1. Se uno a priori dichiara erroneamente che l'operatore hamiltoniano $ \ hat {H} $ è l'ora derivativa $ i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} $ , quindi l'equazione di Schrödinger $$ \ hat {H} \ Psi ~ = ~ i \ hbar \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} \ tag {1} $$ diventerebbe una tautologia. Questa banale equazione di Schrödinger non può essere usata per determinare l'evoluzione temporale futura (né passata) della funzione d'onda $ \ Psi ({\ bf r}, t) $ .

2. Al contrario, l'operatore hamiltoniano $ \ hat {H} $ è tipicamente una funzione degli operatori $ \ hat {\ bf r} $ e $ \ hat {\ bf p} $ e Schrödinger equation $$ \ hat {H} \ Psi ~ = ~ i \ hbar \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} \ tag {2} $$ è un requisito non banale per la funzione d'onda $ \ Psi ({\ bf r}, t) $ .

3. Ci si potrebbe quindi chiedere perché va bene assegnare l'operatore momentum come gradiente $$ \ hat {p} _k ~ = ~ \ frac {\ hbar} {i} \ frac {\ partial} {\ partial r ^ k} ~? \ tag {3} $$ (Questa è nota come rappresentazione di Schrödinger.) La risposta è a causa delle relazioni di commutazione canoniche $$ [\ hat {r} ^ j, \ hat {p} _k] ~ = ~ i \ hbar ~ \ delta ^ j_k ~ \ hat {\ bf 1}. \ tag {4} $$

4. D'altra parte, la relazione di commutazione corrispondente per il tempo $ t $ è $$ [\ hat {H}, t] ~ = ~ 0, \ tag {5} $$ perché time $ t $ è un parametro non un operatore nella meccanica quantistica, vedi anche questo & questo Messaggi Phys.SE. Nota che al contrario $$ \ left [i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t}, ~ t \ right] ~ = ~ i \ hbar, \ tag {6 } $$ che mostra anche che non si dovrebbe non identificare $ \ hat {H} $ e $ i \ hbar \ dfrac {\ partial} {\ partial t} $ .

Non puoi "annullare" la funzione d'onda nell'equazione di Schrödinger perché la funzione d'onda è la sua variabile principale. È un'equazione per la funzione d'onda.

La derivata tempo non può essere considerata un operatore perché un operatore è, per definizione, una mappa univoca ben definita $$ L: \, {\ mathcal H} \ to {\ mathcal H} $$ dallo spazio di Hilbert allo stesso spazio di Hilbert. È una mappa: per ogni scelta di un vettore $ | \ psi \ rangle $, deve dirti cos'è $ L | \ psi \ rangle $. Gli operatori lineari sono determinati in modo univoco da una matrice particolare rispetto a una base particolare. La derivata temporale non è niente del genere. È ben definito solo quando mi dici cos'è $ | \ psi (t) \ rangle $: l'input (informazioni che bisogna conoscere) non è solo un vettore; deve essere una funzione del tempo a valori vettoriali.

Non esiste alcuna analogia tra $ F = ma $ di Newton e l'equazione di Schrödinger, tranne che entrambe sono equazioni. Una migliore controparte quantistica delle equazioni di Newton sarebbero le equazioni di Heisenberg per gli operatori piuttosto che l'equazione di Schrödinger. Ebbene, un'analogia molto blanda - che probabilmente esisterebbe in qualsiasi equazione - è che è necessario avere una particolare formula $ x, p $ dipendente per forzare $ F $ a calcolare un particolare $ x (t) $; allo stesso modo, è necessaria una particolare scelta dell'Hamiltoniano per calcolare $ | \ psi (t) \ rangle $. Ma è vero in qualsiasi equazione: tutte le scorciatoie devono essere spiegate completamente affinché l'equazione abbia un senso davvero ben definito e si applichi specificamente a un particolare sistema.

