La teoria della probabilità usata in QM è intrinsecamente diversa da quella comunemente usata per il seguente motivo: lo spazio degli eventi è non commutativo (più propriamente non booleano ) e questo fatto influenza profondamente la teoria della probabilità condizionata . La probabilità che A accada se B è accaduto è calcolata in modo diverso nella teoria della probabilità classica e nella teoria quantistica, quando A e B sono eventi quantistici incompatibili . In entrambi i casi la probabilità è una misura su un reticolo , ma, nel caso classico, il reticolo è un booleano (una $ \ sigma $ -algebra), nel caso quantistico non lo è.

Per essere più chiari, la probabilità classica è una mappa $ \ mu: \ Sigma (X) \ a [0,1] $ in modo tale che $ \ Sigma (X) $ sia una classe di sottoinsiemi dell'insieme $ X $ compreso $ \ emptyset $ , chiuso rispetto al complemento e al unione numerabile e tale che $ \ mu (X) = 1 $ e: $$ \ mu (\ cup_ {n \ in \ mathbb N} E_n) = \ sum_n \ mu (E_n) \ quad \ mbox {if $ E_k \ in \ Sigma (X) $ con $ E_p \ cap E_q = \ emptyset $ per $ p \ neq q $. } $$ Gli elementi di $ \ Sigma (X) $ sono gli eventi la cui probabilità è $ \ mu $ . In questa visualizzazione, ad esempio, se $ E, F \ in \ Sigma (X) $ , $ E \ cap F $ viene interpretato logicamente come l'evento " $ E $ AND $ F $ ". Allo stesso modo $ E \ cup F $ corrisponde a " $ E $ O $ F $ " e $ X \ setminus F $ ha il significato di "NOT $ F $ "e così via. La probabilità di $ P $ quando $ Q $ viene fornita verifica $$ \ mu (P | Q) = \ frac {\ mu (P \ cap Q)} {\ mu (Q)} \:. \ tag {1} $$

Se invece consideri un sistema quantistico, ci sono "eventi", cioè proposizioni elementari "sì / no" testabili sperimentalmente, che non possono essere unite da operatori logici AND e OR.

Un esempio è $ P = $ "il $ x $ componente dello spin di questo elettrone è $ 1/2 $ "e $ Q = $ " il $ y $ è $ 1/2 $ ". Non esiste alcun dispositivo sperimentale in grado di assegnare un valore di verità a $ P $ e $ Q $ simultaneamente , in modo che le proposizioni elementari come " $ P $ e $ Q $ " non facciano senso. Coppie di proposizioni come $ P $ e $ Q $ sopra sono fisicamente incompatibili .

Nelle teorie quantistiche (la versione più elementare dovuta a von Neumann), gli eventi di un sistema fisico sono rappresentati dai proiettori ortogonali di uno spazio di Hilbert separabile $ H $ . L'insieme $ {\ cal P} (H) $ di questi operatori sostituisce il classico $ \ Sigma (X) $ .

In generale, il significato di $ P \ in {\ cal P} (H) $ è qualcosa di simile "il valore dell'osservabile $ Z $ appartiene al sottoinsieme $ I \ subset \ mathbb R $ " per alcuni $ Z $ osservabili e per alcuni set $ I $ . Esiste una procedura per integrare una tale classe di proiettori etichettati su sottoinsiemi reali per costruire un operatore autoaggiunto $ \ hat {Z} $ associato alla classe $ Z $ , e questo non è altro che il significato fisico del teorema di decomposizione spettrale .

Se $ P, Q \ in {\ cal P} (H) $ , ci sono due possibilità: $ P $ e $ Q $ pendolari oppure no .

L'assioma fondamentale di Von Neumann afferma che la commutatività è il corrispondente matematicamente della compatibilità fisica .

Quando $ P $ e $ Q $ fanno il pendolare, $ PQ $ e $ P + Q-PQ $ sono ancora proiettori ortogonali, cioè elementi di $ {\ cal P} (H) $ .

