Domanda:
Perché le equazioni differenziali per i campi in fisica sono di ordine due?
Nikolaj-K
2011-12-21 20:04:11 UTC
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Qual è la ragione dell'osservazione che i campi generali in fisica sono generalmente governati da equazioni differenziali (parziali) del secondo ordine?


Se qualcuno per strada mi chiedesse domanda, allora probabilmente borbotterei qualcosa sui fisici che vogliono essere in grado di usare l'approccio lagrangiano. E per consentire una rotazione positiva e un termine energetico invariante di traslazione, che consente la propagazione locale, è necessario qualcosa come $ - \ phi \ Delta \ phi $.

Presumo che la risposta vada in questa direzione, ma io non posso davvero giustificare il motivo per cui termini più complessi nella lagrangiana non siano consentiti o perché gli ordini superiori siano un problema fisico. Anche se questi richiedono più dati iniziali, non vedo il problema a priori.

Inoltre potresti trovare quantità nello spirito di $ F \ wedge F $ e $ F \ wedge * F $ e va bene sì ... forse qualsiasi scalare inventato non descrive la fisica o manca di simmetrie preziose. D'altra parte, nell'intera faccenda della rinormalizzazione, sembrano essere autorizzati a usare molti, molti termini nelle loro lagrangiane. E se ho capito bene, la teoria della supersimmetria è fondamentalmente un metodo per introdurre anche nuove densità lagrangiane.

Conosciamo il limite per la creazione di questi oggetti? Qual è la giustificazione fondamentale per l'ordine due?

Correlato: https://physics.stackexchange.com/q/4102/2451
Sono sorpreso che nelle 10 risposte di seguito nessuno abbia menzionato "causalità" e "località".Le equazioni differenziali del terzo ordine e superiori (come l'equazione di Abraham-Lorentz-Dirac) hanno problemi con la causalità e la località.
Dieci risposte:
#1
+31
Luboš Motl
2011-12-21 20:45:32 UTC
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Prima di tutto, non è vero che tutte le equazioni differenziali importanti in fisica sono di secondo ordine. L'equazione di Dirac è del primo ordine.

Il numero di derivate nelle equazioni è uguale al numero di derivate nel corrispondente termine rilevante della Lagrangiana. Questi termini cinetici hanno la forma $$ {\ mathcal L} _ {\ rm Dirac} = \ bar \ Psi \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu \ Psi $$ per i campi Dirac. Si noti che il termine deve essere invariante di Lorentz - una generalizzazione dell'invarianza rotazionale per l'intero spaziotempo - e per gli spinori, si possono contrarli con matrici $ \ gamma_ \ mu $, quindi è possibile includere solo una derivata $ \ parziale_ \ mu $.

Tuttavia, per i bosoni che hanno uno spin intero, non c'è niente come $ \ gamma_ \ mu $ che agisce su di essi. Quindi l'invarianza di Lorentz, cioè la scomparsa degli indici di Lorentz in termini di derivati, deve essere ottenuta disponendone un numero pari, come in $$ {\ mathcal L} _ {\ rm Klein-Gordon} = \ frac { 1} {2} \ partial ^ \ mu \ Phi \ partial_ \ mu \ Phi $$ che inevitabilmente produce anche equazioni del secondo ordine. Ora, che dire dei termini nelle equazioni con derivata quarta o superiore?

In realtà sono presenti anche nelle equazioni. Ma i loro coefficienti sono potenze di una scala microscopica o scala di distanza $ L $ - perché l'origine di questi termini sono fenomeni a breve distanza. Ogni volta che aggiungi una derivata $ \ parziale_ \ mu $ a un termine, devi aggiungere anche $ L $, per non cambiare le unità del termine. Di conseguenza, i coefficienti dei termini di derivazione superiore sono potenze positive di $ L $ il che significa che questi coefficienti, comprese le derivate, quando applicati a una tipica situazione macroscopica, sono di ordine $ (L / R) ^ k $ dove $ 1 / R ^ k $ deriva dalle derivate extra $ \ partial_ \ mu ^ k $ e $ R $ è una scala di distanza del problema macroscopico che stiamo risolvendo qui (la scala tipica in cui il campo cambia del 100% circa).

