Riguarda gli angoli creati dall'oggetto quando la luce da esso entra nell'occhio.

Considera questo rozzo doodle di unocchio che guarda due alberi di dimensioni identiche.La luce che entra nell'occhio dall'albero più vicino crea un angolo più ampio nell'occhio e l'albero più lontano forma un angolo più nitido.Il cervello lo interpreta come l'ulteriore albero che sembra essere più piccolo.

Prova questo: vai fuori durante la luna piena.Prendi un quarto (o una moneta di dimensioni equivalenti se non sei negli Stati Uniti) e tienilo a distanza.Sposta il quarto sopra la luna.Il quarto copre quasi la luna?Puoi anche usare monete più piccole e tenerle più vicine.

Sopra c'è un altro scarabocchio grezzo, e quiè una foto.La moneta e la luna sembrano avere le stesse dimensioni perché gli angoli fatti da loro sull'occhio sono uguali.

È perché la luce viaggia in raggi più o meno diritti.

Supponiamo per semplicità che il tuo occhio sia come una macchina fotografica a foro stenopeico; ha un foro stenopeico davanti e uno schermo sul retro. Quindi un'immagine si forma dai raggi di luce che passano attraverso il foro stenopeico.

(da https: //commons.wikimedia .org / wiki / File: Pinhole-camera.png)

Considera due punti su un oggetto, come la parte superiore e inferiore di un albero. Se sposti ulteriormente un oggetto, i due punti rimangono alla stessa distanza l'uno dall'altro ma sono più lontani dal foro stenopeico, e quindi l'angolo che fa con il foro è minore. Ma lo schermo è sempre alla stessa distanza dal foro stenopeico e quindi l'immagine è più piccola. (Vedi anche questo articolo correlato della BBC.)

Per quanto riguarda la tua domanda sul punto di fuga, è non è affatto chiaro cosa chiedi. Nel disegno prospettico abbiamo la proiezione della scena su uno schermo piatto attraverso un'origine (l'occhio). Sotto la proiezione, considera tutte le linee che non passano per l'origine. Ognuno di loro mappa su una linea e due qualsiasi di loro che si intersecano mappano su linee intersecanti. Se stabiliamo che due qualsiasi di essi che sono paralleli si intersecano effettivamente in un punto all'infinito, allora è ancora più bello perché poi due linee qualsiasi si intersecano in un punto unico. Inoltre, le linee parallele su una superficie orizzontale si intersecano tutte nello stesso punto all'infinito, che dopo la proiezione si mappa su un punto dello schermo, attraverso il quale passano le immagini di tutte quelle linee parallele.

I punti all'infinito non esistono nel modello euclideo del mondo, proprio come le linee parallele non si intersecano. È solo che se li sommiamo concettualmente al modello euclideo otteniamo lo spazio proiettivo che ha proprietà piacevoli, inclusa una nozione significativa dell'orizzonte come immagine di una linea di punti all'infinito. Questo ci consente di disegnare disegni prospettici, che è fondamentalmente disegnare l'immagine sullo schermo dato quello che sappiamo sulle linee nella scena.

La superficie della Terra non è piatta ma leggermente curva, e quindi non possiamo vedere l'intera superficie della Terra e vediamo un orizzonte leggermente curvo. Questo non ha nulla a che fare con la linea all'infinito nei disegni prospettici, poiché quella linea è ancora lì, semplicemente non rilevante per l'orizzonte che vediamo tra la superficie terrestre e il cielo. Se è qui che hai preso i tuoi "2,9 miglia", allora è semplicemente quanto lontano sulla superficie della terra puoi vedere, il che ovviamente non è correlato al fatto che puoi vedere tutti i strada verso le stelle.