Matematicamente $ i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} $ è un operatore differenziale. Chiamiamolo $ \ hat {E} $: $$ \ hat {E}: = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} $$

Tuttavia, dicendo che $ \ hat {E} \ psi = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi $ sta solo dicendo che $ \ hat {E} \ psi \ equiv i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t } \ psi $ e non è ancora un'equazione (è una tautologia come ha sottolineato Qmechanic). Dalle equazioni differenziali sai che, ad esempio, per $ \ hat {L}: = \ frac {d} {dx} $, $ \ hat {L} \ psi (x) \ equiv \ frac {d \ psi (x )} {dx} $ non è un'equazione. Invece, $ \ hat {L} \ psi (x) = 0 = 0 \ cdot \ psi $ è un'equazione e ovviamente non significa che $ \ frac {d} {dx} = 0 $. O meglio, prendi il Lapalacio in due dimensioni $ \ nabla ^ 2 \ equiv \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} $. Allora l'equazione di Laplace è $$ \ nabla ^ 2 \ psi (x, y) \ equiv \ frac {\ partial ^ 2 \ psi (x, y)} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ psi (x, y)} {\ partial y ^ 2} = 0 $$

Puoi riscriverlo come $$ \ frac {\ partial ^ 2 \ psi (x, y)} {\ parziale x ^ 2} = - \ frac {\ partial ^ 2 \ psi (x, y)} {\ partial y ^ 2} $$

Ovviamente non significa che $ \ frac {\ parziale ^ 2} {\ partial x ^ 2} = - \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} $, significa che agendo per $ \ hat {L} _1: = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} $ su $ \ psi $ ti dà la stessa funzione che agire su $ \ psi $ di $ \ hat {L} _2: = - \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} $: $$ \ hat {L} _1 \ psi (x, y) = \ phi (x, y) $$

$$ \ hat {L} _2 \ psi (x, y) = \ phi (x, y) $$

es $ \ hat {L} _1 \ equiv \ hat {L} _2 $, ma non in generale, solo su uno spazio funzionale specifico delle funzioni $ \ psi $ tale che $ \ hat {L} _1 \ psi = \ phi = \ hat {L} _2 \ psi $.

Nel caso dell'equazione di Schroedinger dipendente dal tempo abbiamo due operatori $ \ hat {E} $ e $ \ hat {H} $ (come $ \ hat {L } _1 $ e $ \ hat {L} _2 $ nel nostro esempio precedente) che agiscono su $ \ psi $ portando allo stesso risultato $ \ phi $: $$ \ hat {E} \ psi \ equiv i \ hbar \ frac { \ partial} {\ partial t} \ psi = \ hat {H} \ psi \ equiv \ left (- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x) \ destra) \ psi = \ phi $$ Ciò deriva dal fatto che $ \ hat {E} \ psi = E \ psi = \ phi $, $ E = \ frac {p ^ 2} {2m} + V (x) $ e sostituendo $ p $ con $ \ hat {p} $ and $ x $ by $ \ hat {x} $ ci fornisce l'operatore hamiltoniano $ H (\ hat {x}, \ hat {p}) $ tale che $ \ hat {H} \ psi = E \ psi = \ phi $. Quindi possiamo considerare che $ \ hat {E} \ equiv \ hat {H} $ solo su uno spazio funzionale specifico delle funzioni $ \ psi (x, t) $, sebbene siano diverse $ \ hat {E} \ neq \ hat {H} $ (come $ \ hat {L} _1 $, $ \ hat {L} _2 $ sono).

Lo scopo dell'Hamiltoniano è determinare l'evoluzione temporale $ \ frac {\ partial} {\ partial t} $, e quindi usare $ \ frac {\ partial} {\ partial t} $ stesso come l'Hamiltoniano " inutile "Tanto più perché tutti i sistemi indipendentemente dalla fisica sottostante avrebbero la stessa hamiltoniana.

Quello che vuoi è un'espressione che, a seconda della particolare fisica, predice il evoluzione temporale utilizzando quantità che sono già note prima che l'evoluzione temporale avvenga effettivamente.