Di conseguenza, i coefficienti con derivate più elevate possono essere trascurati in tutti i limiti classici. Ci sono ma sono trascurabili. Einstein credeva che si dovessero costruire equazioni "belle" senza i termini di derivata superiore e come risultato poteva indovinare le giuste equazioni approssimative a bassa energia. Ma si sbagliava: i termini derivati ​​più alti non sono realmente assenti.

Ora, perché non incontriamo equazioni i cui termini derivativi di ordine più basso sono assenti? È perché il loro coefficiente nella lagrangiana dovrebbe essere rigorosamente zero ma non c'è motivo per cui sia zero. Quindi è infinitamente improbabile che il coefficiente sia zero. È inevitabilmente diverso da zero. Questo principio è noto come principio anarchico (o totalitario) di Gell-Mann: tutto ciò che non è proibito è obbligatorio.

Grazie per la risposta. Qual è la ragione per cui "i loro coefficienti sono potenze di una scala microscopica o scala delle distanze $ L $"? Nell'ultimo paragrafo lo usi di nuovo, dove è implicito che i derivati ​​di ordine inferiore sono a priori correlati a una scala più grande, che quindi supera quelli successivi associati a ordini superiori. C'è una giustificazione che risale a presupposti assiomatici o è "solo" un'intuizione empirica derivante dal trattare teorie di campo efficaci?
Gentile @Nikolaj, $ L $, la determinazione dei coefficienti è microscopica perché le scale microscopiche sono quelle naturali per la formulazione delle leggi della fisica. Per definizione, le scale microscopiche sono le scale associate alle particelle elementari. Queste discussioni generali parlano di molte cose nello stesso momento. Ad esempio, in GR, la scala tipica è la lunghezza di Planck, $ 10 ^ {- 35} $ metri, che è la più corta. In altre teorie, la scala tipica è più lunga. Ma è sempre microscopico perché determina la struttura / comportamento interno dei campi e delle particelle che sono piccole.
Il commento che i derivati ​​non sono solo correlati, ma * producono * su larga scala, doveva essere una tautologia autoevidente. Quello che voglio dire è che se consideriamo un campo che sta cambiando nello spazio, ad es. come un'onda con lunghezza d'onda $ R $, anche la derivata sceglierà un fattore dell'ordine $ 1 / R $. Ad esempio, la derivata di $ \ sin (x / R) $, l'onda di lunghezza $ 2 \ pi R $, è $ \ cos (x / R) / R $. Cos e sin sono quasi la stessa cosa, dello stesso ordine 1, e quindi abbiamo scelto un fattore aggiuntivo di $ 1 / R $. Tutte queste cose sono stime dell'ordine di grandezza. L'uso macroscopico della teoria dei campi ha un $ R $ macroscopico.
Non sono sicuro di aver segnalato con successo il mio problema nel commento. La mia domanda è: qual è la giustificazione per supporre che il coefficiente di ordini più piccoli descriverebbe una scala più grande? Cosa parla contro una situazione in cui il termine di quarto ordine ha un coefficiente piccolo, ma il termine di secondo ordine ne ha uno ancora più piccolo? Quindi, nel limite classico, sopravviverebbe solo l'espressione del quarto ordine.
