Uno scalare è una quantità monocomponente invariante rispetto alle rotazioni del sistema di coordinate

OK, ma cosa intendi con "rotazione"?

Vedi, uno scalare nel senso definito nella tua citazione non è solo "uno scalare", punto. Puoi avere solo uno scalare rispetto a qualche particolare operazione di rotazione. La stessa quantità può essere uno scalare rispetto a un tipo di rotazione e un vettore o un tensore rispetto a un altro.

È vero che esiste un gruppo di rotazione (un gruppo $ U (1) $) che agisce sul piano complesso e trasforma un numero complesso in un altro. Ma non è il tipo di rotazione che usano i fisici dei gruppi. Usiamo rotazioni che trasformano le direzioni fisiche l'una nell'altra (la tradizionale $ SO (3) $ rotazione), o che trasformano le direzioni della linea del mondo l'una nell'altra (il gruppo di Lorentz), o che trasformano gli stati di rotazione in uno un altro (qualsiasi $ SU (2) $ gruppo di spin), o stati di colore (il $ SU (3) $ gruppo usato in QCD), o così via. Nessuna di queste rotazioni influisce su un semplice vecchio numero complesso, perché un semplice vecchio numero complesso non ha alcun significato fisico associato che lo farebbe cambiare in qualsiasi operazione di rotazione fisica.

Questo ha implicazioni per ciò che conta come un "componente". Come user2357112 menzionato nei commenti, dipende dal contesto: ad esempio, puoi trattare un numero complesso come un vettore a due componenti, oppure potresti avere un vettore con coefficienti complessi (come nella meccanica quantistica) , nel qual caso ogni numero complesso è solo un componente. In effetti, ci sono anche situazioni in cui un'intera matrice può essere un componente, come il vettore Pauli.

Il punto è che non dovresti presumere che un componente debba essere un numero reale, o anche un qualsiasi tipo di numero.Probabilmente ha più senso definire un componente in termini di rotazioni (poiché in matematica l'intera idea di componenti proviene da spazi vettoriali, quindi potremmo anche fare la cosa analoga in fisica).Non suggerirò qui alcun tipo di definizione rigorosa, ma una sensata catturerebbe l'idea che i componenti di un vettore "si scambiano" tra loro durante una rotazione, e se qualche oggetto matematico non è influenzato da un certorotazione, quindi l'intero oggetto (che sia numero, vettore, tensore, qualunque cosa) merita di essere considerato una componente (e quindi uno scalare) rispetto a quella rotazione.

Anche se questo è un po 'banale, un numero complesso, come membro di un campo può essere uno scalare che agisce per moltiplicazione commutativa su uno spazio vettoriale , quest'ultimo, attraverso il ridimensionamento, essendo la manifestazione fondamentale della nozione di linearità .Vedi la definizione di uno spazio vettoriale per maggiori dettagli.

Per amplificare un po 'la risposta di WetSavannaAnimal, un matematico definisce uno spazio vettoriale (vagamente) come un insieme di cose che si comportano come piccole frecce quando sommate o moltiplicate per uno scalare (noto anche come numero). Non devono essere piccole frecce. PER ESEMPIO. L'insieme di tutte le funzioni $ y = ax ^ 2 + bx + c $ è uno spazio vettoriale 3D.

Un vettore n dimensionale può sempre essere rappresentato da n numeri, che è equivalente a un punto in uno spazio fisico n dimensionale, o una piccola freccia dall'origine a quel punto. Questo è il senso in cui un vettore può essere descritto da una grandezza e una direzione.

Per gli spazi vettoriali più familiari, i numeri sono reali. Ma è possibile che anche loro siano complessi. PER ESEMPIO. le funzioni di cui sopra potrebbero essere definite sul piano complesso. Sarebbe comunque uno spazio vettoriale 3D. Anche se $ a $, $ b $ e $ c $ sarebbero numeri complessi, ce ne sono 3.

Questo allunga un po 'l'idea di una freccia in uno spazio fisico. Ma poi, anche un vettore 4D o 17D. Il punto è che uno scalare è il numero che può moltiplicare un vettore senza cambiarne la direzione.

Per un fisico, un vettore deve avere un'altra proprietà. Deve avere una grandezza fisicamente significativa che non cambia quando si ruota il sistema di coordinate. Per un fisico, la forza è un vettore, ma un punto in uno spazio delle fasi termodinamico non lo è. Per un fisico, lo spazio-tempo 4D è uno spazio vettoriale in cui la grandezza è l'intervallo e le rotazioni delle coordinate sono aumenti.

I fisici sono un po 'sciatti su questo punto. Per un matematico, l'idea di grandezza viene catturata dalla definizione di una norma. Per un matematico, lo spazio-tempo 4D non è uno spazio vettoriale normato perché una norma non deve mai essere negativa.

Tornando al punto, un secondo significato di scalare è un valore fisicamente significativo che è invariante rispetto alle rotazioni delle coordinate. La grandezza di un vettore è uno scalare. Allo stesso modo, le grandezze dei tensori di rango superiore sono scalari.

In questo senso, gli scalari sono solitamente numeri reali.La meccanica quantistica ha funzioni d'onda complesse.Ma le grandezze fisicamente significative sono reali.

I numeri complessi sono generalmente visualizzati come una "quantità simile a un vettore a due componenti".Tuttavia, questo è solo uno strumento di visualizzazione e gli assi reali + immaginari del piano Argand non corrispondono ad alcuna direzione fisica.I numeri complessi non cambiano con le rotazioni di spazio $ SO (3) $ o con i boost di Lorentz, motivo per cui sono scalari.

Se pensi che i numeri complessi siano fondamentalmente collegati a punti su una superficie 2D, potresti essere interessato alla loro storia.Molti importanti teoremi sui numeri complessi furono sviluppati nel XVIII secolo, tra cui la formula di de Moivre e la formula di Eulero.Tutti questi erano basati sulla definizione algebrica $ i ^ 2 = -1 $, senza alcuna identificazione / visualizzazione geometrica di numeri complessi come punti in un piano complesso.Fu solo nel XIX secolo che il complesso aereo nacque come concetto.

Ciò che hai citato è una definizione di "scalare" in un contesto fisico / matematico.

Il termine "scalare" deriva dalla parola latina scala che significa scala;e moltiplicare una quantità vettoriale per uno scalare ha l'effetto di ridimensionarne la grandezza senza influenzarne l'orientamento.Da qui il nome "scalare".Ma nel corso degli anni, "scalare" è stato gradualmente imbastardito dai matematici per riferirsi anche a quantità complesse che "scalano" qualche altra quantità matematica astratta tramite la moltiplicazione.Nonostante il fatto che in origine, la moltiplicazione di un vettore per una quantità complessa avesse l'effetto di ridimensionare e ruotare un vettore!

Quindi un numero complesso può essere uno scalare oggi quando viene utilizzato per "scalare" un'altra quantità astratta matematica tramite l'operazione unaria che chiamiamo moltiplicazione.Ma in un modo che non era originariamente inteso attraverso la definizione di "scalare".