Saluti, Hans

Sebbene non sia direttamente correlato alla domanda in questione, vorrei fare il commento che l'operatore di quantità di moto non deriva necessariamente dall'imposizione di un commutatore. Risulta come segue:

Inizia definendo un operatore di traduzione che agisce su un campo (considera prima il caso semplice):

$ \ hat {T} _a \ psi (x) = \ psi (x + a) $

Espandi come:

$ \ hat {T} _a \ psi (x) = \ psi (x) + a \ psi '( x) + \ frac {a ^ 2 \ psi '' (x)} {2!} + ... $

= $ [I + a \ psi '(x) + \ frac {a ^ 2 \ psi '' (x)} {2!} + ...] \ psi (x) $

Chiama l'operatore derivativo $ \ hat {D} $. Usando la notazione per un esponenziale possiamo scriverlo come:

$ \ hat {T} _a \ psi (x) = e ^ {a \ hat {D}} \ psi (x) $

Ora abbiamo che l'operatore differenziale è il generatore infinitesimale di traduzione.

Per mantenere l'operatore di traduzione hermitiano ridefiniamo definendo un nuovo operatore $ \ hat {p} = i \ hat {D} $ .

Questo viene quindi identificato con la quantità fisica "quantità di moto" se la variabile x descrive "posizione". C'è molto di più in questo e forse modificherò questo post quando avrò il tempo.

Il punto che desidero sottolineare è che $ i $ non vengono gettati a mano in modo ad hoc, ma c'è uno scopo per fare tali sostituzioni.

Per molto tempo sono stato insoddisfatto del modo in cui i libri di testo QM affrontano l'argomento degli operatori. Nessuno me lo ha detto durante la lezione introduttiva di QM. Sono stato davvero fortunato ad avere un superbo insegnante di fisica matematica per spiegarmelo. Ottima classe e un insegnante eccezionale!

L'equazione di Schrödinger non è realmente una PDE. È un'ODE. L'equazione di Schrödinger è $ i \ hbar \ frac {d} {dt} | \ psi \ rangle = \ hat H | \ psi \ rangle $. Qui il vettore di stato $ | \ psi \ rangle $ è una funzione $ \ mathcal H $ di una singola variabile indipendente $ t $ e $ \ mathcal H $ è uno spazio di Hilbert e $ \ hat H $ è un operatore in quello spazio di Hilbert. C'è solo una variabile indipendente, quindi è un'ODE.

Ora, l'operatore $ \ hat H $ è solitamente una funzione degli operatori $ \ hat x, \ hat p $ che soddisfano $ [\ hat x, \ hat p] = i \ hbar $ (e anche altri operatori come lo spin, e possibilmente anche $ t $). A causa del teorema di Stone-von Neumann, tali operatori possono sempre essere inseriti in una forma in cui per gli autostati dell'operatore $ \ hat x $, diciamo $ | x \ rangle $, $$ \ begin { align} \ langle x | \ hat x | \ psi \ rangle & = x \ langle x | \ psi \ rangle \\ \ langle x | \ hat p | \ psi \ rangle & = -i \ hbar \ left. \ frac {\ partial} {\ partial x '} \ langle x' | \ psi \ rangle \ right | _ {x '= x} \ end {align} \ tag {1} $$ e se introduciamo $ \ psi (x, t) = \ langle x | \ psi \ rangle $ (ricorda $ | \ psi \ rangle $ dipende da $ t $) otteniamo il solito modo in cui è scritto, $ \ hat x = x, \ hat p = -i \ hbar \ frac {\ partial} { \ parziale x} $. A volte le persone scrivono anche $ \ hat p \ psi (x) = -i \ hbar \ frac {\ partial \ psi (x)} {\ partial x} $ ma questo è un completo abuso di notazione perché $ \ psi (x) $ è un numero e $ \ hat p $ agisce nello spazio di Hilbert, non sui numeri. Ciò che significano è $ (\ hat p \ psi) (x) $ ma non è quello che scrivono.