In questa situazione, $ PQ $ corrisponde a " $ P $ AND $ Q $ ", mentre $ P + Q-PQ $ corrisponde a" $ P $ OR $ Q $ " e così via, in particolare "NOT $ P $ "viene sempre interpretato come il proiettore ortogonale su $ P (H) ^ \ perp $ (il sottospazio ortogonale di $ P (H) $ ), e tutto il formalismo classico è vero in questo modo. In effetti, un insieme massimo di proiettori per pendolarismo a coppie ha proprietà formali identiche a quelle della logica classica: è un booleano $ \ sigma $ -algebra.

In questa immagine, uno stato quantistico è una mappa che assegna la probabilità $ \ mu (P) $ che $ P $ viene verificato sperimentalmente in ogni $ P \ in {\ cal P} (H) $ .It deve soddisfare: $ \ mu (I) = 1 $ e $$ \ mu \ left (\ sum_ {n \ in \ mathbb N} P_n \ right) = \ sum_n \ mu (P_n) \ quad \ mbox {if $ P_k \ in {\ cal P} (H) $ con $ P_p P_q = P_qP_p = 0 $ per $ p \ neq q $.} $$

Celebre Teorema di Gleason , stabilisce che, se $ \ text {dim} (H ) \ neq 2 $ , le misure $ \ mu $ sono tutte nella forma $ \ mu (P ) = \ text {tr} (\ rho_ \ mu P) $ per alcuni stati misti $ \ rho_ \ mu $ (un operatore di classe trace positivo con unit trace), determinato biunivocamente da $ \ mu $ . Nella se convessa t degli stati, gli elementi estremi sono gli stati puri standard. Sono determinati, fino a una fase, da vettori unitari $ \ psi \ in H $ , in modo che, con qualche banale calcolo (completando $ \ psi_ \ mu $ su una base ortonormale di $ H $ e utilizzando quella base per calcolare la traccia), $$ \ mu (P) = \ langle \ psi_ \ mu | P \ psi_ \ mu \ rangle = || P \ psi_ \ mu || ^ 2 \:. $$

(Al giorno d'oggi, esiste una versione generalizzata di questa immagine, in cui l'insieme $ {\ cal P} (H) $ è sostituito dalla classe di positivo limitato operatori in $ H $ (i cosiddetti "effetti") e il teorema di Gleason è sostituito dal teorema di Busch con un'affermazione molto simile.)

La probabilità quantistica è quindi data dalla mappa, per un dato stato generalmente misto $ \ rho $ , $$ {\ cal P} (H) \ ni P \ mapsto \ mu (P) = \ text {tr} (\ rho_ \ mu P) $$

È chiaro che, non appena si tratta di proposizioni fisicamente incompatibili , (1) non può valere solo perché non c'è niente come $ P \ cap Q $ nell'insieme delle proposizioni quantistiche fisicamente sensibili. Tutto ciò è dovuto al fatto che lo spazio degli eventi $ {\ cal P} (H) $ span> è ora un non commutativo str ong> set di proiettori, dando origine a un reticolo non booleano.

La formula che sostituisce (1) è ora:

$$ \ mu (P | Q) = \ frac {\ text {tr} (\ rho_ \ mu QPQ)} {\ text {tr} (\ rho_ \ mu Q)} \ tag {2} \:. $$ span>

Al suo interno, $ QPQ $ è un proiettore ortogonale e può essere interpretato come " $ P $ AND $ Q $ "(ovvero $ P \ cap Q $ ) quando $ P $ e $ Q $ sono compatibili. In questo caso (1) è di nuovo vero. (2) dà origine a tutte le "cose ​​strane" che si manifestano negli esperimenti quantistici (come in quello a doppia fenditura). In particolare, il fatto che, in QM, le probabilità siano calcolate combinando ampiezze di probabilità complesse deriva da (2).

