Si dia un sistema quantistico con hamiltoniano $ H $ . Supponiamo che il sistema occupi uno stato puro $ | \ psi (t) \ rangle $ determinato dall'evoluzione hamiltoniana. Per qualsiasi $ \ Omega $ osservabile usiamo la scorciatoia $$ \ langle \ Omega \ rangle = \ langle \ psi (t ) | \ Omega | \ psi (t) \ rangle. $$ Si può dimostrare che (vedi l'equazione 3.72 in Griffiths QM) $$ \ sigma_H \ sigma_ \ Omega \ geq \ frac {\ hbar} {2} \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ right | $$ dove $ \ sigma_H $ e $ \ sigma_ \ Omega $ sono deviazioni standard $$ \ sigma_H ^ 2 = \ langle H ^ 2 \ rangle- \ langle H \ rangle ^ 2, \ qquad \ sigma_ \ Omega ^ 2 = \ langle \ Omega ^ 2 \ rangle- \ langle \ Omega \ rangle ^ 2 $$ e le parentesi angolate indicano l'aspettativa in $ | \ psi (t) \ rangle $ . Ne consegue che se definiamo $$ \ Delta E = \ sigma_H, \ qquad \ Delta t = \ frac {\ sigma_ \ Omega} {| d \ langle \ Omega \ rangle / dt |} $$ quindi otteniamo la relazione di incertezza desiderata $$ \ Delta E \ Delta t \ geq \ frac {\ hbar} {2} $$ Resta da interpretare la quantità $ \ Delta t $ . Ti dice il tempo approssimativo necessario perché il valore atteso di un osservabile cambi di una deviazione standard, a condizione che il sistema sia allo stato puro. Per vedere questo, nota che se $ \ Delta t $ è piccolo, in un tempo $ \ Delta t $ span> abbiamo $$ | \ Delta \ langle \ Omega \ rangle | = \ left | \ int_t ^ {t + \ Delta t} \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \, dt \ right | \ approx \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ Delta t \ right | = \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ right | \ Delta t = \ sigma_ \ Omega $$

La relazione di incertezza tempo-energia (e altre relazioni di incertezza "osservabili" che possono essere costruite) è (considerata) non avere lo stesso significato delle relazioni di incertezza canoniche . Significato relazioni di incertezza costruite da variabili / osservabili dinamiche canoniche (nel senso hamiltoniano), come posizione e quantità di moto, poiché il parametro temporale è non osservabile e anche non un operatore nei formalismi QM / QFT.

In effetti, ci sono vari approcci e interpretazioni dell'incertezza tempo-energia. Ad esempio:

1. Dispersione di energia ($ \ Delta E $) di uno stato e durata ($ \ Delta t $ o $ \ tau_s $) dello stato stesso.

2. Scambio di energia ($ \ Delta E $) e periodo di tempo ($ \ Delta t $) durante il quale ciò può accadere.

3. Misurazione dell'energia ($ \ Delta E $) e tempo ($ \ Delta t $) di cui ha bisogno per l'accuratezza (sebbene ciò sia rigorosamente contestato, vedi sotto)

4. .. altre formulazioni simili o specializzate del precedente

In L. Mandelstam e I. Tamm, "La relazione di incertezza tra energia e tempo nella meccanica quantistica non relativistica", J Phys (USSR ) 1945, mostrano come si possono derivare relazioni di incertezza osservabili nel tempo per qualsiasi $ A $ osservabile con

$$ \ Delta t = \ tau_A = \ frac {\ Delta A} {d \ left<A \ right> / dt} $$

L'incertezza tempo-energia è ampiamente utilizzata nella meccanica statistica (quantistica / mista) dei sistemi poiché mette in relazione i tempi di dimezzamento e i tempi di vita degli stati e delle transizioni (dovrà trovare alcuni riferimenti)

Un'analisi di varie formulazioni delle relazioni di incertezza tempo-energia può essere trovata in:

Jan Hilgevoord, Il principio di indeterminazione per energia e tempo I

e

Jan Hilgevoord, Il principio di indeterminazione per energia e tempo II

Riepilogo:

Il principio di indeterminazione per energia e tempo non sono canonici relazione di incertezza perché non è basata / prodotta da variabili hamiltoniane canoniche, esprime invece dispersione e durata di uno stato. C'è una confusione tra uno spazio-tempo cartesiano $ x, t $ (usato come parametri) e posizione canonica e momento ($ q, p $) che sono funzioni di questi parametri (per quanto semplici in alcuni casi, come $ q = x $)

La relazione di incertezza tempo-energia ha un'interpretazione e una derivazione diversa rispetto alla relazione di incertezza per gli operatori non pendolari. Prova John Baez per una spiegazione, ma, in parole povere $ \ delta t $ misura il tempo necessario perché il valore di aspettativa di un operatore cambi notevolmente.

