I) Per un trattamento matematico preciso di un teorema di Noether inverso, si dovrebbe consultare ad es. Il libro di Olver (Rif. 1, Thm. 5.58), come scrive anche l'utente orbifold nella sua risposta (v2). Qui vorremmo dare una discussione euristica e meno tecnica, per trasmettere il nocciolo della questione, e cercare di evitare il più possibile il linguaggio dei getti e dei prolungamenti.

In termini popolari, vorremmo formulare una "macchina Noether inversa"

$$ \ text {Input: sistema lagrangiano con leggi di conservazione note} $$$$ \ Downarrow $ $$$ \ text {[macchina Noether inversa]} $$$$ \ Downarrow $$$$ \ text {Risultato: (quasi) simmetrie dell'azione funzionale} $$

Poiché questa "macchina" è dovrebbe essere un teorema matematico che dovrebbe avere successo ogni volta senza eccezioni (altrimenti non è per definizione un teorema!), potremmo dover restringere l'insieme / classe / categoria di input che permettiamo nella macchina per non avere interruzioni errori / guasti nei macchinari.

II) Facciamo le seguenti restrizioni non necessarie per semplicità:

1. Concentriamoci sulla meccanica dei punti con un locale azione funzionale $$ \ tag {1} S [q] ~ = ~ \ int \! dt ~ L (q (t), \ frac {dq (t)} {dt}, \ ldots, \ frac {d ^ Nq (t)} {dt ^ N}; t), $$ dove $ N \ in \ mathbb {N} _0 $ è un ordine finito. La generalizzazione alla teoria dei campi locale classica è semplice.

2. Limitiamoci alle sole trasformazioni verticali $ \ delta q ^ i $, cioè qualsiasi trasformazione orizzontale $ \ delta t = 0 $ svanisce. (Olver chiama essenzialmente questi campi vettoriali evolutivi e afferma che è sufficiente studiarli efficacemente (Rif. 1, Prop. 5.52).

3. Supponiamo, come fa anche Olver, che la lagrangiana $ L $ e le trasformazioni siano reali analitiche $ ^ {\ dagger} $.

Le seguenti limitazioni / estensioni tecniche sono assolutamente necessarie:

1. La nozione di simmetria $ \ delta S = 0 $ dovrebbe essere ridotta a quasisymmetry (QS). Per definizione un QS dell'azione $ S $ deve contenere solo i termini limite del modulo. (NB: Olver usa una terminologia diversa: chiama simmetria per una simmetria rigorosa e una quasisimmetria per una simmetria.)

2. La nozione di trasformazioni QS potrebbe avere senso solo infinitesimamente / come campo vettoriale / algebra di Lie. Potrebbero non esistere trasformazioni QS finite corrispondenti / gruppo di Lie. In particolare, le trasformazioni QS possono dipendere dalle velocità $ \ dot {q} $. (Olver si riferisce a questo come a campi vettoriali generalizzati (Rif. 1, Def. 5.1).)

III) Teorema di Noether fornisce una ricetta canonica su come trasformare un QS dell'azione $ S $ in una legge di conservazione (CL),

$$ \ tag {2} \ frac {dQ} {dt} ~ \ approx ~ 0, $$

dove $ Q $ è l'intero addebito Noether. (Qui il simbolo $ \ approx $ significa uguaglianza sulla shell, cioè modulo le equazioni del moto (eom).)

Nota 1: A parte il tempo $ t $, il Le trasformazioni QS possono agire solo sulle variabili $ q ^ i $ che partecipano attivamente al principio di azione. Se sono presenti parametri esterni passivi, ad esempio costanti di accoppiamento, ecc., Il fatto che siano costanti nel modello sono solo CL banali, che ovviamente non dovrebbero essere considerati come CL autentici. In particolare, $ \ frac {d1} {dt} = 0 $ è solo un banale CL.

Nota 2: Un CL dovrebbe per definizione valere per tutti soluzioni, non solo per una soluzione particolare.

Nota 3: Si presume sempre che un QS dell'azione $ S $ rimanga fuori dalla shell. (Va sottolineato che un QS dell'azione sulla shell

$$ \ tag {3} \ delta S \ approx \ text {boundary terms} $$

è una nozione vacua, poiché le equazioni di Eulero-Lagrange rimuovono qualsiasi termine in massa sulla shell.)

Nota 4: Va sottolineato che una simmetria di eoms non sempre porta a un QS della Lagrangiana, cfr. per esempio. Rif. 2, esempio 1 di seguito e questo post di Phys.SE. Quindi è importante tracciare gli aspetti off-shell del teorema di Noether.