(2) si basa solo sul postulato di riduzione di von Neumann-Luders affermando che, se il risultato della misurazione di $ P \ in {\ cal P} (H) $ è YES quando lo stato era $ \ mu $ (cioè $ \ rho_ \ mu $ ), lo stato immediatamente dopo la misurazione è $ \ mu '$ associato a $ \ rho _ {\ mu '} $ con

$$ \ rho _ {\ mu'}: = \ frac { P \ rho_ \ mu P} {\ text {tr} (\ rho_ \ mu P)} \:. $$

ADDENDUM . In realtà, è possibile estendere la nozione di operatori logici AND e OR per tutte le coppie di elementi in $ {\ cal P} (H) $ e quello era il programma di von Neumann e Birkhoff (la logica quantistica ). Infatti solo la struttura reticolare di $ {\ cal P} (H) $ lo consente, o meglio è esso. Con questa nozione estesa di AND e OR, " $ P $ AND $ Q $ " è il proiettore ortogonale su $ P (H) \ cap Q (H) $ mentre " $ P $ OPPURE $ Q $ "è il proiettore ortogonale sulla chiusura dello spazio $ P (H) + Q (H) $ . Quando $ P $ e $ Q $ commutano queste nozioni di AND e OR si riducono a quelle standard. Tuttavia, con le definizioni estese , $ {\ cal P} (H) $ diventa un reticolo nel senso matematico corretto, dove la relazione di ordine parziale è data dall'inclusione standard di sottospazi chiusi ( $ P \ geq Q $ significa $ P (H) \ supset Q (H) $ ). Il punto è che l'interpretazione fisica di questa estensione di AND e OR è non chiaro. Il reticolo risultante è tuttavia non booleano. In altre parole, per esempio, questi AND e OR estesi non sono distributivi come lo sono gli AND e OR standard (questo rivela la loro natura quantistica). Tuttavia, mantenendo anche la definizione di "NOT $ P $ " come proiettore ortogonale su $ P (H) ^ \ perp $ , la struttura trovata di $ {\ cal P} (H) $ è ben nota: A $ \ sigma $ -completo, delimitato, ortodomodulare, separabile, atomico, irriducibile e verificante la proprietà di copertura, reticolo. Intorno al 1995 è stata definitivamente dimostrata, da Solér, una congettura dovuta a von Neumann che afferma che ci sono solo tre possibilità per realizzare praticamente tali reticoli: Il reticolo di proiettori ortogonali in uno spazio di Hilbert complesso separabile, il reticolo di proiettori ortogonali in uno spazio di Hilbert reale separabile, il reticolo di proiettori ortogonali in uno spazio di Hilbert quaternionico separabile.

Il teorema di Gleason è valido nei tre casi. L'estensione al caso quaternionico è stata ottenuta da Varadarajan nel suo famoso libro 1 sulla geometria della teoria quantistica, tuttavia una lacuna nella sua dimostrazione è stata risolta in questo articolo pubblicato di cui sono coautore 2

Assumendo la simmetria di Poincaré, almeno per i sistemi elementari (particelle elementari), il caso degli spazi di Hilbert reale e quaternionico può essere escluso (ecco un paio di lavori pubblicati che ho scritto sull'argomento: 3 e 4).

ADDENDUM2 . Dopo una discussione con Harry Johnston, penso che valga la pena menzionare un'osservazione interpretativa sul contenuto probabilistico dello stato $ \ mu $ all'interno dell'immagine che ho illustrato sopra. In QM $ \ mu (P) $ è la probabilità che, se ho eseguito un certo esperimento (per controllare $ P $ ), $ P $ risulterebbe vero. Sembra che qui ci sia una differenza rispetto alla nozione classica di probabilità applicata a sistemi classici. Lì, la probabilità si riferisce principalmente a qualcosa di già esistente (e alla nostra conoscenza incompleta di esso). Nella formulazione del QM che ho presentato sopra, la probabilità si riferisce invece a ciò che accadrà se ...

ADDENDUM3 . Per $ n = 1 $ il teorema di Gleason è valido e banale. Per $ n = 2 $ esiste un controesempio noto. $ \ mu_ \ nu (P) = \ frac {1} {2} (1+ (v \ cdot n_P) ^ 3) $ dove $ v $ è un vettore di unità in $ \ mathbb R ^ 3 $ e $ n_P $ è il vettore unità in $ \ mathbb R ^ 3 $ associato al proiettore ortogonale $ P: \ mathbb C ^ 2 \ to \ mathbb C ^ 2 $ nella sfera Bloch: $ P = \ frac {1} {2} \ left (I + \ sum_ { j = 1} ^ 3 n_j \ sigma_j \ right) $ .

