Il modo giusto di pensarci è che, in 5.730 anni, ogni singolo atomo di carbonio-14 ha una probabilità del 50% di decadere . Poiché un campione tipico ha un numero enorme di atomi ¹ e poiché decadono più o meno indipendentemente ² , possiamo statisticamente dire con un precisione molto elevata, che dopo 5.730 anni metà di tutti gli atomi di carbonio 14 originali sarà decaduta, mentre il resto rimarrà ancora.

Per rispondere alla tua prossima domanda naturale, no, questo non significa che il rimanente gli atomi di carbonio-14 sarebbero "sul punto di decadere". In generale, i nuclei atomici non hanno memoria ³ : finché non è decaduto, un nucleo di carbonio-14 creato ieri è esattamente identico a uno creato un anno fa o 10.000 anni fa o anche un milione di anni fa. Tutti quei nuclei, se esistono ancora oggi, hanno la stessa probabilità del 50% di decadere entro i prossimi 5.730 anni.

Se vuoi, puoi immaginare ogni nucleo di carbonio-14 che lancia ripetutamente un moneta immaginaria molto polarizzata molto veloce (più veloce di quanto potremmo misurare): ad ogni lancio, con una molto, molto possibilità, la moneta esce le teste e il nucleo decade; altrimenti, esce croce e il nucleo rimane insieme per ora. In un periodo di, diciamo, un secondo o un giorno, le probabilità di qualsiasi lancio di monete che escono testa sono ancora minime, ma, in 5.730 anni, le molte, molte piccole probabilità si sommano gradualmente a una probabilità di decadimento cumulativa di circa il 50%.

_{¹ Un grammo di carbonio contiene circa 0,08 moli, o circa 5 × 10 ²² atomi. In un tipico campione naturale, circa uno su un trilione (1/10 ¹² ) di questi sarà carbonio-14, dandoci circa 50 miliardi (5 × 10 ¹⁰ ) atomi di carbonio-14 in ogni grammo di carbonio.}

_{² Il decadimento radioattivo indotto si verifica, in particolare nelle reazioni a catena di fissione. Il carbonio-14, tuttavia, subisce un β ^- decadimento spontaneo, la cui velocità non è normalmente influenzata da influenze esterne in misura significativa.}

_{³ isomeri nucleari e altri stati nucleari eccitati esistono, quindi non è corretto affermare che tutti i nuclei di un dato isotopo sono sempre identici. Tuttavia, anche questi possono, in pratica, essere modellati efficacemente come stati discreti, con transizioni spontanee tra stati diversi che si verificano casualmente con un tasso fisso nel tempo, proprio come fanno gli eventi di decadimento nucleare.}

Il carbonio-14 ha un'emivita di 5.730 anni. Ciò significa che dopo 5.730 anni, metà di quel campione decade. Dopo altri 5.730 anni, un quarto del campione originale decade (e il ciclo va avanti e avanti, e si potrebbe usare praticamente qualsiasi isotopo radioattivo). Perché è così? Logicamente, non dovrebbero essere necessari 2.865 anni perché il trimestre decada, invece di 5.730?

So esattamente da dove vieni. Se posso esprimermi con parole mie: Se un campione impiega un po 'di tempo a decadere, un campione della metà delle dimensioni non dovrebbe impiegare la metà del tempo a decadere? Sono caduto in questo convinzione apparentemente sensata ma in qualche modo errata più di una volta.

Ecco un grafico che mostra ciò che credo tu stia pensando attualmente.

L'asse orizzontale è il tempo. Sul grafico verticale faccio il grafico della quantità di campione rimasta. Questo grafico sarebbe vero se metà del campione impiegasse metà del tempo a decadere. (Puoi vedere questo nel grafico? Guarda $ t = T / 2 $ dove il tempo $ T $ è quando il campione è sparito.) Penso che in un certo senso abbia senso, ma non è così che funziona la natura.

Ora ecco un grafico di ciò che accade effettivamente.

Questo grafico è "in decadimento esponenziale" È una conseguenza di quanto segue: Un campione della metà della dimensione decade a metà della velocità. Questo ha anche un senso (per fortuna): se hai metà della dimensione del campione, avrai la metà del tasso di decadimento. Al contrario, si noti che il primo grafico ha il tasso di decadimento costante, indipendentemente dalla dimensione del campione (cioè, una pendenza costante).

