Questa è un'ottima domanda. I prodotti punto e croce sembrano molto misteriosi quando vengono presentati per la prima volta a un nuovo studente. Ad esempio, perché il prodotto scalare (punto) ha un coseno e il prodotto vettoriale (incrociato) ha un seno, piuttosto che viceversa? E perché questi stessi due modi molto non ovvi di "moltiplicare" i vettori insieme sorgono in così tanti contesti diversi?

La risposta fondamentale (che sfortunatamente potrebbe non essere molto accessibile se sei un nuovo studente) è che ci sono solo due tensori algebricamente indipendenti che sono invarianti sotto rotazioni arbitrarie in $ n $ dimensioni (diciamo che sono " $ \ mathrm {SO} (n) $ invariante"). Questi sono il delta di Kronecker $ \ delta_ {ij} $ e il simbolo Levi-Civita $ \ epsilon_ {ijk \ cdots} $ . La contrazione di due vettori con questi simboli produce rispettivamente i prodotti punto e croce (quest'ultimo funziona solo in tre dimensioni). Poiché le leggi della fisica sembrano essere isotropiche (cioè rotazionalmente invarianti), è logico che qualsiasi metodo fisicamente utile per combinare insieme quantità fisiche come i vettori sia isotropo. I prodotti punto e croce risultano essere le uniche due possibili opzioni multilineari.

(Perché le mappe multilineari sono così utili in fisica è una domanda ancora più profonda e fondamentale, ma quale risposte a questa domanda siano soddisfacenti è probabilmente intrinsecamente una questione di opinione.)

Un prodotto incrociato è strettamente correlato a un altro concetto, il prodotto esterno (o prodotto cuneo). Un prodotto esterno è un prodotto molto naturale che si trova in algebra. Il prodotto esterno di due vettori è un bivettore, le cui direzioni sono molto naturali (mentre la coppia come vettore è ad angolo retto rispetto alla forza e al braccio di leva, nel prodotto esterno è semplicemente un bivettore definito da due direzioni: la forza e la leve arm).

Sfortunatamente, i prodotti per esterni sono difficili da insegnare all'inizio. Prendono un sacco di matematica. I prodotti incrociati sono molto più facili da spiegare. E, a quanto pare, in 3 dimensioni, i prodotti incrociati e quelli esterni sono isometrici. Si trasformano nello stesso modo. Se fai i conti con i prodotti incrociati, ottieni la stessa risposta come se li avessi fatti con prodotti per esterni. Questo non funziona in tutte le dimensioni (i prodotti incrociati sono una cosa tridimensionale, mentre i prodotti esterni possono essere realizzati in qualsiasi numero di dimensioni), ma funziona in 3 e molta fisica è fatta in tre dimensioni!

Mi sto concentrando sulla geometria dei prodotti incrociati

I prodotti incrociati vengono utilizzati quando siamo interessati al braccio del momento di una quantità. Questa è la distanza minima di un punto da una linea nello spazio.

1. La distanza D da un raggio da Origin. Un raggio lungo il vettore di unità $ \ boldsymbol {e} $ passa per un punto $ \ boldsymbol {r} $ span> nello spazio.

   $$ d = \ | \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {e} || \ tag {1} $$

   $ d $ è la distanza perpendicolare al raggio (nota anche come braccio del momento della linea).

2. Il braccio della forza moment (Torque Vector) . Una forza $ \ boldsymbol {F} $ lungo $ \ boldsymbol {e} $ causa la seguente coppia di l'origine

   $$ \ boldsymbol {\ tau} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {F} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {\ tau} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {F} \ | \ tag {2} $$

3. Il braccio di rotazione moment (vettore di velocità) . Una rotazione $ \ boldsymbol {\ omega} $ attorno all'asse $ \ boldsymbol {e} $ fa sì che un corpo di cui spostarsi nella posizione di origine

   $$ \ boldsymbol {v} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {\ omega} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {v} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {\ omega} || \ tag {3} $$

4. Il braccio moment di Momentum (Momentum angolare) . Una particella classica con quantità di moto $ \ boldsymbol {p} $ lungo $ \ boldsymbol {e} $ ha angolare slancio sull'origine

   $$ \ boldsymbol {L} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {p} \; \;\ rightarrow \ |\ boldsymbol {L} \ |= d \, \ |\ boldsymbol {p} \ |\ tag {4} $$

È davvero molto più semplice di quanto le altre risposte finora abbiano immaginato.Usiamo i prodotti a croce e punto (e tutta la matematica) perché ci consentono di creare modelli matematici abbastanza semplici (ovvero le leggi della fisica) che rappresentano accuratamente ciò che l'universo fa effettivamente.

I prodotti incrociati sono spesso usati con pseudovettori (detti anche vettori assiali). Meno con i vettori (aka vettori polari). Capire la differenza tra vettori assiali e polari aiuta qui.

Sia i vettori assiali che quelli polari sono ciò che i matematici considererebbero un vettore. Entrambi sono un insieme di 3 coordinate. Sono spesso disegnati come frecce. Possono essere sommati e moltiplicati per numeri come frecce.

I fisici richiedono qualcosa di più per considerare una quantità come un vettore. Devono rappresentare una quantità fisica che si trasforma nel modo giusto quando si cambiano le basi.