ADDENDUM4 . Dal punto di vista della probabilità quantistica, il postulato di riduzione di von Neumann-Luders ha un'interpretazione molto naturale. Supponiamo che $ \ mu $ sia una misura di probabilità sul reticolo quantistico $ {\ cal P} (H) $ span> che rappresenta uno stato quantistico e supponi che la misurazione di $ P \ in {\ cal P} (H) $ , in quello stato, abbia esito $ 1 $ . Lo stato di post misurazione è quindi rappresentato da $ \ mu_P (\ cdot) = \ mu (P \ cdot P) $ , proprio in vista del postulato di cui sopra.

È facile dimostrare che $ \ mu_P: {\ cal P} (H) \ to [0,1] $ è l'unica misura di probabilità tale che $$ \ mu_P (Q) = \ frac {\ mu (Q)} {\ mu (P)} \ quad \ mbox {if $ Q \ leq P $} \ :. $$

Dopo aver riflettuto più a fondo, c'è una differenza filosofica inequivocabile, con implicazioni pratiche. L'esperimento a due fenditure ne fornisce un buon esempio.

In un universo classico, ogni particolare fotone che colpisce lo schermo è passato attraverso la fessura A o B. Anche se non ci siamo preoccupati di misurare questo, l'uno o l'altro è ancora accaduto, e possiamo definire in modo significativo $ P (A) $ e $ P (B) $.

In un universo quantistico, se non ci preoccupassimo di misurare quale fenditura un fotone è passato, quindi non è vero che è passato attraverso una fenditura o l'altra. Si potrebbe dire che ha attraversato entrambe le cose, anche se anche questo non è del tutto vero; tutto quello che possiamo veramente dire è che "è andato attraverso le fessure".

(Chiedere quale fenditura è passato un fotone nell'esperimento delle due fenditure è come chiedere qual è la religione del fotone. Semplicemente non lo è una domanda significativa.)

Ciò significa che $ P (A) $ e $ P (B) $ semplicemente non esistono. Ecco dove entra in gioco una delle implicazioni pratiche: se non capisci correttamente la QM [Sto mentendo un po 'qui; Tornerò su] allora puoi ancora calcolare una probabilità che la particella sia passata attraverso la fenditura A e una probabilità che sia passata attraverso la fenditura B. E poi quando provi ad applicare la solita matematica a quelle probabilità, non lo fa funziona, e poi inizi a dire che la probabilità quantistica non segue le stesse regole della probabilità classica.

(In realtà ciò che stai realmente facendo è calcolare quali sarebbero state le probabilità per quegli eventi se avessi scelto di misurarli. Dal momento che non l'hai fatto, sono privi di significato e la matematica non si applica.)

Quindi: la differenza filosofica è che quando si studiano i sistemi quantistici, a differenza dei sistemi classici, la probabilità che qualcosa sarebbe successo se l'avessi misurata non è in generale significativa a meno che tu non l'abbia fatto effettivamente; l'implicazione pratica è che devi tenere traccia di ciò che hai misurato o meno per evitare di fare un calcolo non valido.

(Nei sistemi classici la maggior parte delle domande sintatticamente valide sono significative; mi ci è voluto del tempo per trovare il controesempio fornito sopra. Nella meccanica quantistica la maggior parte delle domande non ha senso e devi sapere cosa stai facendo per trovare quelle che lo sono.)

Nota che tenere traccia del fatto che hai misurato qualcosa o meno non è un esercizio astratto limitato ai casi in cui stai cercando di applicare la teoria della probabilità. Ha un impatto diretto e concreto sull'esperimento: nel caso dell'esperimento a due fenditure, se si misura la fenditura attraversata da ciascun fotone, il pattern di interferenza scompare .

(Ancora più complicato: se misuri quale fenditura è stata attraversata da ciascun fotone e poi cancelli correttamente i risultati di quella misurazione prima di guardare la pellicola, lo schema di interferenza ritorna di nuovo.)