Esempio 1: una simmetria degli eom non è necessariamente un QS della lagrangiana. Sia la lagrangiana $ L = \ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ n \ dot {q} ^ i g_ {ij} \ dot {q} ^ j $, dove $ g_ {ij} $ è una costante metrica non degenere. Gli eoms $ \ ddot {q} ^ i \ circa 0 $ hanno una $ gl (n, \ mathbb {R}) $ simmetria $ \ delta q ^ {i} = \ epsilon ^ i {} _ j ~ q ^ {i } $, ma solo una $ o (n, \ mathbb {R}) $ Lie sottoalgebra dell'algebra $ gl (n, \ mathbb {R}) $ Lie è un QS della lagrangiana.

IV) Senza ulteriori presupposti, non vi è a priori alcuna garanzia che la ricetta di Noether trasformi un QS in un CL non banale.

Esempio 2: Lascia che la Lagrangiana $ L ( q) = 0 $ è la banale Lagrangiana. La variabile $ q $ è pura gauge. Allora la simmetria di gauge locale $ \ delta q (t) = \ epsilon (t) $ è una simmetria, sebbene il CL corrispondente sia banale.

Esempio 3: Sia la lagrangiana $ L = \ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ 3 (q ^ i) ^ 2-q ^ 1q ^ 2q ^ 3 $. Le eom sono $ q_1 \ approx q_2q_3 $ e le permutazioni cicliche. Ne consegue che le posizioni $ q ^ i \ in \ {0, \ pm 1 \} $ sono costanti. (Solo $ 1 + 1 + 3 = 5 $ dei rami $ 3 ^ 3 = 27 $ sono coerenti.) Qualsiasi funzione $ Q = Q (q) $ è una quantità conservata. La trasformazione $ \ delta q ^ i = \ epsilon \ dot {q} ^ i $ è un QS dell'azione $ S $.

Se vogliamo formulare una biiezione tra QS e CL, dobbiamo considerare classi di equivalenza di QS e CL modulo banali QS e CL, rispettivamente.

• Una trasformazione QS $ \ delta q ^ i $ è chiamata banale se svanisce nella shell (Rif.1, p.292).

Un CL si chiama

1. banale di primo tipo se la corrente Noether $ Q $ svanisce in shell .

2. banale di secondo tipo se CL svanisce fuori dalla shell.

3. banale se è una combinazione lineare di CL di primo e secondo tipo (Rif. 1, p.264-265).

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V) L'assunto più cruciale è che si presume che gli eoms siano (totalmente) non degeneri. Olver scrive (Rif. 1, Def. 2.83.): Un sistema delle equazioni differenziali è chiamato totalmente non degenere se esso e tutti i suoi prolungamenti sono entrambi di rango massimale e risolvibili localmente $ ^ {\ ddagger} $.

L'ipotesi di non degenerazione esclude che l'azione $ S $ abbia una simmetria di gauge locale. Se $ N = 1 $, cioè $ L = L (q, \ dot {q}, t) $, l'ipotesi di non degenerazione significa che la trasformazione di Legendre è regolare, in modo che possiamo facilmente costruire una corrispondente formulazione hamiltoniana $ H = H (q, p, t) $. La lagrangiana hamiltoniana si legge

$$ \ tag {4} L_H ~ = ~ p_i \ dot {q} ^ iH. $$

VI) Per un'azione hamiltoniana funzionale $ S_H [ p, q] = \ int \! dt ~ L_H $, esiste un modo canonico per definire una mappa inversa da una quantità conservata $ Q = Q (q, p, t) $ a una trasformazione di $ q ^ i $ e $ p_i $ utilizzando la carica Noether $ Q $ come generatore hamiltoniano per le trasformazioni, come spiegato anche ad es la mia risposta Phys.SE qui. Qui ricordiamo brevemente la dimostrazione. Il CL (2) sulla shell implica

$$ \ tag {5} \ {Q, H \} + \ frac {\ partial Q} {\ partial t} ~ = ~ 0 $$

off-shell, cfr. Nota 2. La trasformazione corrispondente

$$ \ tag {6} \ delta q ^ i ~ = ~ \ {q ^ i, Q \} \ epsilon ~ = ~ \ frac {\ partial Q} { \ partial p_i} \ epsilon \ qquad \ text {e} \ qquad \ delta p_i ~ = ~ \ {p_i, Q \} \ epsilon ~ = ~ - \ frac {\ partial Q} {\ partial q ^ i} \ epsilon $$