Caro @Nikolaj,, è probabile che non capisca affatto la tua continua confusione. Se un termine può essere trascurato dipende dalla grandezza relativa dei due termini, quello trascurato e quello sopravvissuto. Quindi sto stimando il rapporto tra termini con derivata più alta e termini con due derivate e scala come $ (L / R) ^ k $, un numero piccolo, quindi i termini con derivata più alta possono essere trascurati se i termini con due derivate sono Là. Non importa come normalizzi entrambi questi termini in "modo assoluto". Ciò che conta per poter trascurare un termine è il rapporto tra i due termini.
Quello che sto dicendo è che potresti considerare $ A (\ partial \ phi) ^ 2 + B (\ partial \ phi) ^ 4 $, dove $ A $ e $ B $ sono diversi e $ A $ è molto più piccolo di $ B $. Così piccolo, che nel limite in cui si tratta di confrontarli (anche per potenze di $ R $ e quant'altro), $ (\ partial \ phi) ^ 2 $ deve essere trascurato. Quindi nel limite classico, non sopravviverebbe l'espressione del secondo ordine. C'è un motivo per cui questo non è potuto accadere ??
Caro @Nikolaj, sfortunatamente, non hai iniziato a capire affatto la risposta. Il punto è che $ A, B $ hanno unità diverse quindi affermazioni come "$ A $ è molto più piccola di $ B $" non hanno significato. Quale dei termini è più importante e quale di essi può essere trascurato dipende dalla situazione, dalla particolare scala $ R $ del problema che stai risolvendo. La stima è che $ B \ sim AL ^ 2 $ vale sempre dove $ L $ è una scala microscopica associata alla "fisica fondamentale di $ \ phi $", quindi il termine $ B $ produce effetti trascurabili $ B / R ^ 2 \ sim AL ^ 2 / R ^ 2 \ ll A $ a lunghe distanze $ R \ gg L $.
Mhm si, non mi sembra ancora di capire. Supponiamo che $ A $ abbia unità $ a $ e $ B $ abbia unità $ a * l ^ 2 $. Se confronti $ B $ con $ AL ^ 2 $, $ B $ potrebbe essere ancora molto più grande. "Quale dei termini è più importante e quale di essi può essere trascurato dipende dalla situazione". Supponiamo di considerare la situazione in cui $ B (\ partial \ phi) ^ 4 $ * è * più importante di $ B (\ partial \ phi) ^ 4 $, quindi gli effetti power-4 potrebbero essere più importanti. O stai davvero dicendo che la scala $ R $ non è fissata a priori e ad un certo punto $ \ frac {1} {R ^ 2} $ ucciderà sempre tutti gli altri effetti?
Questo non si applica alla relatività generale, dove tuttavia le equazioni sono di secondo ordine. Secondo la tua tesi, l'universo dovrebbe essere piatto.
Non si applica nemmeno alle equazioni della meccanica dei fluidi, poiché queste non sono direttamente governate da considerazioni microscopiche.
Ho citato e commentato alcune delle tue affermazioni nella mia risposta. Spero che questo non ti offenda. Forse vuoi rispondere.
Caro Lubos, possiamo riformulare la tua risposta come segue: le derivate rispetto allo spazio sono i momenti appropriati nello spazio delle quantità di moto e quindi i termini contenenti termini derivati più alti contribuiscono meno alle energie inferiori?
Penso di sì.Non è esattamente la risposta alla domanda che è stata posta, ma è una versione concisa di gran parte della mia risposta scritta sopra.
#2
+28
Arnold Neumaier
2012-11-12 22:39:05 UTC
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Si può riscrivere qualsiasi pde di qualsiasi ordine come un sistema di pde del primo ordine, quindi l'assunto alla base della domanda è alquanto discutibile. Esistono anche PDE del primo ordine rilevanti per la fisica (equazione di Dirac, equazione di Burgers, per citarne solo due).

