È importante quando si studia matematica farlo con la seguente prospettiva
I matematici consentono oggetti di fantasia non calcolabili inutili
I matematici spesso scelgono di vivere in un mondo in cui l'assioma di la scelta è vera per insiemi di dimensione del continuum. Questo è idiota per molte ragioni, anche per loro, ma è particolarmente idiota per la fisica. Ci sono argomenti facili e intuitivi che stabiliscono che ogni set ha un volume, o misura di Lebesgue, e vanno in questo modo:
Dato qualsiasi set S in una grande scatola B, scegli i punti a caso e considera quando arrivano S. Nel limite di molti lanci, definisci la misura di S come il volume di B per la frazione di punti che atterrano in S. Quando funziona, e funziona sempre, ogni insieme è misurabile .
Questa definizione non è consentita in matematica, perché il concetto di scelta casuale di un punto richiede di prendere un limite al processo casuale di scelta delle cifre a caso. Il processo casuale limitante deve essere definito separatamente dai processi di approssimazione all'interno della matematica usuale, anche quando le approssimazioni convergono quasi sempre in un'unica risposta! L'unica ragione di ciò è che ci sono assiomi di costruzioni di scelta di insiemi non misurabili, in modo che l'argomento di cui sopra non può essere lasciato passare. Questo porta a molte convenzioni ingombranti che inibiscono la comprensione.
Se leggi la matematica, tieni in mente che ogni insieme di numeri reali è realmente misurabile, che ogni ordinale è realmente numerabile (anche quelli che fingono di essere innumerevoli collassano a quelli numerabili nei modelli effettivi di teoria degli insiemi ), e che tutti i risultati di fantasia della matematica derivano dalla mappatura dei numeri reali in un ordinale. Quando mappi i numeri reali su un ordinale, stai fingendo che un modello di teoria degli insiemi, che è segretamente numerabile dal teorema di Skolem, contenga tutti i numeri reali. Ciò fa sì che l'insieme di numeri reali sia segretamente numerabile. Questo non porta a un paradosso se non ti permetti di scegliere numeri reali a caso, perché tutti i numeri reali per i quali puoi creare simboli sono numerabili, perché ci sono solo molti simboli numerabili. Ma se riveli questa numerabilità ammettendo un simbolo che rappresenta una mappa uno-a-uno tra alcuni numeri ordinali e reali, ottieni teoremi di Vitali sugli insiemi non misurabili. Questi teoremi non possono mai avere un impatto sulla fisica, perché questi "teoremi" sono falsi in ogni interpretazione reale, anche all'interno della matematica.
Per questo motivo, puoi fondamentalmente ignorare quanto segue:
- Topologia avanzata dell'insieme di punti --- i risultati non banali della topologia dell'insieme di punti sono inutili, perché spesso stanno analizzando la struttura di scelta del continuum. I risultati banali stanno solo riaffermando proprietà elementari di continuità nel linguaggio teorico degli insiemi. L'intero campo è in bancarotta. L'unica cosa utile in esso è lo studio delle topologie su insiemi discreti.
- Teoria elementare della misura: mentre la teoria avanzata della misura (probabilità) è molto importante, i trattamenti elementari della teoria della misura riguardano fondamentalmente la fantasia che ci sono insiemi non misurabili. Non dovresti mai dimostrare che un insieme è misurabile, perché tutti gli insiemi sono misurabili. Ignora questa parte del libro e passa direttamente alle parti avanzate.
La matematica discreta è importante
All'inizio è un po 'difficile da capire per i fisici, perché immaginano che la matematica continua sia tutto ciò che è necessario per la fisica. Sono un mucchio di sciocchezze. Il vero lavoro in matematica sta nei risultati discreti, i risultati continui sono spesso solo ombre pallide di relazioni combinatorie molto più profonde.