è un QS della lagrangiana hamiltoniana

$$ \ delta L_H ~ \ stackrel {(4)} {=} ~ \ dot {q} ^ i \ delta p_i - \ dot {p} _i \ delta q ^ i - \ delta H + \ frac {d} {dt} (p_i \ delta q ^ i) \ qquad $$
$$ ~ \ stackrel {(6) + ( 8)} {=} ~ - \ dot {q} ^ i \ frac {\ partial Q} {\ partial q ^ i} \ epsilon - \ dot {p} _i \ frac {\ partial Q} {\ partial p_i} \ epsilon - \ {H, Q \} \ epsilon + \ epsilon \ frac {d Q ^ 0} {dt} $$ $$ \ tag {7} ~ \ stackrel {(5)} {=} ~ \ epsilon \ frac {d (Q ^ 0-Q)} {dt} ~ \ stackrel {(9)} {=} ~ \ epsilon \ frac {df ^ 0} {dt}, $$

perché $ \ delta L_H $ è una derivata del tempo totale. Qui $ Q ^ 0 $ è la semplice carica di Noether

$$ \ tag {8} Q ^ 0 ~ = ~ \ frac {\ partial L_H} {\ partial \ dot {q} ^ i} \ {q ^ i, Q \} + \ frac {\ partial L_H} {\ partial \ dot {p} _i} \ {p_i, Q \} ~ = ~ p_i \ frac {\ partial Q} {\ partial p_i}, $$

e

$$ \ tag {9} f ^ 0 ~ = ~ Q ^ 0-Q. $$

Da qui il corrispondente Noether completo addebito

$$ \ tag {10} Q ~ = ~ Q ^ 0-f ^ 0 $$

è precisamente la quantità conservata $ Q $ con cui abbiamo iniziato. Quindi la mappa inversa funziona nel caso hamiltoniano.

Esempio 4: La particella libera non relativistica $ L_H = p \ dot {q} - \ frac {p ^ 2} {2m} $ ha ad es i due addebiti conservati $ Q_1 = p $ e $ Q_2 = q- \ frac {pt} {m} $.

Il teorema di Noether inverso per sistemi non degeneri (Rif. 1, Thm. 5.58) può essere compreso intuitivamente dal fatto che:

1. In primo luogo, esiste un sottostante sistema Hamiltoniano $ S_H [p, q] $, dove è evidente la corrispondenza biiettiva tra QS e CL.

2. In secondo luogo, integrando i momenti $ p_i $ possiamo affermare che la stessa corrispondenza biunivoca vale per il sistema Lagrangiano originale.

VII) Infine, Ref. 3 elenca KdV e sine-Gordon come controesempi di un teorema di Noether inverso. KdV e sine-Gordon sono sistemi integrabili con un numero infinito di cariche conservate $ Q_n $, e si possono introdurre infiniti Hamiltoniani pendolari corrispondenti $ \ hat {H} _n $ e volte $ t_n $. Secondo Olver, KdV e sine-Gordon non sono realmente controesempi, ma solo il risultato di un'incapacità di distinguere correttamente tra CL non banale e banale. Vedi anche Rif. 4.

Riferimenti:

1. P.J. Olver, Applicazioni dei gruppi di Lie alle equazioni differenziali, 1993.

2. V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, 2a ed., 1989, nota 38 a p. 88.

3. H. Goldstein, Classical Mechanics; 2nd eds., 1980, p. 594; o 3a ed., 2001, p. 596.

4. L.H. Ryder, Quantum Field Theory, 2a ed., 1996, p. 395.

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$ ^ {\ dagger} $ Nota che se si abbandona l'analiticità reale, diciamo invece per $ C ^ k $ differenziabilità, l'analisi può diventare molto tecnico e ingombrante. Anche se si lavora con la categoria delle funzioni $ C ^ \ infty $ lisce piuttosto che con la categoria delle funzioni analitiche reali, si potrebbe incontrare il fenomeno di Lewy, dove le equazioni del moto (eom) non hanno soluzioni affatto! Una situazione del genere renderebbe un po 'accademica la nozione di legge sulla conservazione (CL)! Tuttavia, anche senza soluzioni, un CL può formalmente ancora esistere come conseguenza formale di eoms. Infine, aggiungiamo che se si è interessati solo a un particolare funzionale di azione $ S $ (al contrario di tutti i funzionali di azione all'interno di una classe) molto spesso, è solitamente necessaria molta meno differenziabilità per garantire la regolarità.

$ ^ {\ ddagger} $ Grado massimo è cruciale, mentre risolvibile localmente potrebbe non essere necessario, cfr. nota a piè di pagina precedente.