Oltre alla risposta precisa di Joshphysics, citiamo un'altra interpretazione (quella a cui penso si riferisca Ben Crowell nel suo commento alla stessa risposta).

C'è una formula dalla teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo che fornisce la probabilità di una transizione indotta da uno stato iniziale $ \ lvert i \ rangle $ a uno stato finale $ \ lvert f \ rangle $ con differenza di energia $ \ hbar \ omega_ {if} $. La transizione dovrebbe essere indotta da una perturbazione armonica: $$ V = \ cal Ve ^ {i \ omega t} + \ cal V ^ \ dagger e ^ {- i \ omega t}, $$ e la formula dice, per l'assorbimento, ovvero la transizione a un livello di energia più alto: $$ P_ {i \ to f} (t; \ omega) = \ dfrac {\ lvert \ cal V _ {fi} \ rvert ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ dfrac {\ sin ^ 2 (\ frac {\ omega _ {fi} - \ omega} {2} t)} {(\ frac {\ omega _ {fi} - \ omega} {2}) ^ 2}. $ $

In funzione di $ t $ per $ \ omega $ fissi, la probabilità cresce quadraticamente per $ t $ piccoli, raggiunge il suo massimo a $ t $ dato da: $$ \ frac {\ lvert \ omega _ {fi} - \ omega \ rvert} {2} t = \ frac {\ pi} {2}, $$ ovvero: $$ t \ Delta E = \ frac {h} {2}, $$ dove $$ \ Delta E = \ lvert E_f -E_i - \ hbar \ omega \ rvert. $$

Supponiamo che io stia cercando di provocare una transizione tra due livelli di energia $ i, f $ di un atomo per inviandogli delle radiazioni alla frequenza $ \ omega $. Allora $ \ Delta t $ è l'ordine della lunghezza richiesta dell'interazione per avere una probabilità consistente di una transizione (nota che la formula sopra per $ P_ {i \ af} $ ha senso a $ t = t _ {\ text {max}} $ solo se $ | V _ {fi} | \ ll \ Delta E $).

Invece di correggere $ \ omega $, potremmo immaginare di fissare il tempo di interazione $ \ Delta t $. Di nuovo, la formula sopra per $ P_ {i \ af} $ dice che abbiamo una probabilità consistente che la transizione avvenga se $ \ Delta E \ ll \ frac {h} {\ Delta t} $. Pertanto, se vogliamo determinare $ E_f -E_i $ abbastanza precisamente variando $ \ omega $ e vedendo se la transizione avviene o meno, dobbiamo avere un grande $ \ Delta t $.

Qui sto considerando la transizione tra due livelli distinti e presumo che lo spettro sia discreto, in senso fisico, ovvero $ | E_f'-E_i- (E_f-E_i) | $ per ogni altro livello $ f '$ è molto più grande dell'incertezza sperimentale su $ \ hbar \ omega $. Se non fosse così, dovremmo considerare la transizione non a un singolo stato finale ma a un gruppo $ [f] $ di stati finali. Il modo corretto per farlo è dalla regola d'oro di Fermi, che è discussa in ogni buon libro di meccanica quantistica (vedi ad esempio Sakurai o Griffiths, anche per la derivazione di quanto sopra formula).

Finora sono state fornite buone risposte. Vediamolo da una prospettiva diversa:

Pensa a due eletron che interagiscono tra loro molto brevemente. Questa interazione avviene tramite scambio di energia, e diciamo che questo è un importo $ \ Delta E $. Il tempo $ \ Delta T $ entro il quale questa energia deve essere scambiata tra i due elettroni ha un limite, ed è dettato dal principio di indeterminazione di Heisenberg. Maggiore è la quantità di energia scambiata, minore è il tempo necessario per sostituirla. Questo è curato dalla natura, gli elettroni fanno solo quello che devono fare; si scambiano energia "seguendo le regole".

