Per quanto ne so, le relazioni del commutatore fanno una teoria quantistica.Se tutti gli osservabili commutano, la teoria è classica.Se alcune osservabili hanno commutatori diversi da zero (indipendentemente dal fatto che siano proporzionali a $ \ hbar $ o meno), la teoria è quantistica.

Intuitivamente, ciò che rende una teoria quantistica è il fatto che le osservazioni influenzano lo stato del sistema.In un certo senso, questo è codificato nelle relazioni del commutatore: l'ordine delle misurazioni influenza il loro risultato, la prima misurazione influenza il risultato della seconda.

Penso che questa sia una domanda sottile e penso che dipenda in qualche modo da come scegli di rappresentare la meccanica quantistica. Per vedere un estremo di questo, considera il punto di vista presentato da Kibble in [1]. Per semplicità penserò qui a sistemi quantistici di dimensione finita; ci sono alcune sottigliezze in infinite dimensioni, ma per quanto ne so l'immagine di base è ancora valida. In questo, mostra che se descriviamo la teoria in termini di stati fisici (raggi nello spazio di Hilbert), allora la dinamica dell'evoluzione di Schrödinger corrisponde esattamente all'evoluzione hamiltoniana attraverso la forma simplettica dalla struttura di Kähler sullo spazio proiettivo di Hilbert (vale a dire l'evoluzione è quella di un sistema classico). Tuttavia ci sono due distinzioni che rendono la meccanica quantistica diversa dalla meccanica classica:

• Lo spazio delle fasi deve essere uno spazio di Hilbert proiettivo (al contrario di una semplice varietà simplettica), e l'Hamiltoniano è limitato ad essere una forma quadratica nelle coordinate omogenee sullo spazio proiettivo. Nella meccanica classica qualsiasi funzione (sufficientemente liscia) è ammissibile come hamiltoniana.
• I sistemi compositi sono descritti in modo diverso. Nella meccanica classica lo spazio delle fasi di un sistema composto è il prodotto cartesiano degli spazi delle fasi. Nella meccanica quantistica, è l'inclusione di Segre (che discende dal prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert). Questo è parametricamente diverso; se gli spazi delle fasi dei due sottosistemi sono $ 2m $ e $ 2n $, allora nella meccanica classica il sistema composto ha dimensione $ 2m + 2n $, mentre nella meccanica quantistica ha dimensione $ 2 (n + 1) (m + 1) -2 $. Gli stati extra sono gli stati entangled. Praticamente tutte le conseguenze osservabili della QM vengono qui, ad es. Disuguaglianze di Bell. Ovviamente se consideriamo particelle identiche le cose si complicano ancora un po '.

Se ignori il secondo punto e ti concentri solo su un singolo sistema quantistico, la conclusione sorprendente è che ogni sistema di meccanica quantistica è un caso speciale di meccanica classica (con la condizione che ancora una volta non ho controllato i dettagli in infinite dimensioni ma è almeno moralmente vero). Tuttavia, parte della struttura della meccanica quantistica è il modo in cui descrive i sistemi compositi, quindi non puoi semplicemente ignorare questo secondo punto. Un matematico direbbe che questo attribuisce un funtore iniettivo dalla categoria delle teorie della meccanica quantistica alla categoria delle teorie classiche che non è compatibile con le strutture monoidali simmetriche sui due.

Voglio sottolineare che questo è enfaticamente non il modo in cui pensiamo tipicamente al principio di corrispondenza nella meccanica quantistica. Cioè, è una mappatura da un sistema meccanico quantistico a dimensione finita a un sistema classico a dimensione finita (della stessa dimensione). Normalmente, se pensiamo ad es. una particella libera in una dimensione, lo spazio di Hilbert per quel sistema quantistico è di dimensione infinita, ma corrisponde a uno spazio delle fasi classico bidimensionale. Ma il punto è che, almeno in questa domanda, non possiamo limitarci alla nozione ordinaria di corrispondenza poiché non abbiamo un'interpretazione fisica per il sistema di equazioni che descrive la teoria.