Tuttavia, è comune che le quantità in fisica compaiano in coppie coniugate di campi potenziali e la loro intensità di campo associata, definita dal gradiente di potenziale. Ora i gradienti dell'intensità di campo agiscono come forze generalizzate che cercano di spostare il sistema in uno stato di equilibrio in cui questi gradienti svaniscono. (Avranno successo solo se c'è un attrito sufficiente e nessuna forza esterna.)

In una formulazione in cui solo la metà di ciascuna coppia coniugata è esplicita nelle equazioni, risulta un'equazione differenziale del secondo ordine.

Ad esempio, nella formulazione hamiltoniana della meccanica conservativa, abbiamo $$ \ dot q = \ partial_p H (p, q), ~~~ \ dot p = - \ partial_q H (p, q). $ $ Questo diventa nel caso speciale più comune in cui $ H (p, q) = p ^ 2 / 2m + V (q) $ le equazioni $$ \ dot q = p / m, ~~~ \ dot p = - \ parziale V (q). $$ L'eliminazione di $ p $ lascia un'equazione del secondo ordine.

#3
+18
Qmechanic
2012-11-14 04:28:09 UTC
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Qui ci limiteremo per semplicità ai sistemi che hanno un principio di azione. (Per i sistemi meccanici quantistici e fondamentali, questo è spesso il caso.) Riformuliamo la domanda di OP come segue:

Perché le equazioni del moto di Eulero-Lagrange per un relativistico (non -relativistico) hanno al massimo due derivate spazio-temporali (derivate tempo), rispettivamente?

(Qui il numero preciso di derivate dipende dal fatto che si consideri la lagrangiana o la Formulazione hamiltoniana, correlata tramite la trasformazione di Legendre. In caso di una trasformazione singolare di Legendre, si dovrebbe utilizzare il metodo di Dirac-Bergmann o il metodo Faddeev-Jackiw per andare avanti e indietro tra i due formalismi. Vedi anche questo post di Phys.SE.)

Risposta:

I termini con derivazione più alta sono in certe teorie soppresse per ragioni dimensionali dalle scale naturali del problema. Questo può ad es. accade in teorie rinormalizzabili.

Ma la risposta generica è che le equazioni del moto in realtà non devono essere in ordine $ \ leq 2 $ .

Tuttavia, per una generica teoria quantistica di ordine superiore, se i termini di derivazione superiore non sono naturalmente soppressi, questo in genere porta a fantasmi del cosiddetto tipo cattivo con errori segno del termine cinetico, stati di norma negativi e violazione di unitarietà.

A livello ingenuo, le apparenze esplicite di derivate temporali superiori possono essere rimosse nelle formule introducendo più variabili, tramite il metodo Ostrogradsky, o in modo equivalente, tramite il Metodo del moltiplicatore di Lagrange. Tuttavia, il problema della positività non viene risolto da tali riscritture a causa dell ' instabilità di Ostrogradsky e il sistema quantistico rimane mal definito. Vedi anche ad es. questo e questo Phys.SE risposta.

Quindi spesso non si può dare un senso coerente alle teorie di ordine superiore, e questo potrebbe essere il motivo per cui OP raramente le affronta.

Infine, ricordiamo che oggigiorno è popolare studiare un'efficace teoria dei campi derivativa superiore, con la speranza forse infondata, che una descrizione unitaria sottostante, apparentemente ben definita, ad es. teoria delle stringhe, curerà tutte le patologie.

Esperimento di pensiero per dopo: se abbiamo una [relazione di dispersione] (https://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_relation) $ \ omega = \ sqrt [n] {k ^ 2 + m ^ 2} $, allorala [velocità di gruppo] (https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity) è $ \ quad v_g = \ frac {\ partial \ omega} {\ partial k} = \ frac {2k} {n \ omega ^{n-1}} $.I limiti sono $ \ quad \ lim_ {k \ to 0} v_g = 0 $.$ \ quad \ lim_ {k \ to \ infty} v_g = 0 $ per $ n> 2 $.
#4
+13
Santiago
2013-03-25 01:11:19 UTC
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La ragione per le equazioni della fisica, essendo al massimo del secondo ordine, è dovuta alla cosiddetta instabilità ostrogradskiana. (vedi l'articolo di Woodard). Questo è un teorema che afferma che le equazioni del moto con derivate di ordine superiore sono in linea di principio instabili o non locali. Questo è facilmente dimostrato usando il formalismo lagrangiano e hamiltoniano.

Il punto chiave è che per ottenere un'equazione del moto del terzo ordine nelle derivate, abbiamo bisogno di una lagrangiana che dipende dalle coordinate e dalle velocità e accelerazioni generalizzate: $ L (q, \ dot {q}, \ ddot {q}) $. Eseguendo una trasformazione di Legendre per ottenere l'hamiltoniano, ciò implica che abbiamo bisogno di due momenti generalizzati. L'Hamiltoniana risulta essere lineare in almeno uno dei momenti e quindi è illimitata dal basso (può diventare negativa). Ciò corrisponde a uno spazio delle fasi in cui non ci sono orbite stabili.

Vorrei scrivere la prova qui, ma è già stata data una risposta in questo post. La domanda è perché le lagrangiane hanno solo una derivata, ma in realtà è strettamente correlata, poiché si possono sempre trovare le equazioni del moto da una lagrangiana e viceversa.

