdot \ Delta t \ cdot I} {\ Delta t} = P = U \ cdot I $.