Quindi queste due possibilità si escludono a vicenda: o il tasso di il decadimento è costante indipendentemente dalla dimensione (primo grafico), oppure il tasso di decadimento è proporzionale alla dimensione del campione (secondo grafico). L'osservazione mostra che il secondo grafico è corretto.

Logicamente, non dovrebbero essere necessari 2.865 anni perché il trimestre decada, invece di 5.730?

Immagina che la quantità $ q (n) $ di qualcosa decade

$$ q (n) = Q \ cdot 2 ^ {- n} $$

dove $ n $ è il numero di emivite.

Inizialmente, c'è la quantità $ q (0) = Q \ cdot 2 ^ 0 = Q $ di qualcosa.

Dopo 1 emivita, c'è $ q (1 ) = Q \ cdot 2 ^ {- 1} = \ frac {Q} {2} $ rimanente.

Dopo 2 emivite, c'è $ q (2) = Q \ cdot 2 ^ { -2} = \ frac {Q} {4} $ rimanente.

Dopo 3 emivite, c'è $ q (3) = Q \ cdot 2 ^ {- 3} = \ frac {Q } {8} $ rimanenti.

Dopo 4 emivite ...

Ora, nota che la quantità $ \ frac {q (n + 1)} {q (n )} = \ frac {1} {2} $ è costante.

Vale a dire che, data una quantità in qualsiasi momento (non solo il punto "iniziale"), un'emivita dopo metà di quella quantità è decaduta. Questo è il significato dell'emivita.

Dall'articolo di Wikipedia collegato:

L'emivita (t½) è la quantità di tempo necessaria affinché una quantità cada a metà del suo valore misurato all'inizio del periodo di tempo.

Supponi di iniziare con due chilogrammi di C-14. Dopo 5730 anni ti resta un chilogrammo. Chiama quel pezzo A. Ora prendi un altro chilogrammo di C-14, chiamalo pezzo B e mettilo accanto al pezzo A.

Ora hai due pezzi identici di C-14, eppure uno di loro (A) dovrebbe decadere per metà in 2865 anni e l'altro (B) dovrebbe decadere per metà in 5730 anni? Vedi come non ha senso?

Spero che questo ti convinca che la velocità con cui un elemento radioattivo decade può dipendere solo da quanta ne è presente in quel momento, non da quanta il campione originale è rimasto.

Questo è qualcosa che non credo che nessuna delle altre risposte abbia sollevato esplicitamente, ma Nick Stauner vi ha fatto allusione in un commento.

Come grossolana analogia per darti un po 'di intuizione, prova quanto segue: metti 100 penny in una scatola da scarpe, tutti con avvertimento. Agitare energicamente la scatola da scarpe. Tira fuori tutti i penny che sono cambiati in croce. È un'emivita. Scuoti di nuovo la scatola e tira fuori di nuovo i penny che sono croce. Ripeti finché non ci sono più centesimi nella scatola.

L'idea qui è che i centesimi a testa in su rappresentano atomi di carbonio-14. I penny con la croce rappresentano gli atomi che sono decaduti. Per ogni singolo penny, ogni volta che agiti la scatola c'è una probabilità del 50/50 che giri croce, proprio come per ogni singolo atomo c'è una probabilità del 50-50 che decada durante un periodo di emivita.

Fondamentalmente, la disintegrazione nucleare è probabilistica per sua stessa natura. Ciò che significa è che non si può dire con convinzione che, diciamo, un atomo tenuto su un tavolo si disintegrerà, diciamo, nel prossimo minuto. Tutto quello che si può dire è che, tra un dato campione di, diciamo, 100 nuclei, il 10% di esso si disintegrerà nel prossimo minuto.

La disintegrazione nucleare segue la cosiddetta cinetica del primo ordine, il che significa di reazione è direttamente proporzionale alla quantità di reagente presente. In altre parole,

$$ d / dx (C) = -k C $$

dove C è la concentrazione corrente del reagente e k è la costante di proporzionalità.

Da questo calcolo, ciò che si può ottenere è un termine chiamato emivita, il che significa che dopo che è trascorso questo tempo, metà della concentrazione viene disintegrata (sto usando disintegrato e reagito in modo intercambiabile, poiché la reazione nella disintegrazione nucleare è disintegrazione).

Ciò significa che un campione di 100 atomi dopo un'emivita rimarrebbe 50 $ = 100 * (1/2) ^ 1 $, che dopo 2 emivite diventerebbe 25 $ = 100 * (1/2) ^ 2 = 50 * (1/2) ^ 1 $ e così via ...