Inoltre, nonostante l'esempio precedente, se una teoria è classica o quantistica non ha essenzialmente nulla a che fare con il luogo in cui vivono gli stati. In effetti, se vogliamo considerare di nuovo una particella libera in una dimensione, descriveremmo tipicamente il suo stato come un operatore di traccia unitario della classe di traccia autoaggiunto $ \ hat \ rho $ sullo spazio di Hilbert $ L ^ 2 (\ mathbb R ) $. Al contrario, nella meccanica classica descriveremmo uno stato come una distribuzione di probabilità $ \ rho $ sullo spazio delle fasi $ \ mathbb R ^ 2 $ (si noti che nell'esempio sopra abbiamo avuto solo stati classici puri cioè solo quelli descritti da una funzione $ \ delta $ sullo spazio delle fasi mentre ora abbiamo stati misti). Tuttavia, potremmo descrivere altrettanto facilmente lo stato quantistico con la sua funzione di Wigner, nel qual caso vive esattamente nello stesso spazio affine della distribuzione classica. Tuttavia la funzione di Wigner soddisfa disuguaglianze leggermente diverse rispetto alla distribuzione di probabilità classica; in particolare può essere leggermente negativo e non può essere troppo positivo. I dettagli di questo sono stati elaborati per la prima volta in [2]. In questo caso, sono le dinamiche che rivelano la natura quantistica. Nello specifico, per passare dalla meccanica classica a quella quantistica, dobbiamo sostituire la parentesi di Poisson con la parentesi Moyal (che ha $ O (\ hbar ^ 2) $ correzioni), indicando il fallimento del teorema di Liouville nella formulazione dello spazio delle fasi della meccanica quantistica: La densità (quasi) di probabilità non è conservata lungo le traiettorie del sistema.

Tutto questo per dire che sembra difficile (e forse impossibile) cercare di trovare una singola caratteristica distintiva tra meccanica classica e quantistica senza considerare i sistemi compositi, quindi se è quello che vuoi, Non sono sicuro di avere una risposta.Se si consentono i sistemi compositi, tuttavia, è una distinzione piuttosto inequivocabile.Detto questo, forse non sorprende che tutti i test sperimentali che abbiamo che dimostrano che il mondo è quantistico e non classico si basano sull'entanglement.

Riferimenti :

[1]: Kibble, T. W. B. "Geometrizzazione della meccanica quantistica". Comm.Matematica.Phys. 65 (1979), n.2, 189--201.

[2]: H.J. Groenewold (1946), "On the Principles of elementary quantum mechanics", Physica 12, pp. 405-460.

Frame challenge: penso che la domanda si basi su una premessa fuorviante.

Sebbene ci siano un certo numero di caratteristiche tipiche delle teorie quantistiche in contrasto con le teorie classiche - alcune che hai già elencato nella domanda e altre sono state suggerite nelle risposte esistenti - non c'è motivo particolare per aspettarsi che ci sia un regola unica e non ambigua che classifica qualsiasi teoria arbitraria come quantistica o classica.

Né vi è alcuna particolare esigenza di tale regola. Tu fai l'esempio della gravità quantistica. Tuttavia, il motivo per cui desideriamo una teoria quantistica della gravità non è perché ha il tag "quantum" attaccato ad essa, come se fosse una borsa che non sarebbe adeguatamente alla moda senza l'etichetta corretta, ma perché vogliamo che sia in grado di per rispondere a certe domande sulla realtà a cui già sappiamo che la Relatività Generale non può rispondere.

In breve, non preoccuparti se la teoria è "quantistica" o meno: preoccupati se risponde o meno alle domande a cui vuoi rispondere.

Anche pertinente.

Addendum: lo stesso vale per le teorie esistenti, ovviamente. Non ci piace il modello standard perché è quantistico. Ci piace perché funziona .

TL; DR: correlazioni.

Per prima cosa: poiché l'OP richiede un criterio per dire se un modello è meccanico quantistico, la risposta deve coinvolgere osservabili. Dopo tutto, se potessi riscrivere il tuo modello "quantistico" come un modello "classico", quelle etichette non varrebbero molto, dopotutto.