Citando Woodard ( https: // arxiv.org/pdf/hep-th/0207191v1.pdf): "Mi è sembrato a lungo che l'instabilità ostrogradskiana sia la restrizione fondamentale più potente e meno riconosciuta della teoria di Lagrangianfield. Esclude molto di più candidati Lagrangiani rispetto a qualsiasi principio di simmetria. Ai fisici teorici non piace sentirsi dire che non possono fare qualcosa e un teorema di divieto così calvo li induce a prevedere evasioni tortuose ... osservato sembra essere descritto, a livello fondamentale, da una lagrangiana locale che non contiene derivati ​​superiori a quelli della prima volta. La cosa bizzarra e incredibile sarebbe se questo fatto fosse semplicemente un incidente. "

#5
+7
sure
2014-12-19 04:48:00 UTC
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In realtà, le equazioni di evoluzione sono anche più del secondo ordine nel tempo: non dipendono ingenuamente dalla derivata del primo ordine, cioè dalla "velocità". Questo può essere facilmente compreso come il fatto che non esistono strutture inerziali privilegiate. Il cambiamento (cioè ciò che è assoluto) è dato dall'accelerazione e non dalla velocità. Se dipendesse ingenuamente da alcuni termini di velocità, allora significherebbe che esiste un frame privilegiato.

Facciamo un'analogia con la meccanica newtoniana. Se stessimo vivendo in un universo di Aristotele con un quadro di riferimento privilegiato, allora $ F = mv $. Il moto sarebbe quindi assoluto e lo sarebbe anche la velocità. Perché non esiste un quadro di riferimento privilegiato, ma un'intera classe di quelli privilegiati (quelli inerziali), $ F = ma $. Perché non può essere che viviamo in un universo in cui $ F = m \ punto a $? Semplicemente a causa dei principi galileiani.

Se credi che l'accelerazione e le velocità siano "annullabili" e che il cambiamento reale sia dato dalla derivata dell'accelerazione, allora dovresti credere in un principio galileiano di secondo ordine di invarianza e inerzia. Il principio di invarianza del secondo ordine ti direbbe che le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i frame inerziali e in tutti i frame accelerati in modo uniforme, altrimenti significherebbe che esiste un modo per discriminarli e quindi che non c'è equivalenza tra essere inerziale o uniformemente accelerato. Ciò, in particolare, implica che se sei all'interno di uno di questi frame e vedi qualcuno che è uniformemente accelerato rispetto al tuo asse $ x $, cioè $ x_1 (t) = gt ^ 2/2 $, e tu vedi anche qualcuno accelerato nella direzione opposta, cioè $ x_2 (t) = -gt ^ 2/2 $, quindi dal punto di vista di $ x_2 $, il primo oggetto sarà descritto da $ x_2 (t) = gt ^ 2 $. Ciò implica che saresti in grado di vedere oggetti con un'elevata accelerazione arbitraria, e questo senza la necessità di consumare alcuna "energia".

Questo non è ciò che osserviamo in questo universo, non acceleri uniformemente un oggetto "gratuitamente". Quindi sembra che la natura abbia scelto di essere il più semplice possibile per mantenere una simmetria tra tutti i fotogrammi inerziali: il suo secondo ordine nel tempo, non il terzo o anche peggio. Si noti che si potrebbe dire che è machiano, cioè che è simmetrico fino a tutto l'ordine in accelerazione. Ciò implica che non vi è alcuna differenza tra rotazione ed essere inerziale. Vale a dire che se guardo un ragazzo che gira con una palla in mano che alla fine la lascerà andare, la palla farà quindi un movimento a spirale e la sua velocità angolare continuerà ad aumentare man mano che si allontana dal ragazzo chi lo ha lanciato (anzi, quest'ultimo deve vederlo andare in linea retta per il principio di inerzia di Galileo). L'universo quindi non è neanche machiano.

Allora perché l'equazione di Schrödinger dipende dal primo ordine nel tempo? Perché è un'equazione modale: ha bisogno di un osservatore per avere un senso e per effettuare misurazioni. Quindi, c'è un'equazione di Schrödinger per osservatore (l'hamiltoniano dipende dall'osservatore e dal sistema che sta guardando, vedi le interpretazioni relazionali). Almeno, questa è la mia interpretazione.

