Non è "cattivo gusto", è incalcolabile fino al punto di essere privo di significato.

Il punto centrale dell'analisi dimensionale è che ci sono alcune quantità che non sono confrontabili tra loro: non puoi decidere se un metro è più grande o più piccolo di dieci ampere, e provare ad aggiungere cinque volt a dieci kelvin lo farà solo produrre sciocchezze inutilizzabili. (Per i dettagli sul motivo, vedi Cosa giustifica l'analisi dimensionale? e i suoi molti duplicati collegati nella barra laterale a destra.)

Questo è esattamente ciò che accade con, diciamo, la funzione esponenziale: se volessi l'esponenziale di un metro, allora dovresti essere in grado di dare un senso $$ \ exp (1 \: \ rm m) = 1 + (1 \: \ rm m) + \ frac12 (1 \: \ rm m) ^ 2 + \ frac {1} {3!} (1 \: \ rm m) ^ 3 + \ cdots, $$ e ciò richiede che tu sia in grado di aggiungere e confrontare lunghezze con aree, volumi e altri poteri di posizione. Puoi provare a ritagliare le unità e gestirle, ma tieni presente che deve corrispondere, esattamente , l'equivalente $$ \ exp (100 \: \ rm cm) = 1 + (100 \: \ rm cm) + \ frac12 (100 \: \ rm cm) ^ 2 + \ frac {1} {3!} (100 \: \ rm cm) ^ 3 + \ cdots, $$ e non esiste un modo invariante per farlo.

Ora, per essere chiari, il problema è molto più profondo di questo: il vero problema con $ \ exp (1 \: \ rm m) $ è che semplicemente non esiste un modo significativo per definirlo un modo che (i) essere indipendente dal sistema di unità e (ii) mantenere un insieme di proprietà che gli valgano davvero il nome di esponenziale. Se quello che si vuole è un modo semplice e chiaro per vederlo, un buon angolo è notare che, se si dovesse definire $ \ exp (x) $ per $ x $ con dimensione non banale, allora tra le altre cose si chiederebbe obbedire alla proprietà $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ exp (x) = \ exp (x), $$ che è dimensionalmente incoerente se $ x $ (e quindi $ \ mathrm d / \ mathrm dx $) non è adimensionale.

È stato anche notato nei commenti, e in effetti in un articolo pubblicato, che puoi effettivamente avere serie di Taylor su quantità dimensionali, semplicemente impostando $ f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} \ Frac {\ mathrm d ^ nf} {\ mathrm dx ^ n} (0) x ^ n $, e questo è abbastanza vero. Tuttavia, per le funzioni trascendenti non vogliamo nessuna vecchia serie di Taylor, vogliamo quelle canoniche: spesso sono la definizione delle funzioni per cominciare, e se qualcuno dovesse proporre una definizione di, diciamo $ \ sin ( x) $ per $ x $ dimensionali, quindi a meno che non possa ricollegarsi alla serie canonica di Taylor, semplicemente non vale il nome. E, come spiegato sopra, la serie canonica di Taylor ha problemi di ridimensionamento fondamentali che li rendono morti nell'acqua.

Detto questo, per i logaritmi puoi in certe occasioni molto specifiche parlare del logaritmo di una quantità dimensionale $ q $, ma in pratica stai prendendo alcuni $ q_0 $ rappresentativi e calcoli $$ \ log (q / q_0) = \ log (q) - \ log (q_0), $$ dove per dare un senso a quest'ultimo richiedi che i due valori numerici siano nelle stesse unità ─ nel qual caso la risposta finale è indipendente dall'unità stessa. Se la situazione consente anche di eliminare costanti additive o di incorporarle in qualcos'altro (come quando si risolvono ODE, ad esempio, con un caso rappresentativo che è il potenziale elettrostatico di una carica di linea infinita, o quando facendo grafici in scala logaritmica) allora potresti sbarazzarti di $ \ log (q_0) $ sapendo che verrà fuori quando torni a punteggiare le i.

Tuttavia, solo perché può essere fatto nel caso specifico del logaritmo, che è unico nel trasformare costanti moltiplicative in costanti additive, non significa che puoi usarlo in altri contesti ─ e non puoi.