Inoltre tutte le teorie quantistiche (che io conosca) sono probabilistiche, quindi questa risposta si concentra su osservabili probabilistiche, cioè funzioni di correlazione .

La differenza fondamentale tra una teoria quantistica e una teoria classica è la loro struttura di correlazione. Cioè, le teorie quantistiche possono mostrare correlazioni che le teorie classiche non possono.

L'esempio storicamente primo e più semplice di questo è disuguaglianza di Bell. Ormai esistono molte di queste disuguaglianze per tutti i tipi di osservabili, una delle quali usata frequentemente è la disuguaglianza CHSH. In generale, queste disuguaglianze pongono limiti alle funzioni di correlazione che non possono essere violate da una teoria della probabilità classica, dove quest'ultima può essere fatta precisamente (vedi sotto). Le teorie della probabilità quantistica possono violare alcune di queste disuguaglianze, il che le rende intrinsecamente diverse.

È interessante notare che esistono anche teorie che hanno correlazioni anche più forti che nella teoria quantistica . Questi sono noti come scatole Popescu-Rohrlich e hanno dimostrato di consentire la massima violazione del cosiddetto limite di Tsirelson, un'altra disuguaglianza che è tuttavia soddisfatta dalla teoria quantistica.

Fare queste affermazioni (che funzionano tutte a livello di distribuzioni di probabilità su uno spazio di osservabili) è un intero campo. Alcuni riferimenti (cercherò di metterne altri domani, ormai troppo stanco):

1. Si può provare a individuare in modo univoco la teoria quantistica come una teoria della probabilità 'speciale' partendo da alcuni postulati della teoria dell'informazione: https://arxiv.org/abs/1203.4516
2. I cosiddetti test di Bell "senza scappatoie" hanno dimostrato che viviamo in un mondo che viola la teoria della probabilità classica (anche se alcune persone lo sosterranno): https://www.nature.com/articles/nature15759
3. Una bella presentazione sulle idee sopra menzionate di un ragazzo che (a differenza di me) sa effettivamente di cosa sta parlando: http://www.math.umd.edu/~diom/RIT/QI-Spring10/ClassvsQuantInfo.pdf

Ecco la risposta di uno sperimentatore:

Un sistema matematico, equazioni algebriche o differenziali, ha assiomi e teoremi ed è autonomo e coerente.

Una teoria della fisica è un sottoinsieme di un sistema matematico che è definito imponendo assiomi extra, chiamati leggi o postulati, che sono necessari per costruzione, al fine di raccogliere dall'insieme matematico complessivo, quelle soluzioni che si adattano ai dati, cioè le misurazioni e osservazioni.

Le teorie classiche sono quelle che usano leggi classiche, come: le leggi di Newton per la meccanica, l'insieme delle leggi dell'elettricità e del magnetismo unificate nelle equazioni di Maxwell, le leggi termodinamiche (e forse ecc.).

Le teorie quantistiche sono quelle che obbediscono alle leggi della meccanica quantistica, cioè i postulati della meccanica quantistica, indipendentemente dalla formulazione matematica.

Per adattare i dati e le osservazioni, erano necessari postulati della meccanica quantistica, e questo è ciò che distingue il classico dal quantistico, IMO.

Modifica dopo i commenti:

Nel tuo elenco:

Assiomi di Dirac-von Neumann: questi sono troppo restrittivi (ad esempio, non si adattano alle teorie dei campi quantistici topologici).

Questa è stata la prima volta che ho incontrato Topological Quantum Field Theories (TQFT). (Tali presentazioni sono uno dei motivi per cui seguo questo sito: per avere informazioni sulla fisica nuova per me.)

L'indicatore è, se questo insieme di teorie si adatta ai dati e prevede le misurazioni.

Nelle teorie matematiche assiomatiche, i teoremi possono essere impostati come assiomi, quindi i precedenti assiomi devono essere dimostrati come teoremi, per una teoria auto-coerente. Di solito gli assiomi vengono scelti come l'espressione più semplice da un insieme di teoremi coerenti.