Se la legge di conservazione è generale , il che significa che non è specifica per un movimento, ma conservata in una configurazione generale, la risposta è sì. Ciò deriva dalla teoria delle trasformazioni canoniche nella meccanica classica.

In primo luogo, si consideri una condizione iniziale simmetrica perfettamente triangolare di tre particelle disposte su un triangolo equilatero con velocità che vengono ruotate dell'angolo appropriato (120 gradi, 240 gradi) per dare una simmetria rotazionale tripla. In questa condizione iniziale, per leggi di forza triangolarmente invarianti, si ha una conservazione della simmetria triangolare, per cui la configurazione ha la proprietà che data la posizione del centro di massa e di una delle particelle si trovano le altre due. Questa è la classica simmetria discreta e non generalizza a un movimento arbitrario, quindi non ha simmetria associata.

Ma se hai una quantità conservata generale Q (x, p) sulla fase spazio che viene conservato per tutte le condizioni iniziali x, p, quindi

$$ [Q, H] _ \ mathrm {cl} = 0 $$

Dove la parentesi è la parentesi di Poisson. Ne consegue che il movimento sullo spazio delle fasi utilizzando Q come hamitoniano

$$ {dx ^ i \ over ds} = - {\ partial Q \ over \ partial p_i} $$$$ {dp_i \ over ds} = {\ partial Q \ over \ partial x ^ i} $$

effettua una trasformazione dello spazio delle fasi prendendo x, p in x (s), p (s), e questa trasformazione commuta con l'evoluzione temporale hamiltoniana e definisce una simmetria sullo spazio delle fasi la cui corrente Noether fornisce la conservazione di Q.

La stessa idea funziona al contrario, e nella meccanica quantistica si sostituisce semplicemente la classica parentesi di Poisson con il commutatore e usa Q come hamiltoniana per generare l'evoluzione della funzione d'onda:

$$ | \ psi \ rangle \ rightarrow e ^ {isQ} \ psi \ rangle $$

e questo ti dà la simmetria. La cosa bella in QM è che anche le simmetrie discrete che sono quantomeccanicamente esatte danno origine a quantità conservate, così che la legge della forza triangolare preserva l'operatore che fa rotazioni di 120 gradi sulla funzione d'onda, e si possono classificare gli stati stazionari per il loro Z_3 carica discreta. La differenza fondamentale è che qualsiasi stato nella meccanica quantistica può essere scritto come una sovrapposizione di stati simmetrici, sovrapponendosi a versioni ruotate di se stesso con la fase appropriata.

Non so come dimostrare quanto segue, ma almeno dovrebbe rispondere alla tua domanda in modo fattuale. Ciò che segue cito dal libro 'Classical Mechanics' di Goldstein: "Va notato che mentre il teorema di Noether dimostra che una proprietà di simmetria continua o una densità lagrangiana porta a una condizione di conservazione, il contrario non è vero. Sembra che ci siano condizioni di conservazione che non può corrispondere a una proprietà di simmetria. Gli esempi più importanti al momento sono i campi che hanno soluzioni di solitoni, ad esempio, sono descritti dall'equazione seno-Gordon o dall'equazione di Korteweg-deVries. "

Spero questo risponde alla tua domanda.

È infatti vero che esiste una corrispondenza uno-a-uno tra i gruppi di un parametro di simmetrie variazionali generalizzate di alcuni funzionali e le leggi di conservazione delle sue equazioni di Eulero-Lagrange associate. Dichiarazioni e definizioni precise possono essere trovate ad esempio nel capitolo 5 di Olver, "Applicazioni dei gruppi di Lie alle equazioni differenziali". Indipendentemente dalla domanda, consiglio vivamente quel libro, se sei interessato a tali domande. In effetti Noether ha già affermato il suo teorema in questa generalità, ma di solito solo gli aspetti banali di esso sono discussi nei corsi di fisica.

Una domanda forse più interessante è, quali insiemi di equazioni differenziali possono essere le equazioni di Eulero-Lagrange di qualche problema variazionale, poiché è almeno concepibile che la descrizione di alcuni sistemi fisici non derivi da problemi variazionali. Questo è stato già studiato da Helmholtz e discusso anche in questo libro.

Ironicamente l'equazione di Korteg-de-Vries ammette un numero infinito di simmetrie generalizzate, motivo per cui è "esattamente risolvibile" e per le soluzioni solitoniche. Quindi la risposta accettata non è solo sbagliata, ma anche l'esempio fornito dall'autore è un buon controesempio.

Il vero inverso del primo teorema è il secondo. La tua formulazione dell'inverso del primo teorema è troppo letterale e quindi valida come caso particolare in condizioni aggiuntive.