Ad ogni modo, se usi (1), puoi spesso scrivere l'equazione di Schrödinger come $$ i \ hbar \ partial_t \ psi (x, t) = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ partial_x ^ 2 \ psi (x, t) + V (x) \ psi (x, t) $$ e questo sembra un PDE perché hai deciso di scrivere il vettore ODE $ ih \ frac {d} {dt} | \ psi \ rangle = \ hat H | \ psi \ rangle $ nei componenti in una base particolare . $ x $ non è realmente una variabile indipendente. È un componenti per l'etichettatura dell'indice .

Molte risposte ti hanno fornito spiegazioni approfondite che sono buone. Tuttavia, ci sono anche ragioni semplici. Contrariamente a quanto è stato detto, penso che la tua analogia ti metta sulla strada giusta.

Proprio come hai detto, la seconda legge di Newton non ha lo scopo di trovare $ F $. Tuttavia, $ F $ dovrebbe not essere considerato lo stesso di $ ma $. $ F $ è un abstraction di qualcos'altro che dovrebbe essere collegato lì, che rappresenta la quantità di interazioni o disturbi che gli elementi esterni esercitano sulla particella. Secondo la propria configurazione, $ F $ sarà sostituito dalla funzione corretta $ f (x, \ punto x, t) $. Ad esempio, se la configurazione di una persona è elastica, l'equazione della seconda legge di Newton sarebbe collegata alla legge di Hooke. Lo stesso accade se l'interazione è gravitazionale, elettrica, ecc. Quindi, $ F $ potrebbe avere molti gusti distinti, a volte così fondamentalmente diversi come la gravità e l'elettromagnetismo (almeno per il momento) a seconda del tuo esperimento.

Ora in $ \ hat {H} \ Psi ~ = ~ i \ hbar \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} $, Il lato destro di quell'equazione dovrebbe not essere considerato lo stesso come il lato sinistro dell'equazione. $ \ hat H $ è un abstraction di qualcos'altro che dovrebbe essere collegato anche lì. Ad esempio, se si tratta di particella semplice non relativistica, $ \ hat H $ dovrebbe essere sostituito dall'Hamiltoniano di Schroedinger. Per un campo elettromagnetico non relativistico si sostituisce l'operatore di Pauli, lo stesso vale per l'hamiltoniano di Dirac.

Il problema più profondo con questa supposizione è che assume un'identità concettuale tra le nozioni di hamiltoniano ed energia, e questa è un'identità che non è corretta. Cioè, il discernimento deve essere applicato per separare le due di queste cose.

Concettualmente, l'energia è una quantità fisica che è, in un certo senso, "denaro della natura", la "valuta" che devi spendere per produrre cambiamenti fisici nel mondo. A un livello un po 'più profondo, l'energia sta al tempo come lo slancio sta allo spazio. Questo può essere visto in molte aree, come il teorema di Noether, che mette in relazione la legge di conservazione dell'energia con il fatto che la storia di un sistema può essere tradotta avanti e indietro nel tempo e funziona ancora allo stesso modo, cioè che non c'è punto nel tempo preferito nelle leggi della fisica, e allo stesso modo, lo stesso per la quantità di moto con la sua traslazione nello spazio e ancora funzionante allo stesso modo. Si verifica anche nella relatività, in cui il "quadrimotore" incorpora l'energia come sua componente temporale.

L'Hamiltoniano, d'altra parte, è una versione matematicamente modificata della Lagrangiana, attraverso quella che viene chiamata trasformata di Legendre. La lagrangiana è un modo per descrivere come tali forze influenzano l'evoluzione temporale di un sistema fisico in termini di un processo di ottimizzazione, e l'Hamiltoniano lo converte direttamente in un processo di equazione differenziale spesso più utile / intuitivo. In molti casi, l'hamiltoniano è uguale , l'energia meccanica totale del sistema $ E_ \ mathrm {mech} $ , cioè $ K + U $ , ma non è sempre così anche nella meccanica hamiltoniana classica, un fatto che indica e sottolinea la separazione concettuale di base tra i due.