Poiché i TQFT si adattano ai dati e sono predittivi di stati quantistici, è necessario che dai postulati assiomatici per TQFT si possano derivare i postulati della meccanica quantistica (possibilmente in un metodo matematico molto complicato).L'articolo di wikipedia su TQFT sembra indicare questo.Ciò è necessario affinché una teoria sia IMO quantistica.

Cioèsono i postulati che collegano le misurazioni alle formule matematiche, per costruzione.

Direi che qualcosa di intrinsecamente quantistico è il modo in cui le probabilità e la funzione che obbedisce all'equazione differenziale parziale sono correlate.

Come noti, sia l'interferenza che le probabilità sono presenti nelle teorie classiche.Le novità sono le ampiezze di probabilità in cui l'interferenza porta a una soppressione delle probabilità che non è possibile nelle teorie classiche.

Per il caso a dimensione finita, c'è anche la proposta di Lucien Hardy "Quantum Theory From Five Reasonable Axioms" ( https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012).Qui, il fattore distintivo tra la teoria quantistica e la teoria della probabilità classica è che "esiste una trasformazione continua reversibile su un sistema tra due stati puri qualsiasi di quel sistema."

Un altro riferimento su linee simili è il capitolo 9 del libro di Scott Aaronson "Quantum Computing since Democritus".

tl; dr

Ehm ... lo fai.

Supponi di inventare un modello su un sistema fisico ...

Le equazioni non esistono da sole, sempre hanno un contorno. La testa è ipotesi e la coda descrive solitamente i limiti di detto modello matematico. Quindi, in realtà, dipende dalla tua interpretazione della domanda in questione O dai dati a tua disposizione, che possono prevedere in modo coerente (deterministico?) Se una teoria è "quantistica".

Al contrario, se non hai testa e coda, puoi fare molti casi su ciò di cui parla un'equazione ma non puoi dire nulla in concreto.

Tutte le risposte qui sono stimolanti e francamente sexy , ma prenditi del tempo per considerare i miei esempi rudimentali di seguito

Questo modo di pensare " quale caratteristica dell'equazione predice la sua applicabilità in <name of physics branch> " è un uso improprio della matematica.
La matematica è, forse, il massimo, ma dobbiamo ricordare che in fisica la usiamo come strumento. La mia illustrazione qui sotto potrebbe sembrare infantile, ma ti preghiamo di considerare le seguenti equazioni

Equazione 1:

$$ x ^ 2 + x - 6 = 0 $$

Equazione 2:

$$ 2x + 5y = 20 $$

Solo guardandoli, un matematico può tranquillamente affermarlo

• Equazione 1
  • ha due soluzioni +2 e -3 e
  • la curva è rivolta verso l'alto, con i massimi a x = -0,5
• Equazione 2
  • ha una pendenza di -0.4
  • ha intercette 4 e 10
  • ha infinite coppie ordinate (x, y) che soddisfano l'equazione
  • descrive una curva che racchiude l'origine

E saremo tutti d'accordo con i punti precedenti.
Ma il saggio fisico rimane zitto, perché sa che queste equazioni non sono solo scarabocchi di qualche Vulcaniano dislessico, ma sono modelli di qualcosa , rappresentano qualcosa o alcuni fenomeni. Quindi un fisico è d'accordo con il matematico ma non arriva a una conclusione.

Esaminiamo le domande che ci portano a queste equazioni

Domanda 1:

Il prodotto di una quantità e uno in più di se stesso è 6, trova il valore di questa quantità se
un. la quantità è denaro prestato
b. la quantità è il tempo

Domanda 2:

Due volte il numero dei miei figli e cinque volte il numero delle mie figlie è sempre uguale al doppio del numero di appendici che una persona normale ha tra le mani. Quanti figli e figlie ho?

Ora, spero che tu abbia un aha! momento. La risposta di Q1 b è solo +2 perché il tempo non può essere negativo (abbiamo tutti risolto domande come i bambini) e la risposta a Q2 può essere piuttosto sorprendente - 5 figli e 2 figlie - perché i fisici sono brave persone e non fanno bambini frazionari o bambini negativi.

