Sì, puoi applicare l'analisi dimensionale agli integrali.Conti differenziali come $ dx $ come unità della variabile associata, perché $ dx $ può essere interpretato come una variazione infinitesimale in $ x $.

Nel tuo esempio, se $ a $ e $ x $ hanno unità di distanza, il controllo delle unità nel risultato mostra che non è corretto.L'integrale corretto non ha il fattore $ 1 / a $.

Per essere più espliciti sulle osservazioni di Ben Crowell: Sia $ u = \ frac xa $, quindi $ dx = adu $ e l'integrazione diventa $$ \ int \ frac {dx} {\ sqrt {a ^ 2-x ^ 2}} = \ int \ frac {adu} {\ sqrt {a ^ 2-a ^ 2u ^ 2}} = \ int \ frac {du} {\ sqrt {1 - u ^ 2}} = \ sin ^ {- 1} u + C = \ sin ^ {-1} \ frac xa + C $$ (assumendo che $ a> 0 $).

Poiché $ a $ e $ x $ devono avere le stesse unità per l'espressione $ a ^ 2 - x ^ 2 $ per avere senso, vediamo che $ u $ è adimensionale, così come l'integrando in tutte e 3 le versioni,e come l'integrale corretto.

Sì, puoi.Pensa a un $ \ int g (x) dx $ integrale come alla somma $ \ sum g (x) \ Delta x $.In ogni termine della tua (molto ampia) somma, puoi applicare l'analisi dimensionale.

Il tuo integrale ha una simmetria: se mappi $ a \ mapsto k a $ e poi $ x \ mapsto kx $ il tuo RHS legge:

$$ \ sin ^ {- 1} \ frac {a} {x} \ mapsto \ sin ^ {- 1} \ frac {ka} {kx} = \ sin ^ {- 1} \ frac {a}{x} $$

È andata bene ... e il lato sinistro?Anche quello era invariante?

$$ \ int \ frac {dx} {\ sqrt {a ^ 2 -x ^ 2}} \ mapsto \ int \ frac {d (kx)} {\ sqrt {(ka) ^ 2 - (kx)^ 2}} = \ int \ frac {k \, dx} {k \ sqrt {a ^ 2 -x ^ 2}} = \ int \ frac {dx} {\ sqrt {a ^ 2 -x ^ 2}}$$ Quindi, secondo le regole del calcolo, questi integrali sono entrambi punti fissi dell'azione di ridimensionamento $ (a, x) \ mapsto (ka, kx) $.Avevamo davvero bisogno della linearità dell'integrale e del differenziale qui $ \ int $ e $ d $.

Potrebbero esserci anche altre simmetrie.Per prima cosa, RHS non a meno che non possa essere pensato come un angolo $ \ theta $ con unità di radianti .Cosa succede quando cambiamo la costante di integrazione $ \ theta \ maps in \ theta + c $?