Nella meccanica quantistica, il concetto "l'energia sta al tempo ciò che la quantità di moto sta allo spazio" si manifesta in quanto è il generatore di traduzione temporale , o il generatore di evoluzione , allo stesso modo in cui lo slancio è il generatore di traduzione spaziale . In particolare, proprio come abbiamo un "operatore momentum"

$$ \ hat {p}: = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} $$

che traduce una funzione d'onda posizione-spazio (qui usando una dimensione per semplicità) (rappresentazione matematica di informazioni limitate riguardanti la posizione delle particelle da parte di un agente) $ \ psi $ tramite l '"equazione infinitesimale" piuttosto sciolta

$$ \ psi (x - dx) = \ psi (x) + \ left (\ frac {i} {\ hbar} \ hat {p} \ psi \ right ) (x) $$

per tradurlo con una piccola spinta in avanti $ dx $ , allo stesso modo vorremmo desiderare avere un operatore energetico

$$ \ hat {E}: = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} $$

che fa lo stesso ma per la traduzione rispetto al tempo (il cambio di segno è perché di solito consideriamo un anticipo temporale da $ t $ a $ t + dt $ , in contrapposizione a preferire psicologicamente [forse anche psico-culturalmente] che i movimenti spaziali siano diretti verso destra, nelle nostre descrizioni delle cose.). Il problema qui è che le funzioni d'onda generalmente non contengono un parametro temporale, e almeno la meccanica quantistica non relativistica tratta spazio e tempo separatamente, quindi quanto sopra non può essere un vero operatore nello spazio degli stati del sistema. Piuttosto, è più uno "pseudo-operatore" che "vorremmo" avere ma non possiamo "davvero" per questo motivo. Si noti che questa è l'espressione che appare a destra dell'equazione di Schrödinger, che potremmo quindi "scrivere meglio" come

$$ \ hat {H} [\ psi (t)] = [\ hat {E} \ psi] (t) $$

dove $ \ psi $ è ora una sequenza temporale di funzioni d'onda (vale a dire una "funzione curry", che diventa una " ordinaria "quando si considerano le funzioni d'onda come vettori di Hilbert indipendenti dalla base). L'operatore hamiltoniano $ \ hat {H} $ è un operatore bona fide , che agisce solo sul " present "le informazioni di configurazione per il sistema. Ciò che questa equazione sta "realmente" dicendo è che affinché una tale serie temporale rappresenti una valida evoluzione fisica, l'Hamiltoniano deve anche essere in grado di tradurla nel tempo. La distinzione tra hamiltoniano ed energia si manifesta in quanto l'Hamiltoniano non tradurrà ogni sequenza temporale, mentre lo pseudo-operatore di energia lo , proprio come l'operatore di quantità di moto tradurrà ogni funzione d'onda spaziale. Inoltre, possono essere possibili molti hamiltoniani che danno origine allo stesso spettro di energia.

Poiché queste due cose sono diverse, non ha senso equipararle come operatori, come suggerito. Puoi e dovresti avere $ \ hat {H} [\ psi (t)] = [\ hat {E} \ psi] (t) $ , ma non dovresti avere $ \ hat {H} = \ hat {E} $ !

In qualsiasi formalismo in cui uno spazio di stati di Hilbert è associato a un iperpiano di tipo spaziale, come è certamente il caso dell'esempio dell'equazione di Schrödinger, il tempo è un parametro che individua uno spazio di Hilbert $ \ mathcal {H} _t $. In quel caso, le Risposte di Lubos e Qmechanic descrivono abbastanza bene la situazione.