Punto di vista ortodosso

Un approccio un po 'formale: $ \ exp x $ può essere espresso come una serie:

$$ \ exp x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots + \ frac {x ^ n} {n! } + \ cdots $$

Quindi, se $ x $ ha unità $ X $, i termini di questa serie hanno le rispettive unità

$$ \ text {Nessuno}, X, X ^ 2, X ^ 3, \ cdots X ^ n, \ cdots $$

che non è dimensionalmente coerente. Lo stesso argomento per $ \ ln $ o per qualsiasi funzione analitica (cioè una funzione che può essere espansa in una tale serie). Ciò si applicherebbe anche a qualcosa di semplice come

$$ \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots. $$

In realtà, non è nemmeno necessaria l'intera serie. Solo due termini di un'espansione di Taylor sono sufficienti per forzare la variabile ad essere adimensionale. Ad esempio, se una funzione $ f (x) $ funziona come

$$ f (x) = x - x ^ 2 + O (x ^ 3), $$

poiché $ x $ va a 0, ad esempio $ x $ non può avere una dimensione $ X $, altrimenti si finirebbe per aggiungere $ X $ e $ X ^ 2 $. Questo vale ovviamente anche per le serie asintotiche, come

$$ f (x) = \ frac {1} {x ^ 2} + \ frac {2} {x ^ 3} + O \ left (\ frac {1} {x ^ 4} \ right), $$

come $ x \ a + \ infty $.

Giocare intorno all'ortodossia

E il seguente argomento. Farò un esempio molto semplice, che non coinvolge affatto serie,

$$ f (x) = x + x ^ 2. $$

L'argomento ortodosso sopra implica che $ x $ deve essere adimensionale. Ma sosterrò che i coefficienti 1 di $ x $ e $ x ^ 2 $ in realtà hanno dimensione $ X ^ {- 1} Y $ e $ X ^ {- 2} Y $, dove $ X $ è il unità di $ x $, e $ Y $ diventerebbe quindi l'unità di $ f (x) $. Rende tutto coerente, no? Sì, ma è una farsa perché significa che invece di $ f (x) $ ci occupiamo effettivamente di

$$ f_ \ text {pseudo} (x) = a \ left (\ frac {x} {x_0} + \ left (\ frac {x} {x_0} \ right) ^ 2 \ right), $$

dove $ x_0 $ ha l'unità $ X $ e $ a $ ha l'unità $ Y $, vale a dire

$$ f_ \ text {pseudo} (x) = af \ left (\ frac {x} {x_0} \ right). $$

Ed eccolo: l'argomento di $ f $ è davvero adimensionale! L'argomento generalizza a qualsiasi serie. Diamo un'occhiata all'esponenziale come illustrazione:

$$ \ exp x = \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n!} x ^ n. $$

Quindi l'argomento sarebbe che $ 1 / n! $ ha in realtà l'unità $ X ^ {- n} $. Abbastanza giusto, ma al posto di $ \ exp $, significa che ci occupiamo di

$$ \ exp_ \ text {pseudo} (x) = a \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n!} \ left (\ frac {x} {x_0} \ right) ^ n, $$

dove $ x_0 $ ha la dimensione $ X $, e dove ora $ 1 / n! $ è adimensionale, e come sopra $ a $ ha una dimensione $ Y $. Vale a dire che

$$ \ exp_ \ text {pseudo} (x) = a \ exp \ frac {x} {x_0}. $$

Quindi finiamo con l'argomento di $ \ exp $ senza dimensioni.

La mia opinione viscerale su questo giochino: beh, duh! Tutto questo per quello, davvero? Inoltre, come sottolineato da Emilio Pisanty nei commenti, richiede che si tolga una scala $ x_0 $ (e potenzialmente un'altra scala $ a $) dal cielo: il punto centrale dell'analisi dimensionale è che abbiamo preso in considerazione tutti possibili quantità dimensionate in anticipo. Qui ne introduciamo un altro dopo il fatto e non ha senso né per Emilio né per me.