(da https://en.wikipedia.org/wiki/Horizon#/media /File:Horizons.svg)

Nel diagramma sopra, l'orizzonte astronomico corrisponde alla linea all'infinito se ci si trova su una superficie molto piatta. Il vero orizzonte è ciò che percepisci come la divisione tra il cielo e l'oceano poiché la Terra non è piatta. L'orizzonte visibile è ciò che percepisci essere il divario tra il cielo e la terra poiché di solito ci sono molte cose come alberi sulla terra che bloccano la vista della superficie del terreno reale.

In breve, i disegni prospettici non non funziona per cose che sono troppo lontane sulla superficie terrestre perché presumono una superficie del suolo perfettamente piana.

Un angolo è solo una misura della relazione tra la lunghezza dell'arco di un segmento di un cerchio e il raggio di detto cerchio. Un oggetto (diciamo una matita) di lunghezza $ 30 ~ \ text {cm} $ sarà sempre quella lunghezza, ma la distanza della matita dal tuo occhio può cambiare.

La definizione di un angolo è la lunghezza dell'arco, $ s $, sul raggio, $ r $

Anche se la matita non cambia la sua dimensione, il raggio aumenta man mano che lo allontani dall'occhio, quindi il denominatore aumenta mentre il numeratore rimane lo stesso, quindi la frazione risulta in un valore più piccolo (cioè un angolo più piccolo). Il cervello percepisce le cose per l'angolo da cui proviene la luce (come sai e altri hanno sottolineato). Ciò è dovuto al fatto che il cervello stima le dimensioni in base alla percentuale del campo visivo che l'oggetto occupa. Cioè, quanto è grande il suo angolo rispetto all'intero angolo che possiamo vedere (circa $ 180º $, poiché possiamo vedere quasi tutto di fronte a noi).

Non c'è limite, come dici tu , alla portata effettiva della vista, ma c'è un limite all'angolo con cui la luce entra nei nostri occhi. Una particella di polvere può essere letteralmente a 1 cm di distanza dall'occhio, ma poiché la sua lunghezza è così piccola, l'angolo rimane piccolo, quindi la luce proveniente dalla parte superiore della particella e dal fondo è indistinguibile l'una dall'altra. D'altra parte, la Luna, nonostante sia distante migliaia di chilometri, è larga anche centinaia di chilometri.

A questi due esempi possono essere assegnati valori:

La particella di polvere di lunghezza è $ 2,5 ~ \ mu \ text {m} = 2.5 \ cdot 10 ^ {- 6} ~ \ text {m} $ (sembrava questa dimensione in Google). Quindi, se la particella è $ 1 ~ \ text {cm} = 10 ^ {- 2} ~ \ text {m} $ lontana dall'occhio, l'angolo con cui i percorsi di luce provengono da sopra e da sotto forma un angolo di $ \ frac {s} {r} = \ frac {2.5 \ cdot 10 ^ {- 6}} {10 ^ {- 2}} = 2.5 \ cdot 10 ^ {- 4} ~ \ text {rad} $. Questo è, per dirla semplicemente, inferiore alla risoluzione dei nostri occhi.

Considerando che, per l'esempio della Luna:

Distanza della Luna dalla Terra $ 384 000 ~ \ text {km} $, diremo $ 3,8 \ cdot 10 ^ {8} ~ \ text {m} $ per semplificare.Diametro della luna $ 3,474 ~ \ text {km} $, quindi $ 3.5 \ cdot 10 ^ {6} ~ \ text {m} $ di nuovo per semplificare.L'angolo qui è di circa $ 0,01 ~ \ text {rad} $, che è di circa $ 0,5 ~ \ text {gradi} $.Poiché la nostra intera prospettiva è quasi $ 180º $, questo è circa $ 0,2 \% $ del nostro campo visivo, piccolo, ma comunque considerevole.

Spero che questo aiuti!

Cerca lo spazio Euclideo e Minkowski.

Prospettiva e forma dello spazio

La prospettiva geometrica funziona perché ci capita di vivere in uno spazio tridimensionale quasi euclideo. In un tale spazio, per definizione, si applicano le regole familiari della geometria 3D e la prospettiva segue dalle regole della geometria.

