La risposta è che non importa.

La distanza alla quale i campi assomigliano a quella di una carica puntuale è anche la distanza alla quale non importa dove si trova quel punto all'interno della struttura.Il cambio di campo dovuto alla commutazione dell'origine all'interno del conduttore sarà paragonabile alle correzioni all'approssimazione della carica puntiforme, entrambe derivanti da termini multipolari dello stesso ordine.

Sulla base di alcuni degli scambi che vedo, penso che tu stia facendo la domanda sbagliata. Penso che la domanda che vuoi porre sia "Data una distribuzione di carica $ \ rho (\ mathbf {r}) $, dove dovrei posizionare una sorgente puntiforme in modo che il potenziale esatto $ \ phi (\ mathbf {r}) = \ int \ rho (\ mathbf {r} ') / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | dv '$ è approssimato più da vicino dal potenziale della sorgente puntiforme? "

La risposta è che vuoi scegliere $ \ mathbf {r} _0 $ in modo tale che

$ \ int (\ mathbf {r} '- \ mathbf {r} _0) \ rho (\ mathbf {r}') dv '= 0 $

Se la distribuzione della carica è uniforme, la risposta è al centroide. Il motivo per cui questo è il punto giusto è che il momento di dipolo della differenza tra la soluzione esatta e quella approssimativa va a zero. Quindi l'errore nel potenziale è $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 3) $, mentre con qualsiasi altra scelta l'errore includerebbe il termine dipolo, e quindi sarebbe $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2 ) $. (L'impostazione corretta dell'entità della carica puntiforme tiene conto del termine monopolare di $ \ mathcal {O} (1 / r) $.)

Ulteriori chiarimenti:

La scelta di $ \ mathbf {r} _0 $ che soddisfa il vincolo di dipolo sopra è

$ \ mathbf {r} _0 = \ frac {\ int \ mathbf {r} '\ rho (\ mathbf {r}') dv '} {\ int \ rho (\ mathbf {r}') dv ' } $

e può essere pensato come un "centro di carica" ​​simile a un centro di massa.

L'espansione multipolare del potenziale $ \ phi (\ mathbf {r}) $ contiene termini di ordine crescente in $ 1 / r $

• I termini monopolari decadono con $ \ mathcal {O} (1 / r) $. Qualsiasi distribuzione di carica con la stessa carica totale all'interno di una regione locale ha lo stesso momento monopolare. Ecco perché una carica puntuale con la stessa carica totale funziona come un'approssimazione e non importa dove sia, purché sia ​​vicino alla stessa regione. Con questa approssimazione, l'errore tra il potenziale esatto e l'approssimazione sarà $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $. Se $ r $ è abbastanza grande, allora come dicono tutti gli altri, funziona bene e non importa dove sia $ \ mathbf {r} _0 $.
• Tuttavia, se vogliamo, possiamo essere ancora più precisi con una scelta oculata della posizione della carica puntiforme.I termini di dipolo decadono con $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $.Poiché la sorgente puntiforme chiaramente non ha momento di dipolo, scegliere il punto $ \ mathbf {r} _0 $ in modo che il potenziale esatto non abbia un momento di dipolo su $ \ mathbf {r} _0 $ rimuove $ \ mathcal {O} (1 / r^ 2) $ dipendenza dall'errore.Questo lascia solo $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 3) $ e termini di errore superiori.

L'espansione multipolare è un'approssimazione utile all'ordine basso (mono-, di, - quadrupole) se il diametro della distribuzione di carica $ d $ è molto inferiore alla distanza alla quale si osserva il campo o potenziale $ r $.

Quella distanza di osservazione è rispetto a un'origine, che puoi posizionare convenientemente da qualche parte all'interno della distribuzione della carica.Enfasi su da qualche parte , perché dimenarsi con l'origine al massimo a una distanza $ d $ non cambierà molto $$ | r | ^ {- 1} \ approx | r + d | ^ {- 1} \ text {per $ d \ ll r $} $$ Puoi posizionare l'orgin, ovvero la sorgente del campo monopolo, ovunque all'interno di $ ^ 1 $ la distribuzione della carica.Non è un punto dettato dalla teoria.Normalmente lo sceglieresti in modo tale da far svanire i momenti più alti.

Si può sempre far svanire il momento di dipolo ponendo l'origine al centro della carica.

Stai implicitamente assumendo che sufficientemente lontano da una distribuzione di carica limitata, il campo elettrico diventi perfettamente radiale, cioè ogni linea di campo elettrico si incontrerebbe in un unico punto se la proiettassi in linea retta linea di ritorno al quartiere della distribuzione della carica. Ma non è così; se potessi misurare la direzione dei campi elettrici lontani in modo così preciso da poterli estrapolare dalla regione sorgente con una precisione migliore della distribuzione spaziale della carica sorgente, scopriresti che non si intersecano esattamente nello stesso punto. I campi elettrici in diversi punti lontani indicherebbero parti leggermente diverse della distribuzione della carica. Man mano che ci si allontana sempre di più, i campi elettrici si avvicinano sempre di più all'essere radiali, quindi è necessario conoscere le loro direzioni in modo sempre più accurato per dire con quale parte specifica della distribuzione di carica sono allineati. Misurare i campi con questa precisione extra corrisponde a misurare il dipolo piuttosto che il contributo monopolare (che cade più velocemente). Questi dati di dipolo a loro volta forniscono più informazioni sui dettagli della configurazione di carica oltre alla sua carica totale, che è ciò che si ottiene dalla parte puramente radiale del campo.

Vorrei aggiungere un altro esempio e chiarire una delle mie affermazioni nei commenti che ho fatto alla domanda dell'OP.

Se hai una lamiera quadrata di lato 1 cm. Puoi considerare il file indica di essere ovunque vicino al metallo se sei a un miglio di distanza. Il punto NON è il centroide. Il centroide è una quantità puramente geometrica. Il la densità di carica può variare in base alla geometria. Di solito ottieni il file posizione del punto quando si applicano le approssimazioni all'esatto formula.

Non esiste un punto fisso ma ottieni la posizione dopo aver applicato il approssimazione. Ad esempio, considera un dipolo, se hai usato r as la distanza dal punto in cui si desidera trovare l'intensità del campo al punto medio del dipolo. Allora lo assumerai tutto la carica è concentrata nel punto medio del dipolo da lontano posto lontano.

Il tuo punto di interesse P è così lontano dal dipolo che la distanza tra il punto P e il punto medio del dipolo è essenzialmente la stessa della distanza tra il punto P e la carica negativa del dipolo.

Il cambiamento della posizione del punto addebitato non causa alcun cambiamento significativo nella risposta.

Si può presumere che la carica puntiforme sia nel punto medio del dipolo, o sia alla carica positiva o sia alla carica negativa. In qualsiasi punto tu scelga, la tua risposta produrrà più o meno lo stesso numero. In tempi più maneggevoli, l'incertezza nei nostri strumenti di misura è molto più grande che non possiamo notare la differenza cambiando la posizione del punto. Ovviamente, non puoi andare fino in fondo con la tua approssimazione.