#6
+6
Diego Mazón
2012-11-14 03:42:37 UTC
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Prima di tutto, non è vero che tutte le equazioni differenziali importanti in fisica sono di secondo ordine. L'equazione di Dirac è del primo ordine.

Questo è corretto. Tuttavia, le equazioni di evoluzione fisiche sono equazioni iperboliche del secondo ordine (nel tempo). In effetti, ogni componente dello spinore di Dirac segue un'equazione del secondo ordine, ovvero l'equazione di Klein-Gordon.

Ora, che dire dei termini nelle equazioni con derivata quarta o superiore?

In realtà sono presenti anche nelle equazioni.

Né la Lagrangiana del Modello Standard (SM) né l'azione di Einstein-Hilbert (EH) contengono derivate temporali superiori al secondo ordine. Queste sono le azioni che vengono testate sperimentalmente e queste due teorie sono le teorie scientifiche più fondamentali che abbiamo. Sappiamo che c'è fisica al di là di queste due teorie e le persone hanno buoni candidati alle teorie sottostanti, ma la fisica è una scienza sperimentale e queste teorie non sono verificate sperimentalmente. La Lagrangiana efficace SM (una teoria invariante di Lorentz con le simmetrie di gauge della SM ma con operatori irrilevanti) contiene derivate temporali del secondo ordine superiori. Lo stesso vale per l'azione EH più scalari di ordine superiore. Tuttavia, sono necessari due chiarimenti:

  • Questi termini irrilevanti non sono verificati sperimentalmente. Quasi tutti sono sicuri che i termini di massa dei neutrini (che sono operatori irrilevanti ma non contengono derivate di ordine superiore) esistono per spiegare le oscillazioni dei neutrini, ma finora non abbiamo misurazioni dirette delle masse dei neutrini quindi abbiamo non sono autorizzati a sostenere che questi termini esistono. Riassumendo: l'SM efficace non è una teoria verificata.

  • L'origine di questi termini irrilevanti è una conseguenza dell ' integrazione di campi con una massa molto maggiore della scala di energia a cui siamo interessati. Questo potrebbe essere il caso del termine massa dei neutrini e un neutrino destrorso. Ad esempio, nell'elettrodinamica quantistica, se si è interessati alla fisica a energie molto inferiori alla massa dell'elettrone, si può integrare (o la natura integra-out) il campo elettronico ottenendo una Lagrangiana efficace (Eulero -Heisenberg Lagrangian) con termini con derivate di ordine superiore come $ \ frac {\ alpha ^ 2} {m_e ^ 4} ~ F _ {\ mu \ nu} ~ F ^ {\ mu \ nu} ~ F _ {\ rho \ sigma} ~ F ^ {\ rho \ sigma} $ (che contiene quattro derivate). Questi sono termini soppressi dalle costanti di accoppiamento ($ \ alpha $) e dalle scale ad alta energia ($ m_e $). Ci sono termini con un numero di derivate arbitrariamente alto e derivano da inverse di operatori differenziali . Questo fa sì che le derivate di ordine superiore non entrino nell'equazione del moto di ordine zero.

Tuttavia, in una teoria fondamentale (in contrasto con una efficace), finite le derivate di ordine superiore non sono consentite nelle teorie interattive (ci sono alcune eccezioni con i campi di gauge, ma per esempio una generica teoria della gravità $ f (R) $ non è coerente). La ragione è che quelle teorie non sono limitate dal muggito (vedi Perché ci sono solo derivate al primo ordine nella lagrangiana?) o, in alcune quantizzazioni, contengono stati di norma negativi. Questi termini sono tra gli operatori proibiti nel principio totalitario di Gell-Mann.