Possiamo immaginare e descrivere altri spazi in cui le "regole familiari della geometria" non si applicano e in questi spazi le nostre regole di prospettiva non funzionerebbero.

Al momento la migliore descrizione matematica dello spazio in cui viviamo è quella dello spazio di Minkowski, secondo la Relatività Speciale. Lo spazio di Minkowski è deformato dallo spazio euclideo dalla densità di massa ed energia. Ma, da queste parti, lo spazio di Minkowski è quasi euclideo. Il Gravitational Lensing è una caratteristica della Relatività Speciale in cui la prospettiva normale non si applica.

Punti di fuga nel disegno

Penso che sia più facile pensare a un punto di fuga come un punto sulla superficie del disegno dove convergono le proiezioni 2D di un insieme di linee parallele (3D) nella scena. Le linee parallele nello spazio 2D e 3D euclideo non convergono, ma le linee proiettate sul piano di disegno si irradieranno da un punto in quel piano.

Di conseguenza la posizione di qualsiasi punto di fuga nel disegno dipende interamente da: il tuo punto di vista, la direzione del centro della scena, il campo visivo e la direzione "su" nella tua immagine.

Ad esempio, se stai guardando in basso un po ', come in un laghetto di ninfee, il punto di fuga dell'orizzonte nella tua foto sarà sopra il centro della tua foto. Se stai guardando un po 'in alto, è vero il contrario.

Punti all'infinito

Quando proiettiamo una coppia di linee parallele su una sfera immaginaria all'infinito, le linee si intersecano con la sfera in punti distinti .Se proiettate quei punti sul piano di disegno dal vostro punto di vista, i punti proiettati avranno effettivamente una separazione zero.Questo perché mentre qualcosa diviso per infinito è indefinito, possiamo prenderlo come indistinguibile da zero, qui.

Effetti ottici

Le regole della prospettiva applicano linee vere dalla scena, attraverso il piano di disegno, al tuo punto di vista.Ma la luce viaggia solo in linea retta in un mezzo uniforme.Ecco perché le lenti funzionano: la velocità della luce è più lenta nel vetro che nell'aria.Questo è il motivo per cui possiamo ottenere la distorsione del calore e i miraggi nell'aria.Potremmo sostenere che lo spazio sembra essere non euclideo in queste condizioni, ma ciò è dovuto al fatto che il raggio di luce non è diritto.

Sì, riguardo a quegli angoli (la luce che colpisce l'occhio, ecc.). Perché l'angolo dovrebbe restringersi all'aumentare della distanza? Bene, per prima cosa, è così che il nostro cervello interpreta il segnale che riceve dall'occhio. Oserei dire che se fosse il contrario (cioè se l'angolo diventasse più ampio all'aumentare della distanza), il nostro cervello troverebbe un modo per adattarsi, e tutti diremmo "È più grande perché è più lontano, è così che funziona ").

Penso che tu abbia capito un po 'al contrario. Il fatto che l'angolo si restringa quando un oggetto si allontana è una conseguenza della GEOMETRIA in cui viviamo. Viviamo in uno spazio geometrico dove gli angoli si riducono quando le cose si allontanano ulteriormente. Questo è sia qualcosa che può essere provato usando i postulati della geometria euclidea, sia un fatto sperimentale.

Ora, perché il nostro cervello interpreta piccoli angoli per indicare lontano? Perché ci siamo evoluti affinché i nostri sensi siano UTILI. I roditori che interpretavano i grandi leoni come lontani sono tutti morti. C'è una forte pressione evolutiva affinché il nostro cervello interpreti i nostri sensi per riflettere la realtà.

Come hai detto tu, se vivessimo in uno spazio geometrico in cui gli angoli diventassero più grandi quando le cose erano più lontane, il nostro cervello si sarebbe evoluto in interpretare la distanza in modo appropriato. Ma NON viviamo in quel tipo di spazio; viviamo nello spazio euclideo. Puoi dirlo perché nel nostro spazio le linee parallele non si intersecano e gli angoli dei triangoli si sommano fino a 180 gradi. Una delle conseguenze matematiche di ciò è che le cose più lontane sembrano più piccole.