PS: potrebbe essere ingiusto dire che calcolare una probabilità "avrebbe" significa che non si capisce correttamente il QM. Può semplicemente significare che stai consapevolmente scegliendo di usarne un'interpretazione diversa e preferisci modificare o generalizzare la tua concezione della probabilità come necessario. La risposta di V. Moretti entra in qualche dettaglio su come potresti fare questo. Tuttavia, sebbene questo genere di cose sia interessante, non mi sembra essere di alcuna utilità evidente. (Non è chiaro se fornisca informazioni sulla scomparsa e riapparizione del pattern di interferenza come descritto sopra, ad esempio.)

Addendum: che è diventato più chiaro in seguito alla discussione nei commenti. Sembra che si pensi che la formulazione alternativa possa avere vantaggi quando si tratta di scenari più complicati (QFT sullo spaziotempo curvo è stato menzionato come un esempio). Questo è del tutto plausibile e certamente non intendo dire che il lavoro manchi di valore; tuttavia, non mi è ancora chiaro che sia utile dal punto di vista pedagogico come alternativa all'approccio convenzionale quando si impara la MQ di base.

PPS: a seconda dell'interpretazione, potrebbero esserci altre differenze filosofiche legate alla natura o origine della casualità. La statistica bayesiana è abbastanza ampia, credo, che queste differenze non siano di grande importanza e, anche da un punto di vista frequentista, non credo abbiano implicazioni pratiche.

Le probabilità in QM sono date dalle ampiezze quadrate dei termini rilevanti nella funzione d'onda, o dal valore atteso del rispettivo proiettore o POVM. Tuttavia, non è il caso che quei numeri agiscano sempre in modo coerente con il calcolo della probabilità.

Ad esempio, se ci sono due modi che si escludono a vicenda affinché un evento si verifichi, il calcolo di probabilità direbbe che la probabilità per quell'evento è la somma delle probabilità che si verifichi in ciascuno di questi modi. Ma negli esperimenti di interferenza di un singolo fotone questo non sembra funzionare. Ci sono due percorsi attraverso l'interferometro, il fotone non può essere rilevato contemporaneamente su entrambi i percorsi, quindi si escludono a vicenda, giusto? Quindi, per ottenere la probabilità che il fotone emerga da una particolare porta all'altra estremità, dovresti semplicemente aggiungere la probabilità che percorra ogni rotta. Ma quel calcolo dà la risposta sbagliata: puoi ottenere qualsiasi probabilità tu voglia modificando le lunghezze del percorso vedi:

http://arxiv.org/abs/math/9911150.

Quindi hai il problema di spiegare in quali circostanze si applica il calcolo della probabilità.

Chiedi degli approcci frequentisti alla probabilità quantistica. Esistono alcuni di questi approcci, ad es. - L'articolo di Hugh Everett del 1957 e il suo dottorato di ricerca. tesi:

http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf.

Penso che questi gli argomenti non funzionano perché l'approccio della frequenza stesso non funziona. Perché la frequenza relativa su un numero infinito di campioni ha qualcosa a che fare con ciò che viene osservato in un laboratorio? E se c'è qualche spiegazione, allora perché ci preoccupiamo di questa roba relativa alla frequenza piuttosto che usare la spiegazione reale? La migliore spiegazione del motivo per cui è applicabile è l'approccio teorico decisionale:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015

http://arxiv.org/abs/0906.2718.

Il miglior tentativo di spiegare le circostanze in cui vale è dato dai requisiti che la meccanica quantistica impone alle circostanze in cui le informazioni possono essere copiate:

http://arxiv.org /abs/1212.3245.

L'applicazione della probabilità in aree diverse dalla meccanica quantistica è un modo intelligente per modellare situazioni che sono abbastanza complesse in modo che l'analisi esatta non sia fattibile, o almeno molto noiosa.

D'altra parte in QM la natura è intrinsecamente probabilistica. Quando si effettua un'osservazione, lo stato quantistico in cui si trova il sistema ha una probabilità per ogni possibile risultato. Non è più un trucco per fare calcoli. È una caratteristica della natura. Questa è la differenza.