Nella teoria quantistica dei campi, certamente nei formalismi più utilizzati, lo spazio degli stati di Hilbert è ancora associato a un iperpiano di tipo spaziale (e la covarianza di Lorentz di questi formalismi è alquanto turbata), così che ancora una volta il tempo è un parametro, e ancora le Risposte di Lubos e Qmechanic sono buone. È possibile , tuttavia, costruire formalismi in cui uno spazio di Hilbert è associato a tutto lo spazio-tempo, nel qual caso le traduzioni di tipo tempo e spazio sono molto più direttamente confrontabili. esiste una differenza tra traduzioni simili al tempo e traduzioni simili allo spazio a causa del diverso segno della metrica per i due casi, tuttavia la traduzione simile al tempo può essere presentata come un operatore che agisce su uno spazio di Hilbert , proprio come fanno le traduzioni di tipo spaziale. È discutibile, tuttavia, che non ci sia un'equazione di Schödinger in tali formalismi, che piuttosto esula dalla tua Domanda (e quindi che questa sarà solo una digressione confusa --- ma, se ti stai chiedendo, questa matematica è là fuori ...).

Tutto questo è abbastanza carino come matematica, e spero che vedere il contrasto aiuti, ma la costruzione alternativa, come ho descritto sopra, non ha trovato essenzialmente alcuna applicazione utile come descrizione.

La risposta breve è, perché è identicamente zero.

Se dici «operatore», devi essere in grado di specificare, ¿ su quale spazio opera ?

Semplificando un po 'la risposta di Peter Morgan, qui si suppone che l'Hamiltoniano sia un operatore sullo spazio di Hilbert dei vettori di stato (o funzioni d'onda) del sistema. Nel tuo caso, questo spazio di Hilbert è uno spazio di funzioni di tre variabili, $ x $, $ y $ e $ z $. Potrebbero essere indicati con $ \ psi (x, y, x) $, ad esempio $$ e ^ {- x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2} $$ o, per un altro esempio, $ v $. Sono costanti nel tempo quindi se prendi la loro derivata temporale ottieni zero .... Non sto scherzando. Ti sei confuso perché il vettore può variare nel tempo, ma poi è un vettore diverso, cioè, se consideri $$ v_t = \ psi_t (x, y, z) $$ questo descrive un percorso nello spazio di HIlbert. Ma gli operatori vengono applicati solo ai singoli vettori nello spazio di Hilbert, non ai percorsi ... questo è ciò a cui si riferivano alcuni degli altri poster quando hanno sottolineato che il tempo è un parametro qui. Un esempio di un percorso nello spazio di Hilbert potrebbe essere dato da una formula concreta, ma poi ti inviterebbe a confonderti di nuovo sulla differenza tra un parametro e una variabile ... quindi non scriverò alcun esempio.

Penso che la tua risposta sia corretta. La definizione è materia. L'Hamiltoniano è un operatore energetico totale per definizione. Supponendo che $ i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} $ sia un hamiltoniano porta a problemi poiché questa espressione non contiene le informazioni sull'energia del sistema che è costituita da parti cinetiche e potenziali a seconda della configurazione del sistema.

La risposta alla domanda principale è in realtà molto breve.Il tempo è un parametro esterno nella QM convenzionale;parametrizzare un'evoluzione unitaria.Oltre a $ i \ partial_t $, nulla ha in comune con operatori, osservabili ecc. In altre parole $ t $ in $ \ psi (t) $ non enumera alcuni vettori di base di un osservabile come $ x $ fa in$ \ psi (x) $.

Poiché il tempo non è una variabile dinamica in QM come $ x $ o $ p $ .Quindi non esiste un teorema spettrale in termini di tempo.L '"operatore" $ i \ hbar \ partial_t $ è un metodo appena postulato per eliminare l'energia totale come valore medio.Sicuramente esiste un insieme di energie per ogni insieme di autostati, ma quelle energie sono determinate dall'operatore hamiltoniano.

Chiedere perché $$ i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} $$ non è l'operatore hamiltoniano in QM è lo stesso che chiedere perché la derivata temporale non è l'hamiltoniana nelle equazioni di Hamilton: $$ \ frac {d p_i} {dt} = - \, \ frac {\ partial H} {\ partial q_i}, \ qquad \ dots $$