Penso che si riduca a: Perché è così che funziona la matematica.

È così che Proiezione prospettica funziona. E lo fa perché puoi approssimare una fotocamera (o il tuo occhio) come un unico punto.

Mi sembra che l'ultimo "perché" ad accettare una delle altre risposte sia questo: io lavoro in questo modo perché immaginiamo che il punto focale della proiezione sia dietro il piano di proiezione.

Quindi forse ti chiarirà le cose se lo facessimo il contrario.

Immagina la tua retina come un'enorme tela. Guardi le cose attraverso una finestra di dimensioni considerevolmente più piccole (il piano di proiezione - o l'obiettivo nel seguente modello).

Allora effettivamente, l'oggetto più vicino (arancione) apparirà più piccolo dell'oggetto più lontano (viola). Ma in poche parole: non è così che funziona un occhio! In effetti le conseguenze di un sistema del genere sono piuttosto difficili da immaginare.

Fatto divertente e ovvio: in realtà questo punto focale è davvero di fronte al piano di proiezione. Con i tuoi occhi oltre che con le telecamere. Tuttavia è all'interno dell'intera apparatura e quindi nessuna luce viene emessa dall'interno e possiamo ignorare quello spazio per i nostri scopi. Quindi un'approssimazione come punto è sufficiente.

In una certa misura è vero quanto segue: gli oggetti all'interno del tuo occhio appaiono più grandi quanto più sono lontani dalla retina.

Ciò è dovuto al modo in cui sono costruiti i nostri occhi.

I nostri occhi hanno una lente, un foro e una retina. Questi prendono la luce diretta verso di noi e proiettano una "immagine" in una serie di direzioni sulla nostra retina. La retina quindi divide le cose in base agli angoli e invia le informazioni al nostro cervello. Il nostro cervello quindi lo interpreta come ciò che vediamo.

Una buona approssimazione di come funzionano il foro nel nostro occhio e la lente consiste nel trattare la pupilla come un punto che consente solo alla luce di passare "attraverso di essa" e proiettare sulla retina dietro di esso.

Prendi questo diagramma:

  AB #AB * #AB #  

Il * è l'allievo. I # sono la retina. Le A e B sono due oggetti più vicini / più lontani.

Usa un bordo stretto (matita o foglio di carta) per disegnare una linea dalla parte superiore delle B , attraverso il centro della pupilla * , sulla retina # . Fai lo stesso con il fondo. Questa è l'immagine che B proietta sulla nostra retina.

Confrontala con l'altezza delle A proiettate sulla retina. Il più vicino proietta un'immagine più grande .

Ora, anche la retina / pupilla può muoversi. E ha un centro di visione "ad alta risoluzione". Mantenendo la pupilla ferma, immagina che la retina ruoti attorno ad essa fino a quando il centro della visione non punti nella parte superiore / inferiore di ciascuno dei A e B .

A ha un angolo più ampio rispetto a B .

Questi due effetti: proiettano su un'area più ampia della retina e richiedono il tuo occhio deve ruotare di più per andare da una parte all'altra - è ciò che significa "sembra più grande".

Succede perché l'ottica di un piccolo foro con lente fondamentalmente scarta la luce che non viaggia "stretto" "attraverso il buco.

La luce è come una piscina piena di bambini, con onde dappertutto. Il nostro occhio è un piccolo dispositivo che fluttua nell'angolo. È una scatola con un foro su un lato. All'interno della scatola c'è un mucchio di carri allegorici. Usando la posizione dei galleggianti causata dal movimento delle onde, costruisce un'immagine di dove si trovano tutti nella piscina e cosa stanno facendo, a patto che ci sia una linea stretta dal dispositivo alla cosa facendo le onde. È un dispositivo incredibilmente sorprendente, ma l'immagine che vediamo è solo un'interpretazione (utile!) Di ciò che stanno facendo le onde (la luce).