Il motivo per cui il tuo insegnante lo ha definito "cattivo gusto" piuttosto che semplicemente sbagliato è perché le persone lo faranno sempre con il logaritmo.Il logaritmo è unico perché ti consente di suddividere i fattori moltiplicativi in termini additivi, quindi le persone scriveranno qualcosa come $$ \ log (r / r_0) = \ log (r) - \ log (r_0) = \ log (r) + C. $$ Il modo più comune per farlo accidentalmente è attraverso un integrale, $$ \ int \ frac {\ mathrm dr} {r} "=" \ log r + C. $$ Questo è tecnicamente sbagliato ma quasi tutti lo scrivono in questo modo.Alla fine della giornata, puoi sempre combinare le costanti nel logaritmo in modo che gli argomenti abbiano le dimensioni corrette.

Le altre risposte sono corrette secondo cui quando ci pensi in termini di analisi delle unità non puoi aggiungere quantità che hanno unità diverse tra loro.Anche così, formalmente puoi sempre fare qualcosa di simile $$ f \ left (\ frac {x} {1 \ operatorname {m}} \ right) $$ per ottenere qualcosa che funzioni, matematicamente.

Dove diventa di cattivo gusto / cattiva pratica è che hai introdotto quel denominatore, tu stesso, a mano.In qualsiasi problema fisico che richieda di valutare qualche funzione complicata, come $ \ sin $, $ \ ln $ o $ \ exp $, ci sarà sempre una quantità fisicamente rilevante con le stesse unità che ti permetteranno di formare un'unità senza unitàquantità.Ad esempio, quando si lavora con il semplice oscillatore armonico possiamo combinare la costante della molla, $ k $, e la massa, $ m $, per produrre una quantità con le unità del tempo inverso, $ \ omega \ equiv \ sqrt {k /m} $.È quel $ \ omega $ che ci permette di scrivere in modo sensato $ x = A \ sin (\ omega t) $ per descrivere il movimento dell'oscillatore.

Ho impostato deliberatamente qualcosa che recita in questo modo:

f lbs = bridge mV / 2 ^{x log ₂ mV / lbs}

Sì, funziona.Il 2 è una costante ovviamente adimensionale * quindi l'unità deve davvero andare sulla x.

È un po 'brutto in quanto cambiamenti molto piccoli in x corrispondono a cambiamenti veramente grandi nel risultato o altrimenti è difficile avere un'idea di cosa faranno i numeri.

* Quando la formula è presentata nella sua forma nativa, il 2 non esiste;appare solo quando viene riscritto in forma standard.

Il modo in cui guardo è che la maggior parte delle unità si comporta come incognite moltiplicative. Cioè possiamo immaginare che ci sia un'unità naturale (possibilmente sconosciuta) per la quantità e che l'unità sia un fattore di scala (possibilmente sconosciuto) che converte la nostra unità umana in unità naturale. Per creare una formula coerente, vogliamo che tutte quelle incognite vengano eliminate. I fisici considerano di cattivo gusto le unità che non si comportano come incognite moltiplicative (ad esempio Celsius e Fahrenheit).

Quindi la domanda diventa cosa fanno le diverse funzioni a uno sconosciuto moltiplicativo. Consideriamo la semplice funzione di elevare il numero a una potenza.

$ F (x) = x ^ n -> F (xu) = F (x) F (u) $

Fantastico, abbiamo inserito un'unità del buon gusto e ne è uscita un'unità del buon gusto.

Ora esaminiamo il logaritmo.

$ F (x) = log_n (x) -> F (xu) = F (x) + F (u) $

Questo risultato non è una "unità di buon gusto" poiché è un additivo sconosciuto piuttosto che uno sconosciuto moltiplicativo ma non è terribile lavorare con. In molte circostanze possiamo cancellare la F (u) e arrivare a una forumula coerente. In effetti gli ingegneri spesso usano il logaritmo in questo modo.

Ora esaminiamo l'esponenziale.

$ F (x) = n ^ x -> F (xu) = (F (x)) ^ u $

ick, immagino che in alcuni casi potrebbe essere possibile annullare l'alimentazione, ma è piuttosto orribile da affrontare.