Hai visto che - un'equazione, due variabili e otteniamo comunque una risposta univoca - vincoli .

Quindi il matematico (l'equazione) e il fisico (il quadro generale) hanno entrambi ragione nella loro posizione. Ma i fisici vince, perché

• siamo su physics.stackexchange.com
• la matematica in sé è molto forte, pura, quasi sgradevole; abbiamo bisogno sia delle informazioni di base che dei vincoli per capire cosa sta cercando di dirci questo meraviglioso strumento attraverso le equazioni.

In una nota seria, vorrei sottolineare che probabilmente non esiste un libro (rispettabile) sulla fisica classica che insegni F = ma senza prima affermare esplicitamente e chiaramente quanto segue:

• Presupposti richiesti, ad es. superfici prive di attrito e corpi perfettamente rigidi
• Le tre leggi del moto di Newton (parola per parola)
• Quel dF = d (m.v) , che può essere semplificato se la massa è (quasi) costante
• e, cosa più importante, il fatto che gli oggetti con cui abbiamo a che fare non sono di dimensioni minuscole, cioè più grandi di 10 ^-9 m di diametro.

Gli autori non lo fanno per la pedagogia, alla maggior parte degli studenti del 9 ° anno non interesserebbe la rigidità, ma in realtà lo fanno perché queste affermazioni sono necessarie affinché l'equazione / teoria funzioni.

Cercare di prevedere se un'equazione descrive una cosa quantistica, nella migliore delle ipotesi, è una domanda basata sulla discussione, o meta-matematica.

In particolare all'OP,

Se sei un inventore, stai lavorando a qualcosa come GUT (perché altrimenti avresti un'equazione di cui non conosci l'origine) e sei curioso se si applica ugualmente bene a corpi grandi e piccoli - applica i vincoli. Non ho la preveggenza matematica, ma logicamente posso dire che le variazioni nei vincoli definiranno il modo in cui il sistema si comporta per i corpi quantistici e classici.

In Thinking Fast and Slow c'è un capitolo che illustra che abbiamo la tendenza a supportare ciò che è popolare / stravagante piuttosto che ciò che è corretto / plausibile. Penso che la domanda sia principalmente basata sull'opinione.

TLDR: dualità onda-particella

Voglio rispondere a questa domanda da una prospettiva storica:

Secondo la nostra attuale comprensione, una teoria quantistica mostra le caratteristiche sia della meccanica classica che dell'elettrodinamica (ad esempio la luce) allo stesso tempo. La prima persona a notare una tale connessione tra la meccanica e la teoria della luce fu Hamilton. Ha sviluppato l'ottica hamiltoniana, che descriveva la luce come una particella (alias corpuscolo). I teorici hanno presto riconosciuto che l'ottica hamiltoniana non può spiegare fenomeni luminosi come interferenza, diffrazione e polarizzazione. Si sono resi conto che l'ottica hamiltoniana è solo un'approssimazione, che funziona bene fintanto che la lunghezza d'onda della luce è molto più piccola dell'apparato di misurazione (ad esempio per l'ottica geometrica basata su raggi di luce e lenti). Tuttavia, il linguaggio dell'ottica hamiltoniana ha funzionato perfettamente per descrivere la meccanica classica, che ora è comunemente nota come meccanica hamiltoniana.

La teoria dei campi dell'elettrodinamica di Maxwell era una descrizione più corretta della luce, ma poi vennero Planck ed Einstein. Hanno dimostrato che per descrivere la radiazione del corpo nero e l'effetto fotoelettrico era necessario presumere che la luce non possa essere un campo con infinita divisibilità (cioè continuità) come ipotizzato nella teoria della luce di Maxwell. Piuttosto, la luce deve essere costituita da entità numerabili che chiamano "quanti". Ma questa teoria era ad hoc e non coerente con la relatività speciale. (Nota: la versione coerente è l'elettrodinamica quantistica.) Sebbene immatura, la spiegazione di Planck ed Einstein di questi fenomeni fu la prima teoria quantistica perché mostrava (o meglio, presunta) dualità onda-particella. (Nota: la quantizzazione non significa tornare da una teoria ondulatoria della luce a una teoria dei corpuscoli come l'ottica hamiltoniana. Piuttosto combina le caratteristiche delle onde e delle particelle.)