In che modo un foro stenopeico + una lente fa sì che ciò accadere (consentire il passaggio della luce solo nel "passaggio stretto") è un problema di ottica e / o meccanica quantistica, a seconda di quanto si vuole andare in profondità e oltre la portata del problema.

La prossima domanda è l'orizzonte. L'orizzonte che vediamo è causato da due cose: cose che si allontanano (e quindi si rimpiccioliscono) e la Terra si intromette.

Su un mondo infinitamente piatto, ciò che vedresti abbastanza vicino il punto di fuga degli artisti. Tutte le cose "sulla terra" diventerebbero sempre più corte man mano che si allontanavano, in proporzione a quanto sono lontane. Anche le linee parallele si avvicinano sempre di più. Non raggiungerebbero mai 0 l'altezza o la larghezza, ma descriverebbe una curva leggermente più complessa, dove le linee parallele 2x più lontane sono la metà della distanza l'una dall'altra. Se vanno per sempre, tuttavia, le linee di stretto sono un'approssimazione decente. Ma anche lo spazio tra le "pietre miliari della distanza" si ridurrebbe.

Sulla Terra, tuttavia, siamo tipicamente situati a poco meno di 2 metri dalla superficie. E la superficie curva via.

Vedere qualcosa di alto 0 metri (cioè la superficie terrestre effettiva) è a circa 5 km di distanza. A quel punto, la Terra stessa ti impedisce di vedere la Terra stessa.

Le cose più alte saranno effettivamente visibili più lontano.Una cosa infinitamente alta che sporge dalla Terra sarebbe completamente sotto l'orizzonte solo se si trovasse esattamente sul lato opposto della Terra.

Per cose ragionevolmente corte (come edifici o montagne), puoivedi cose a circa 5 + $ 3,6 \ sqrt {h} $ km di distanza, dove $ h $ è in metri dal suolo (supponendo che tu sia ad altezza umana). Sorgente.

Più in generale, $ 3.6 \ sqrt {h_0} $ + $ 3.6 \ sqrt {h_1} $, dove $ h_0 $ e $ h_1 $ sono le altezze dei due oggetti, è quanto lontano puoi vedere qualcosa all'orizzonte.

Nessuno di questi effetti richiede la "curvatura dello spazio" per funzionare.

Cosa significa fare un disegno accurato rispetto alla prospettiva, come l'immagine nella tua domanda? Il foglio di carta 2-d chiaramente non è la stessa cosa della scena 3-d, quindi non possiamo semplicemente dire "sono gli stessi".

Se posso prendere in prestito l'immagine da anatra di cobalto:

Il disegno in prospettiva è fatto in modo tale che, se tieni il foglio di carta davanti ai tuoi occhi , le linee e i bordi tracciati nel disegno si avvicinano al tuo occhio nella stessa direzione dei bordi effettivi nella scena 3D.

Considera, nell'immagine delle anatre di cobalto, il pezzo da 25 centesimi come la nostra carta che noi si stanno avvicinando e la luna a destra è l'oggetto reale. Nel caso del mondo reale, i fotoni della luna emettono in tutte le direzioni, alcune delle quali vanno verso il tuo occhio. Per fare un disegno percettivo della luna, è necessario che la carta emetta fotoni lungo le stesse linee di vista. (Ignoro intenzionalmente il fatto che tendiamo a disegnare i bordi con la penna nera ... fingi invece che fossero bordi luminosi al neon!)

Quindi, se voglio rappresentare un punto nello spazio 3D sul mio 2d foglio di carta, dove lo devo mettere? Dovrei tracciare una linea tra il punto nello spazio 3d e l'occhio. Ovunque quel punto intersechi il foglio è il punto corretto di rappresentazione sul foglio.