La ragione è che il continuum è definito da un processo limitante, in cui prendi un qualche tipo di discreta struttura e lo completano. Puoi prendere un reticolo e renderlo più fine, oppure puoi prendere i razionali e considerare i tagli di Dedekind, oppure puoi prendere espansioni decimali, o sequenze di Cauchy, o qualsiasi altra cosa. È sempre attraverso una struttura discreta che viene completata.
Ciò significa che ogni relazione su numeri reali è in realtà una relazione su strutture discrete che è vera nel limite. Ad esempio, la soluzione di un'equazione differenziale
$$ {d ^ 2x \ over dt ^ 2} = - x ^ 2 $$
È veramente una relazione asintotica per le soluzioni delle seguenti approssimazioni discrete
$$ \ Delta ^ 2 X_n = - \ epsilon x_n ^ 2 $$
Il punto è, ovviamente, che molte approssimazioni discrete differenti danno lo stesso oggetto continuum esatto. Questo è chiamato "esistenza di un limite continuo" in matematica, ma in fisica statistica, si chiama "universalità".
Quando si studiano equazioni differenziali, le strutture discrete sono troppo elementari perché le persone le ricordino. Ma nella teoria quantistica dei campi, al momento non esiste una definizione del continuo. Dobbiamo definire esplicitamente la teoria quantistica dei campi con una sorta di modello reticolare (questo sarà sempre vero, ma in futuro le persone maschereranno la struttura discreta sottostante per enfatizzare le relazioni asintotiche universali, come fanno per le equazioni differenziali). Quindi tieni presente la traduzione tra risultati discreti continui e asintotici, e che i risultati discreti sono davvero quelli più fondamentali.
Quindi fai studia il più possibile:
- Teoria dei grafi: in particolare i risultati associati alla scuola Erdos
- Teoria dei gruppi discreti: anche questa è importante, sebbene le parti avanzate non vengano mai fuori.
- Combinatoria: i risultati asintotici sono essenziale.
- Probabilità: questo è il più difficile da consigliare perché la letteratura è così offuscata. Ma cosa puoi fare? Ne hai bisogno.
Non studiare versioni matematiche di cose sviluppate per la prima volta in fisica
I matematici non hanno fatto un buon lavoro nel tradurre la matematica sviluppata in fisica in matematica. Quindi i seguenti campi della matematica possono essere ignorati:
- Relatività generale: leggi i fisici, ignora i matematici. Non hanno niente da dire.
- Processi stocastici: leggi i fisici, ignora i matematici. Non capiscono realmente gli integrali di percorso, quindi non hanno nulla da dire. L'utilità di questo per la finanza ha avuto un effetto deleterio, dove i libri sono stati volutamente offuscati per mascherare i risultati elementari. Tutti i risultati si trovano nella letteratura fisica da qualche parte nella forma più utile.
- Campi quantistici: leggi i fisici, in particolare Wilson, Polyakov, Parisi e quella generazione. hanno davvero risolto il problema. I matematici sono inutili. I Connes-Kreimer sono un'eccezione a questa regola, così come lo sono, ma stanno riportando in vita i risultati di Zimmermann che credo che nessuno tranne Zimmermann abbia mai capito. Anche Atiyah / Segal sui campi topologici è importante, e Kac potrebbe anche essere un fisico.
La fisica è la scienza delle cose che sono morte. Nessuna logica.
Ci sono molti risultati in matematica che analizza la natura generale di un calcolo. Questi calcoli sono vivi, possono essere complessi quanto vuoi. Ma la fisica è interessata al mondo morto, cose che hanno una semplice descrizione in termini di un piccolo calcolo. Cose come il sistema solare o un cristallo di sale.
Quindi non ha senso studiare logica / computazione / teoria degli insiemi in fisica, non lo userai nemmeno. Ma penso che questo sia miope, perché la logica è uno dei campi più importanti della matematica, ed è importante per se stessa. Sfortunatamente, la letteratura sulla logica è più opaca di qualsiasi altra, anche se Wikipedia e math-overflow aiutano.
- Logica / computazione / teoria degli insiemi: non la userete mai, ma studiatela comunque.