Forse troverai interessante il saggio Quantum Theory From Five Reasonable Axioms di Lucien Hardy. In astratto si dice:

In questo articolo viene mostrato che la teoria quantistica può essere derivata da cinque assiomi molto ragionevoli. I primi quattro di questi assiomi sono ovviamente coerenti sia con la teoria quantistica che con la teoria della probabilità classica. L'assioma 5 (che richiede che esistano trasformazioni reversibili continue tra stati puri) esclude la teoria della probabilità classica.

C'è una differenza importante, ma non è fondamentale.

In entrambi i casi la probabilità nasce dalla necessità di confrontare i risultati di due modelli incompatibili operanti a scale differenti, il microscopico e il macroscopico.

Darwin e Fowler molto tempo fa hanno mostrato come derivare la Meccanica Statistica Classica, il luogo principale della fisica classica in cui si verificano le probabilità, dalla Meccanica Quantistica. Quindi, in un certo senso, la Meccanica Quantistica è fondamentale e non c'è problema a derivarne il caso Classico. Fowler, Meccanica Statistica

Ma le presenterò comunque nell'altro ordine Nella fisica classica, se si analizza, diciamo, un gas ideale, il sistema di $ 10 ^ {23} $ particelle è deterministico. E il numero di variabili è 6 volte $ 10 ^ {23} $. Questa è la visione microscopica del sistema nel suo complesso. Ma si possono anche studiare alcune proprietà di questo gas in termini di pochissime variabili termodinamiche, temperatura, pressione e volume, che descrivono un macro-stato. Ma in termini di questa descrizione, il sistema è probabilistico: si conoscono solo le probabilità con cui le sue molecole possiedono una data energia, ecc. Inoltre, la connessione tra i due livelli di descrizione del sistema, il micro-livello e il macro -level, è tramite misurazione . La misura della velocità di una molecola è modellata dalla media a lungo termine sulla sua traiettoria della sua velocità. Quindi si scopre che per tutte le molecole normali , questa procedura, ammesso che il sistema sia in equilibrio, fornisce la stessa risposta quasi senza riguardo a quale molecola o quale traiettoria si studia, ed Einstein l'ha definita come aspettativa dell'energia di una molecola. Vedere Jan von Plato, Creating Modern Probability. Quindi solo ai risultati delle misurazioni vengono assegnate probabilità.

Ora, secondo Feynman e altri, qualcosa di parallelo è vero nella meccanica quantistica. Le probabilità nascono dalla necessità di amplificare i microfenomeni fino al livello macro dove possiamo vedere l'apparato di misura, vedere un ago su un quadrante che indica un numero sul quadrante. (L'equazione di Schrödinger è essa stessa un'equazione deterministica e le probabilità rientrano solo negli assiomi di misurazione.) Gli unici "eventi" nel senso della teoria matematica della probabilità, cioè le cose a cui sono assegnate probabilità, sono i risultati delle misurazioni. E anche qui la misurazione ha qualcosa a che fare con la descrizione in modo ridotto dello stato di un micro-sistema in termini di macro-stati invece che di micro-stati. L'ago sul quadrante obbedisce davvero alle leggi della meccanica quantistica: ha una funzione d'onda, è in uno stato di entangled, ecc., Ma quando diciamo "il risultato della misurazione era che l'ago puntava a 3" stiamo descrivendo l'apparato di misura in termini classici , che sono macro-termini. Il passaggio dalla microdescrizione della particella in termini di concetti quantistici a questa descrizione ridotta porta delle probabilità.

Cosa non sono le probabilità

È un mito che le probabilità nella classica la meccanica statistica è dovuta all'ignoranza o è soggettiva. Si verificano solo perché si restringe l'attenzione alla cellula normale dei micro-stati (cellula normale nel senso di Darwin e Fowler) e si ignorano gli stati eccezionali. La definizione di "normale" è oggettiva: gli stati possono essere raggruppati in celle di stati: tutti quegli stati che possiedono le stesse proprietà temporali l'uno dell'altro. La cellula normale è la cellula più grande. Nel limite termodinamico, la cella normale non è solo la più grande, è l'unica con volume positivo, tutte le altre celle sono meri confini di dimensione inferiore.