Supponi che il decadimento abbia funzionato come hai proposto, metà degli atomi impiegano la metà del tempo a decadere. All'inizio sembra plausibile, ma considera questo: come fa un atomo a sapere quando gli è permesso di decadere? Non può semplicemente tirare un dado e decadere se ottiene un 1, deve sapere quanto è grande il campione in cui si trova e regolare la sua probabilità di decadere di conseguenza. Se non aggiustasse la sua probabilità di decadimento, ci si aspetterebbe un decadimento esponenziale, perché:

Esperimento mentale: tira un dado a 20 facce. Se ottieni 1, decade. Quanti rotoli ci vogliono per arrivare a una probabilità del 50% di decadere? (suggerimento: non è 10) Quanti tiri per ottenere il 100%?

Esperimento mentale 2: tira cento dadi a 20 facce. Qualsiasi dado che cade su 1 decade. Quanti probabilmente ne sono rimasti dopo il primo round? Dovrebbe volerci più tempo, in media, per farli decadere tutti rispetto a se ne avessi solo 1?

Esperimento mentale 3: tanti dadi quanti sono gli atomi in una considerevole porzione di materiale. Come si comporta?

Dovrebbe essere chiaro che in media perdi il 5% dei dadi che ti restano (non di quanti hai iniziato, che è non qualcosa che il sistema può ricordare) per round - decadimento esponenziale. L '"emivita" di questi dadi è di circa 13,5 giri, ovvero il tempo necessario prima che circa la metà decada.

Penso che tu sia confuso semplicemente dalla lingua. Ricorda che è un quarto del campione originale . Quindi è come un interesse composto in banca. Inizi con il capitale iniziale, una volta che l'interesse è composto, potresti dire che la percentuale di quel capitale viene AGGIUNTA AL "capitale", quindi una percentuale di QUELLO viene calcolata e aggiunta a quel secondo numero. Allo stesso modo con il decadimento nucleare, tranne per il fatto che stai sottraendo e sottraendo una metà pari in un anno invece di aggiungere qualcosa come lo 0,05% ogni mese (o qualunque sia il numero utilizzato dalle banche).

La metà di quello il secondo campione è un quarto dell'originale. Quindi potresti esprimere questa frazione dell'originale come $ \ frac {1} {2 ^ n} $ dove $ n = $ l'unità di tempo per la tua costante. In questo caso, un anno. Quindi, per ogni anno, $ \ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ frac {1} {16} $, ecc.

La massa dei materiali radioattivi segue l'ordinaria equazione differenziale: $$ m '(t) = - am (t), $$ dove $ m $ è la massa e $ a $ una costante positiva - cioè, velocità relativa costante di decadimento.

Ciò implica $$ m (t) = m (0) \ mathrm {e} ^ {- at}. \ tag {1} $$ Se $ T_h $ è a metà vita, allora $$ m (T_h) = m (0) \ mathrm {e} ^ {- aT_h} = \ frac {1} {2} m (0) , $$ che implica che $$ T_h = \ frac {\ log 2} {a}, $$ e quindi $ (1) $ possono essere scritti anche come $$ m (t) = 2 ^ {- t / T_h} m (0). $$ Quindi il quarto di vita è $ T_Q $, per il quale $ m (T_Q) = \ frac {1} {4} m (0) $ o $$ m ( T_Q) = 2 ^ {- T_Q / T_h} m (0) = \ frac {1} {4} m (0), $$ che vale solo se $ T_Q = 2T_h $!

Immagina un campione di 1000 atomi con un'emivita di 1 ora.

Ciò significa che ogni ora, il campione viene ridotto al 50% della sua dimensione.

Dopo uno ora, ti rimangono 500 atomi. Quanto tempo per ridurre il nuovo campione (500 atomi) al 50% (250 atomi)?

Nella tua interpretazione:

Per il nuovo campione per essere ridotto al 50%, deve perdere 250 atomi. Poiché ha perso 500 atomi in 1 ora, dovrebbero essere necessari 30 minuti per perdere 250 atomi. Ed è qui che ti sbagli. È necessaria ancora 1 ora perché metà degli atomi decada.

Assumi che il numero di atomi che decadono nel tempo (500 / ora) sia costante, ma non lo è.