I vettori polari rappresentano quantità come distanza, velocità, accelerazione e forza. Questi possono descrivere il movimento di una particella puntiforme con una magnitudine e una direzione.

I vettori assiali rappresentano un diverso insieme di quantità, come velocità angolare e momento angolare. Questi descrivono cose come il movimento rotatorio in un aereo. Sono la grandezza e l'orientamento dell'aereo. Ciò equivale al movimento attorno a un asse. Sono spesso rappresentati da una freccia, dove la freccia è parallela all'asse e perpendicolare al piano. L'orientamento del piano include l'idea del senso orario rispetto al senso antiorario. Questo è rappresentato mettendo la freccia su un lato o sull'altro dell'aereo come dettato dalla regola della mano destra.

I vettori assiali spesso si presentano come il prodotto di due vettori polari perpendicolari. $ \ vec \ omega = (\ vec r \ times \ vec v) / r ^ 2 $ .

Per un oggetto rigido fissato a un asse, ogni punto può spostarsi solo con $ v $ perpendicolare a $ r $ . Ma una particella libera può muoversi in qualsiasi direzione. In questo caso, il prodotto incrociato seleziona il componente di $ v $ perpendicolare a $ r $ , il componente che contribuisce alla rotazione attorno all'asse. Il risultato è un vettore perpendicolare a $ v $ e $ r $ secondo la regola della mano destra.

Il campo magnetico è un vettore assiale. Vedi Perché il campo B è un vettore assiale? per ulteriori informazioni. Ciò significa che una corrente genera un campo $ B $ attorno ad essa, descritto dalle linee del campo magnetico. Per una corrente lineare, le linee di campo sono planari e circolari. Per correnti più complesse, sono sempre curve chiuse. In qualsiasi punto, la linea di campo è l '"asse" perpendicolare al piano del campo magnetico.

La forza magnetica viene generata quando una carica si sposta nel piano di $ B $ . Cioè, quando una carica si muove perpendicolarmente all '"asse" di B. Questo viene catturato da $ \ vec F = q \ vec v \ times \ vec B $ .

I prodotti incrociati sono intrinsecamente utili quando si descrivono le rotazioni . Per prima cosa, diamo un'occhiata a due modi diversi di descrivere le rotazioni in $ \ mathbb {R} ^ {3} $ .

Il primo modo per farlo è fornire l ' asse di rotazione, che è dato da una linea in $ \ mathbb {R} ^ {3} $ e una grandezza (che rappresenta l'angolo), che è data da un numero in $ \ mathbb {R} $ span >. Combinando queste due cose, ottengo un vettore, diciamo $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ .

Un altro buon modo per farlo è fornire il piano in cui sto ruotando, che posso rappresentare con due linee perpendicolari in $ \ mathbb {R} ^ {3} $ e una grandezza (che rappresenta l'angolo), che è di nuovo un numero in $ \ mathbb {R } $ . Codifico queste cose selezionando due vettori $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ , e dico che la grandezza è codificata dal prodotto di le lunghezze $ \ | v \ | \ | w \ | $ . Ciò significa che molte coppie diverse di $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ danno la stessa rotazione, ma va bene. (Posso persino consentire più coppie diverse, non assumendo che $ v $ e $ w $ siano perpendicolari , ma poi devo sostituire il loro prodotto con l'area dei parallelogrammi da loro attraversati.)

Ora, il prodotto incrociato ci offre un modo per tradurre tra questi diversi modi di codificare le rotazioni. Per essere precisi, se $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ e la coppia $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ descrive la stessa rotazione, quindi $ x = v \ times w $ .

(Il fatto che molte coppie diverse $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ descrivano la stessa rotazione significa che $ x $ può essere scritto come prodotto incrociato in molti modi diversi, ad esempio, ci sono molti $ v ', w' \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ tale che $ v '\ times w' = v \ times w = x $ .)

Ora, il motivo per cui questo accade in fisica non ha una risposta così chiara, tranne che entrambi questi due diversi modi di rappresentare le rotazioni hanno i loro usi. Ad esempio, nel tuo esempio parlando di una carica che si muove in un campo elettrico, direi che questo è solo un fatto naturale stabilito sperimentalmente.

Un aspetto interessante è che le rotazioni possono essere composte, cioè, date due rotazioni posso prima fare una e poi l'altra per ottenere una terza rotazione. Potrebbe essere interessante provare a capire come funziona in una delle immagini che ho fornito sopra.

Il prodotto incrociato è la rappresentazione della so (3) Algebra di Lie.Ciò significa che la rotazione infinitesimale è rappresentata dal prodotto incrociato.

Non sono sicuro di quanto tu sia avanzato matematicamente, quindi è difficile sapere quanto aggiungere verbalmente.Inoltre, sto postando da un tablet, quindi scrivere è complicato.

Non esiste una risposta singola, ma il prodotto incrociato implica un qualche tipo di rotazione attorno a un asse.Che si tratti di una rotazione fisica o di uno spostamento matematico dipende dalle circostanze.

Un punto in cui il prodotto incrociato è abbastanza facile da capire è nella relazione tra momento angolare, energia cinetica rotazionale e coppia.

Fammi sapere se puoi seguire la matematica, basata sul diagramma.Sto parlando delle deviazioni nelle scatole.Le cose seguenti sono incomplete.