È un mito che le probabilità nella Meccanica Quantistica siano in qualche modo "non commutative". Il problema non è che ci sono osservabili non pendolari. Se stai misurando la quantità di moto, la configurazione sperimentale è abbastanza definita e lo spazio degli eventi dipende dalla configurazione fisica e ha solo i risultati della misurazione della quantità di moto. Se l'apparato di misurazione è adatto per misurare la quantità di moto, i risultati per la posizione sono non eventi. L'impostazione esclude la posizione di misurazione, quindi le misurazioni della posizione sono impossibili in questa impostazione. E viceversa. Non esiste uno spazio di probabilità globale con entrambi i tipi di eventi, come suppongono ingenuamente i matematici che studiano la cosiddetta "probabilità quantistica" o "probabilità non commutativa". Bohr ci ha insegnato che se si imposta l'apparato per un tipo di misurazione (ad esempio, quantità di moto), si esclude fisicamente la possibilità dell'altro tipo di misurazione complementare (ad esempio, posizione). Ciò significa che si lavora in uno spazio di probabilità con eventi e misure normali della loro probabilità, oppure si è in uno spazio di probabilità totalmente diverso con i propri eventi e le proprie misure. Ora, nessuno direbbe che un operatore nello spazio A abbia commutato o non abbia fatto il pendolare con un operatore in uno spazio B completamente diverso, ed è quello che abbiamo qui.

RISPOSTA: Gli eventi che si escludono a vicenda non possono esistere prima della misurazione , nella formulazione probabilistica della meccanica quantistica (interpretazione di Copenhagen-CIQM), perché, al massimo, CIQM è richiesta per violare il realismo locale e, minimamente, potrebbe infrangere il principio di località. E dopo la misurazione, il problema che hai menzionato non esiste perché è sradicato da una sfida molto più grande, cioè la simultaneità di due eventi separati spazialmente o eventi separati meccanicamente quantistici (i due non sono necessariamente equivalenti). Inizia dalla mappa in https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_locality.

Building Blocks

• ($ 0000 $) - Innanzitutto il concetto di probabilità è un progetto dell'interpretazione Copenhagen della meccanica quantistica in cui si corrisponde una funzione d'onda (con tutte le caratteristiche di un'onda) a una particella; attraverso questo, si costruisce un canale matematico diretto tra il comportamento delle particelle e delle onde. In questa immagine, non puoi separare queste nature. Questo primo passo molto importante è espresso dal " principio di complementarità ".

• ($ 000 $) Ora questa immagine non è completa e per allegarla immagine all'esperienza tangibile, " corrispondono " la piazza del ampiezza della funzione d'onda alla probabilità della particella trovarsi in un punto specifico nello spazio e nel tempo.

AVVISO: La tua domanda è collegata a questa corrispondenza non, direttamente, alla nozione di probabilità.

Ora, vorrei sottolineare altri due elementi costitutivi di Copenhagen QM che completano la tua corrispondenza probabilistica:

Probabilità meccanica quantistica

• ($ 00 $) IN QM, proprio come la meccanica classica, lo spazio e il tempo sono continui e la quantità di moto è responsabile (del generatore di) spostamento (traduzione). Ma la traduzione di cosa in cosa? Traduzione di vettori complessi dallo spazio di Hilbert (stati di Ket) , che sono rappresentazioni matematiche astratte fondamentali richieste per questa nuova illustrazione indiretta dei fenomeni fisici, in lo spazio tridimensionale ordinario . Questi stati di Ket costruiscono uno spazio vettoriale che ha un doppio, cioè lo spazio di Bra. Probabilità meccaniche quantistiche Le sono definite in base al prodotto interno di elementi dagli spazi di bra e ket. Ad esempio $ | \ alpha \ rangle $ è uno stato ket, lo stato del reggiseno $ \ langle \ alpha | $ è il suo doppio e il prodotto interno di $ \ langle \ beta | $ e $ | \ alpha \ rangle $ è indicato di $ \ langle \ beta | \ alpha \ rangle $. La probabilità di trovare $ | \ beta \ rangle $ in $ | \ alpha \ rangle $ che, in base ai principi fondamentali della teoria della probabilità, equivale a trovare $ | \ alpha \ rangle $ in $ | \ beta \ rangle $ è quindi dato da

$$ \ left | \ langle \ beta | \ alpha \ rangle \ destra | ^ 2 = \ sinistra | \ langle \ alpha | \ beta \ rangle \ right | ^ 2 $$