In sintesi, le equazioni di evoluzione sono di secondo ordine a causa dell ' esistenza di uno stato di vuoto normalizzabile e di unità (includendo qui il fatto che gli stati fisici devono avere norma positiva). Newton aveva ragione quando ha scritto $$ \ ddot x = f (x, \ dot x) $$

#7
+4
user1504
2012-11-09 02:52:23 UTC
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Weinberg fornisce una risposta abbastanza buona per questo nel Volume 1 della sua opera QFT: le equazioni differenziali del 2 ° ordine compaiono nelle teorie di campo relative alla fisica delle particelle a causa della condizione relativistica del guscio di massa $ p ^ 2 = m ^ 2 $.

Se abbiamo un campo quantistico $ \ phi $, e pensiamo che i suoi modi fourier $ \ phi (p) $ creino particelle con 4-momento $ p $, allora la condizione di shell di massa fornisce un vincolo: $ (p ^ 2 - m ^ 2) \ phi (p) = 0 $, perché non vogliamo che la creazione di particelle off-shell. Trasforma di Fourier questo di nuovo nello spazio di posizione e scopri che $ \ phi $ deve obbedire a un'equazione differenziale del 2 ° ordine.

Questo non si applica alla relatività generale, dove tuttavia le equazioni sono di secondo ordine.
Ti dice che le equazioni di Einstein linearizzate dovrebbero essere del secondo ordine. E spiega perché il flusso di rinormalizzazione dovrebbe essere definito in modo tale che il termine cinetico sia fisso, che è un presupposto importante implicito nella risposta di Lubos.
#8
+2
tparker
2017-02-05 13:46:32 UTC
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Occasionalmente emergono equazioni differenziali di ordine superiore: le equazioni del moto per una particella che sperimenta la forza di Abraham-Lorentz sono del terzo ordine.(Anche se per essere onesti, questa è una parte importante del motivo per cui a molti fisici non piace il concetto della forza di Abraham-Lorentz!)

Un'altra PDE di terzo ordine è l'equazione di Korteweg-de Vries.
#9
+1
akhmeteli
2012-11-15 08:37:28 UTC
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È stato già notato in altre risposte che i campi della fisica non sono sempre governati da equazioni alle derivate parziali (PDE) del secondo ordine. È stato detto, ad esempio, che l'equazione di Dirac è una PDE di primo ordine. Tuttavia, l'equazione di Dirac è un sistema di PDE per quattro funzioni complesse: componenti dello spinore di Dirac. È stato anche detto che qualsiasi PDE è equivalente a un sistema di PDE del primo ordine.

Ho accennato in precedenza che l'equazione di Dirac nel campo elettromagnetico è generalmente equivalente a un'equazione differenziale parziale del quarto ordine per una sola componente complesso, componente che può anche essere reso reale da una trasformata di gauge (http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (il mio articolo pubblicato sul Journal of Mathematical Physics) o http://arxiv.org/abs/1008.4828). Consentitemi di menzionare anche il mio articolo http://arxiv.org/pdf/1111.4630.pdf, dove viene mostrato che le equazioni dell'elettrodinamica degli spinori (l'elettrodinamica di Dirac-Maxwell) sono generalmente equivalenti a un sistema di PDE del terzo ordine per quattro potenziali complessi del campo elettromagnetico (che producono lo stesso campo elettromagnetico del normale quadrot potenziale reale del campo elettromagnetico).

#10
  0
Nikos M.
2014-06-01 09:52:10 UTC
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(aggiungendo un commento come risposta)

In realtà tutta la meccanica classica (e la meccanica quantistica) può essere formulata solo con derivate del 1 ° ordine (con la spesa di aggiungere dimensioni extra, cioè spazio delle fasi, formalismo hamiltoniano ).

Questo rende effettivamente una descrizione dinamica di un sistema fisico. Inoltre, qualsiasi ordine di equazioni differenziali può essere inserito nel primo ordine dallo stesso token.

La dinamica non lineare (cioè la teoria del caos) fa un uso massiccio di sole leggi dinamiche di primo ordine nei loro studi.

L'aggiunta di più ordini alle leggi dinamiche, necessita di più informazioni da aggiungere (condizioni iniziali) e diventa irrintracciabile per risolvere in modo esplicito o algoritmico nella maggior parte dei casi.

Inoltre, le leggi dinamiche del primo ordine forniscono (almeno) buone approssimazioni o addirittura una copertura completa dell'evoluzione dinamica di un sistema in fase di studio



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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