Il folle genio di deBroglie e Schrödinger era necessario per applicare questa teoria nella direzione opposta: alle particelle. Hanno notato che se la teoria ondulatoria della luce di Maxwell deve essere estesa per contenere quanti / particelle, la teoria classica (che consiste solo di particelle) deve essere estesa per produrre le caratteristiche delle onde. Hanno visto che la teoria classica potrebbe essere un'approssimazione come l'ottica hamiltoniana, che è valida solo per lunghezze d'onda corte. Così, Schrödinger ha sviluppato la meccanica ondulatoria non postulando i quanti, ma invertendo le approssimazioni necessarie per passare dalla teoria della luce di Maxwell all'ottica hamiltoniana. In opposizione all'elettrodinamica, la meccanica classica doveva essere "ondulata" per diventare una teoria completa che mostrava la dualità onda-particella. (Nota: anche in questo caso, la quantizzazione non sta passando da una teoria delle particelle a una teoria ondulatoria completa di divisibilità infinita, piuttosto, combina le caratteristiche di entrambi i mondi.)

Quindi, una teoria è "quantistica" quando integra / combina le caratteristiche sia delle onde che delle particelle. Una teoria classica è o solo onde / campi o solo particelle.

Per quanto riguarda la quantizzazione della Relatività Generale, è istruttivo confrontare questa teoria dei campi classica con un'altra teoria dei campi classica, vale a dire la dinamica dei fluidi. Ciò che entrambe le teorie hanno in comune è la loro elevata non linearità. Entrambi possono essere quantizzati solo se vengono linearizzati prima. Se si linearizza la dinamica dei fluidi, si ottiene l'equazione per le onde sonore. Se si linearizzano le equazioni di GR, si ottengono le equazioni delle onde gravitazionali. Se si quantizza l'equazione delle onde sonore, si ottengono i fononi. Se si quantizzano le onde gravitazionali, si ottengono i gravitoni. Ancora una volta, sia Gravitons che Phonons mostrano dualità onda-particella. Ma in entrambi i casi, dobbiamo prima linearizzare la nostra teoria per poterla quantizzare. (Nota: i fononi esistono solo nei solidi. I gravitoni potrebbero anche esistere solo nello spazio-tempo "solido".)

I modelli fisici sono determinati dal loro reticolo di eventi . L'insieme di eventi fisici forma un reticolo algebrico con i due operatori binari che fungono da OR e AND tra gli eventi. Assumiamo che il reticolo degli eventi sia additivo sigma e ortomodulare. Chiamiamo questo reticolo la logica del modello. In questo senso gli eventi sono gli elementi della logica. Gli stati del sistema sono misure di probabilità su questa algebra. Le quantità fisiche sono mappature tra affermazioni sulle misurazioni di una quantità (si pensi agli insiemi di Borel dei reali) e la logica.

La logica di un modello classico è isomorfa a un insieme di algebra quindi è distributiva ( a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) e viceversa) e completamente atomico.

La logica di un modello quantistico è isomorfa al reticolo dei sottospazi di uno spazio di Hilbert e quindi non è distributiva ma anche completamente atomica.

Quanto sopra da solo è sufficiente per spiegare molte caratteristiche associate ai modelli quantistici, incluso

• quantità fisiche a valori reali possono essere rappresentate come autoaggiunte operatori
• relazioni di commutazione
• sovrapposizione di stati
• l'equazione di Schrödinger

Mi stupisce che nessuno sembri menzionare che una teoria quantistica descrive quantità che hanno valori discreti.Tutte le quantità che appaiono continue a livello macroscopico possono assumere valori discreti solo in una teoria quantistica.Le differenze vengono "comunicate" da "particelle" (fotoni ecc.).Questo è il cuore di una teoria quantistica.

La descrizione degli stati e delle particelle interagenti non è stata ottenuta, o è stata ottenuta solo provvisoriamente, per la gravitazione.