Questo è equivalente a uno dei due importanti postulati dei prodotti interni nello spazio di Hilbert:

$$ \ langle \ beta | \ alpha \ rangle = \ langle \ alpha | \ beta \ rangle ^ * $$

Il secondo postulato è chiamato postulato della metrica definita positiva secondo la quale

$$ \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle \ geq 0 $$

Un'altra caratteristica importante è relativa alla conservazione della probabilità quando si traducono gli stati ket; così si estrae l'unitarietà degli operatori di traduzione. Credo che questo sia probabilmente il postulato più importante riguardo alla probabilità della meccanica quantistica. Deve essere equivalente a un'ipotesi riguardante il tessuto dello spazio-tempo.

• ($ 0 $) Ora se due stati meccanici quantistici, che descrivono lo stato iniziale di un evento, sono ortogonali , rimarranno ortogonali in evoluzione nel tempo; perché l'operatore di evoluzione temporale è unitario. Pertanto, due eventi di meccanica quantistica disgiunti non si mescolerebbero evolvendosi nel tempo, qualunque cosa. Tuttavia, questa semplice rappresentazione spaziale di Hilbert non sarebbe così semplice se proiettata nello spazio-tempo. Ad esempio, ovunque la funzione d'onda di una particella sia zero (di solito ci sono molti di questi punti), anche il quadrato dell'ampiezza sarebbe zero, cioè la probabilità di trovare la particella in quel punto dello spazio-tempo sarebbe zero assoluto mentre , per esempio, nei punti vicini si può trovare la particella. È come se alcuni punti dello spazio-tempo fossero singolari, probabilistici. Il motivo per cui lo chiamo singolare è che una probabilità zero è una questione di non esserci assolutamente.

E il punto finale: ogni teoria che viola la disuguaglianza di Bell non sarebbe invariante localmente e produrrebbe previsioni che nessun realismo locale farebbe.

La teoria della probabilità classica è un limite degenere della teoria della probabilità quantistica. Quindi, c'è una relazione asimmetrica tra i due, puoi derivare completamente la teoria della probabilità classica dalla teoria della probabilità quantistica, ma non il contrario. In realtà è vero che le probabilità stesse che si verificano nel mondo reale, anche quando sono saldamente all'interno del dominio classico, sono sempre date dall'ampiezza al quadrato di un vettore di stato meccanico quantistico che descrive la fisica. Come sottolineato qui, non ci sono esempi noti di probabilità classiche che non abbiano un'origine meccanica quantistica simile.

Come sottolineato nell'articolo, sia che si considerino lanci di monete, scommesse sulle cifre di pi, ecc., le probabilità possono sempre essere dimostrate di origine puramente meccanica quantistica, derivanti dalla regola di Born e non dal ragionamento classico invocato basato sulla conoscenza insufficiente. La teoria della probabilità classica non è quindi fondamentale, dovrebbe essere derivata come un'approssimazione appropriata dalla meccanica quantistica.

Tuttavia, la matematica della teoria della probabilità classica funziona fondamentalmente diversa dal modo in cui funziona la matematica della teoria della probabilità quantistica. Allora, come può non esserci una differenza fondamentale? La risposta è che la teoria classica è un limite degenere della teoria della meccanica quantistica, nel limite classico, i commutatori dell'osservabile svaniscono consentendo di utilizzare il ragionamento matematico che non è consentito all'interno della teoria quantistica. Ma puoi fare la teoria della probabilità classica senza problemi all'interno della teoria della probabilità quantistica e quindi prendere il limite classico.