Allo stesso modo, un fotone libero trasporta una quantità di energia $ E = hf $. Questo ha anche il significato del principio di indeterminazione di Heisenberg se lo scrivi nella forma $ E \ volte T = h $, poiché $ f = 1 / T $. Questa quantità di energia sarà trasportata dal fotone a una distanza di una lunghezza d'onda, $ \ lambda = c / f $, in un tempo non più lungo o più breve del periodo della sua onda di probabilità. Questo vale anche quando interagiamo con la natura durante una misurazione, come è stato menzionato da altri rispondenti. La natura ci tiene molto a ottimizzare la sua azione, non spreca. Una buona domanda è: perché $ h $ è così piccolo? Cosa ne determina il valore? Non sono a conoscenza di alcuna struttura che produrrà questo numero, se non misurato sperimentalmente.

Il significato è più o meno lo stesso dell'incertezza del momento delle coordinate. In aggiunta a quanto ha scritto joshphysics, vorrei sottolineare che la soluzione stazionaria dell'equazione di Schroedinger dipendente dal tempo è $ \ vert \ psi \ rangle \ sim e ^ {i \ frac {E} {\ hbar} t} $. Se vuoi misurare l'energia, dovresti in qualche modo seguire l'evoluzione di questa funzione d'onda nel tempo. Per misurare definitivamente l'energia, dovresti misurarla durante un tempo infinito. Se il tempo di misurazione è limitato, l'energia non è definita.

Tecnicamente è più complicato in quanto normalmente $ \ Delta t $ non è il tempo di misurazione, ma il tempo di alcuni risultati di processo di cui si misura. Tuttavia, l'idea principale è così semplice.

Ecco un'altra interpretazione della relazione $ \ Delta t \, \ Delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ .

Hai un sistema classico descritto da un lagrangiano $ L = \ dot {q} \, p - H $ , dove $ H $ è l'hamiltoniano che dovrebbe essere indipendente dal tempo. L'azione del sistema è \ begin {equation} \ tag {1} S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L \, dt = \ int_ {q_1} ^ {q_2} p \, dq - E \, \ Delta t = S_p + S_E. \ end {equation} Consideriamo ora una variazione arbitraria del percorso classico. L'azione verrebbe quindi modificata del seguente importo (ora sono sicuro di cosa fare con la prima parte, che dovrebbe fornire l'altra relazione di Heisenberg: $ \ Delta q \; \ Delta p \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ ): \ begin {equation} \ tag {2} \ delta S_E = - \: \ delta E \ , \ Delta t. \ End {equation} Si ipotizza che qualsiasi variazione che modifichi l'azione di un importo inferiore a $ \ frac {\ hbar} {2} $ non può essere osservabile . Questo è simile alla cella minima dello spazio delle fasi nella meccanica statistica, per cui $ \ Delta q _ {\ text {min}} \, \ Delta p _ {\ text {min}} \ sim h \ equiv 2 \ pi \ hbar $ . Quindi, per processi osservabili abbiamo $ | \, \ delta S_E | \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ , che implica la relazione \ begin {equation} \ tag {3} \ Delta t \; \ delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2}. \ end {equation} Qui, $ \ Delta t \ equiv t_2 - t_1 $ è solo l'intervallo di tempo che definisce il limite dell'azione (1) sopra. Questo è un classico intervallo di tempo "ordinario". $ \ delta E $ è la quantità di variazione di energia che potresti ottenere rispetto al valore classico, durante quell'intervallo di tempo. Se $ \ Delta t $ è grande, $ \ delta E $ deve essere basso (solo piccole variazioni dal movimento classico sono consentiti).

Questa "derivazione" è molto approssimativa e certamente non rigorosa.

Oltre a quanto menzionato nel link di @ Michael, uno dei modi migliori per pensare è il seguente:

Più tempo dedichi alla misurazione del tuo esperimento (quindi la deviazione standard diventerà più piccola) più precisamente misurerai l'energia di questo sistema.

P.S Questa interpretazione è ampiamente utilizzata nei libri di testo russi.