Ciò che è costante è la probabilità che ogni atomo decada in un'ora: 50% (In questo esempio, ciò significa che possiamo aspettarci che 250 atomi siano decaduti dopo 1 ora, e diventa molto più preciso con il numero di atomi "reali" su un periodo più lungo)

in parole povere: la legge sull'attività afferma che:

dn / dt è proporzionale a n. il che significa

la velocità di reazione di qualsiasi sostanza dipende dalla quantità della sostanza stessa. poiché inizialmente c'è una maggiore quantità di carbonio, la probabilità che una parte di esso decada è maggiore rispetto a quando ne rimane meno.

È un numero unico per le diminuzioni di composizione

Le emivite sono fondamentalmente le stesse del "raddoppio del tempo" negli investimenti, ma dimezzate.

La regola del 72: la capitalizzazione aumenta

La "regola del 72" ti consente di stimare quanto tempo impiega i tuoi soldi a raddoppiare, dato un certo tasso di interesse. Ad esempio, se ottieni un interesse del 9% all'anno, 72/9 è 8, quindi secondo la regola, i tuoi soldi raddoppierebbero in circa 8 anni.

Puoi vedere questo raddoppio se moltiplichi semplicemente un importo per 1.09 , quindi moltiplichi il risultato per 1.09 , avanti e indietro. (Non sto cercando di essere preciso qui, quindi sto usando solo numeri interi per i risultati.) Ogni 8 round, l'importo è circa il doppio.

  0: 100.000
1: 109.000
2: 118.810
3: 129.503
4: 141.158
5: 153.862
6: 167,710
7: 182.804
8: 199,256 - circa il doppio
9: 217.189
10: 236,736
11: 258`` 043
12: 281,266
13: 306,580
14: 334,173
15: 364,248
16: 397,031 - circa il doppio di nuovo
17: 432,763
18: 471,712
19: 514,166
20: 560,441
21: 610,881
22: 665,860
23: 725,787
24: 791,108 - circa il doppio di nuovo
... e così via
 

Chiaramente questo non è estremamente accurato; la regola del 72 è solo un'approssimazione che puoi fare nella tua testa. Consulta l'articolo di Wikipedia per la formula esatta.

Emivite: la capitalizzazione diminuisce

Le emivite sono la stessa idea, ma con interessi negativi (immagina le commissioni su un conto bancario o l'inflazione). Se un importo diminuisce del 9% all'anno, si dimezzerà in circa 8 anni, si dimezzerà di nuovo in altri 8 anni, ecc.

Puoi vederlo se moltiplichi un importo per 0,91 , quindi moltiplica il risultato per 0,91 , avanti e indietro. (Di nuovo, non sto cercando di essere preciso qui, quindi sto usando solo numeri interi per i risultati.) Ogni 8 round, l'importo è circa la metà.

  0: 100.000
1: 92.000
2: 84.640
3: 77.869
4: 71.639
5: 65.908
6: 60.636
7: 55,785
8: 51,322 - circa la metà
9: 47.216
10: 43,439
11: 39.964
12: 36,767
13: 33,825
14: 31,119
15: 28,630
16: 26,339 - di nuovo circa la metà
17: 24,232
18: 22,294
19: 20,510
20: 18,869
21: 17.360
22: 15.971
23: 14,693
24: 13,518 - di nuovo circa la metà
... e così via
 

L'emivita è più facile da confrontare rispetto alle diminuzioni percentuali

Quindi, invece di emivite, potremmo usare decadimenti percentuali. Ma i tassi di decadimento sono molto ampi, quindi a differenza dei calcoli finanziari, dove "all'anno" è sempre una scala temporale ragionevole, dovremmo fare una delle due cose imbarazzanti:

1. Utilizza la stessa unità per tutto, come "decadimento percentuale per nanosecondo", anche se sarebbe una percentuale elevata per alcuni isotopi e una percentuale estremamente minima per altri
2. Utilizza sia la percentuale che le unità di tempo, come "questo isotopo decade dell'1% all'anno, e questo del% 3 al minuto e questo dello 0,001% al millennio" o altro.

Se invece utilizziamo l'emivita, abbiamo un unico numero facile da confrontare, ad esempio "emivita di un millisecondo" rispetto a "emivita di 10 miliardi di anni".

Emivita 1 = 5.730 anni mentre il rapporto è 1: 1

Emivita 2 = 11.460 anni mentre il rapporto è 1: 3

Emivita 3 = 17.190 anni mentre il rapporto è 1: 7

Emivita 4 = 22.920 anni mentre il rapporto è 1:15

Per ottenere 2-4 emivite, aggiungi solo 5.730 ogni volta.

Quindi come ho ottenuto la seconda emivita faresti 5.730 + 5.730 = 11.460