Questo è un processo di mappatura e un aspetto fondamentale è che dipende solo dalla direzione del vettore dal punto nello spazio 3d all'occhio. La distanza effettiva non avrà importanza (in realtà, ci sono alcuni effetti che fanno apparire deboli gli oggetti in lontananza, ma è completamente separato dalla domanda che stai facendo).

Consideriamo ora un oggetto con una certa estensione. Che aspetto ha la luna quando viene proiettata sulla carta? Consideriamo solo il punto più alto e il punto più basso della luna, che corrispondono alle due linee rosse nel diagramma. Queste sono le direzioni che i fotoni stanno viaggiando per raggiungere l'occhio. Per rappresentare correttamente questi due punti sulla carta, guardiamo semplicemente dove questi due vettori intersecano la carta. Grazie alle scelte intelligenti delle scale nell'immagine di cobalt duck, vediamo che la parte superiore e inferiore del pezzo da 25 cent si allineano proprio lungo quelle linee rosse.

Ora consideriamo le lunghezze delle linee, perché è lì che il tuo questione di "più piccolo" viene da. Possiamo tracciare una linea tra la parte superiore e inferiore della luna, formando un triangolo con i 2 raggi che vanno all'occhio. Allo stesso modo, possiamo tracciare una linea dall'alto verso il basso del pezzo da 25 cent, formando un triangolo con i 2 raggi che vanno all'occhio. Poiché il pezzo da 25 cent (la rappresentazione della luna sulla carta) condivide i bordi del triangolo con il triangolo più grande della luna, possiamo usare Side-Angle-Side dalla geometria per mostrare che i due triangoli devono essere simili. Questi triangoli simili sono il "perché" che cerchi.

Considera il rapporto tra la distanza dal foglio e la distanza dall'oggetto.Anche le due linee che abbiamo tracciato dall'alto verso il basso devono condividere questo rapporto.Se, ai fini del disegno in prospettiva, presumiamo che la carta si trovi a una certa distanza fissa, questo porta alla relazione finale: se un oggetto è più lontano, dovrebbe essere disegnato più piccolo perché il rapporto di distanze tra l'occhio e la cartae eye-to-object è maggiore, il che significa che anche il rapporto tra la dimensione dell'oggetto e la dimensione sulla carta deve essere maggiore dello stesso rapporto.Se dovessimo considerare di spostare l'oggetto avanti e indietro, vedremmo che, quando è più vicino, la sua rappresentazione prospettica deve essere più grande per mantenere questi rapporti, e quando è più lontano la sua rappresentazione prospettica deve essere più piccola.

Considera una specie con due occhi, disposti su una linea parallela al suolo. Valuterebbero la distanza dall'angolo percepito usato dagli occhi per mettere a fuoco un oggetto. Nel caso estremo, diventi strabico guardando le cose molto vicine al tuo viso.

Possono giudicare l'angolo tra i loro occhi come una stima della distanza. I predatori che sono percepiti come all'angolo massimo sono giudicati distanti e al sicuro. I predatori che diminuiscono rapidamente l'angolo necessario per vederli dovrebbero essere giudicati avvicinarsi rapidamente, incoraggiando il nostro esemplare a fuggire via.

Poiché desideri creare un'illusione della distanza, crei un disegno in scala che cambia in modo uniforme gli oggetti distanti sono piccoli, ammassati insieme e con un'angolazione simile che imita la sensazione di un oggetto distante. Sebbene lo spettatore non debba incrociare gli occhi per vedere un oggetto vicino, gli viene ricordata la sensazione di vedere un oggetto vicino perché deve muovere l'occhio per cogliere tutti i dettagli dell'oggetto "vicino".

Ora, un uomo con un occhio solo deve giudicare la distanza solo in base alle dimensioni. Ecco perché è stupito quando un leone diventa così grande che il suo ultimo pensiero è: "Accidenti, guarda quanto sono grandi quei denti ..."