Domanda:
Calcolo delle variazioni: come ha senso variare la posizione e la velocità indipendentemente?
grizzly adam
2010-11-16 11:50:57 UTC
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Nel calcolo delle variazioni, in particolare nella meccanica lagrangiana, spesso si dice che si varia la posizione e la velocità indipendentemente. Ma la velocità è la derivata della posizione, quindi come puoi trattarle come variabili indipendenti?

Potresti chiarire un po ', per favore? Il calcolo stesso delle variazioni è un argomento di matematica, quindi quale particolare applicazione di fisica hai in mente? Vuoi dire qualcosa sulla falsariga di "Ha senso applicare le equazioni di Eulero-Lagrange al problema di minimizzare un'azione, dato che per farlo è necessario trattare posizione e velocità come variabili indipendenti, quando fisicamente se conosci la posizione come una funzione del tempo, la velocità è completamente specificata? "
Superba domanda aksink sul fondamento di tutto ciò che calcoliamo. Inoltre - provocando grandi risposte. Sei il benvenuto a condividere i tuoi dubbi con noi @grizzly adam :) Saluti
Correlati: https://physics.stackexchange.com/q/60706/, https://physics.stackexchange.com/q/119992/
Sono preoccupato per questo da anni, mi ha fermato quando cercavo di imparare la matematica applicata e ho incontrato matematici puri davvero bravi che erano altrettanto turbati. Una spiegazione che ha un senso per me è nel libro a buon mercato "Meccanica classica - il minimo teorico" che utilizza un approccio scolastico, infinitesimale, per rispondere a una domanda che l'autore in realtà non pone. Grazie per aver postato questa domanda.
Domanda correlata su Math.SE: https://math.stackexchange.com/q/1798396/11127
Sette risposte:
#1
+77
Greg Graviton
2010-11-16 15:01:59 UTC
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A differenza di quanto suggerisce la tua domanda, non è vero che la velocità varia indipendentemente dalla posizione. Una variazione della posizione $ q \ mapsto q + \ delta q $ induce una variazione della velocità $ \ partial_t q \ mapsto \ partial_t q + \ partial_t (\ delta q) $ come ti aspetteresti.

l'unica cosa che può sembrare strana è che $ q $ e $ \ partial_t q $ sono trattati come variabili indipendenti della lagrangiana $ L (q, \ partial_t q) $. Ma questo non è sorprendente; dopotutto, se chiedi "qual è l'energia cinetica di una particella?", non è sufficiente conoscere la posizione della particella, devi anche conoscere la sua velocità per rispondere a questa domanda.

In altre parole, puoi scegliere posizione e velocità indipendentemente come condizioni iniziali , ecco perché la funzione Lagrangiana le tratta come indipendenti; ma il calcolo della variazione non le varia in modo indipendente , una variazione di posizione induce una variazione adeguata della velocità.

Per essere più precisi: non si tratta solo di dover scegliere condizioni iniziali indipendenti.Le velocità e le posizioni come coordinate sono sempre indipendenti * a meno che * non siamo su una soluzione dell'equazione del moto.Cioè, $ v ^ j = \ dot {q} ^ j $ solo sulle traiettorie che risolvono le equazioni di Eulero-Lagrangiane.Su questi, variazioni del primo implicano variazioni del secondo.Altrove non sono collegati.
Spiega le prime righe.Posizione e velocità sono indipendenti.Dipendono esplicitamente solo dal tempo.Ovviamente dipendono implicitamente l'una dall'altra, ma per niente esplicitamente.Non puoi cambiare v solo cambiando x.Quando si modifica x si capisce che t cambia.È a causa di quel cambiamento in t che v cambia.Essenzialmente la derivata di parzialità di v con x è 0 ma la derivata di v con x non è 0. Ecco perché, penso che non applichiamo alcuna "regola della catena" qui!
@Shashaank la derivata di v rispetto a x ** è ** 0.
@jak derivata parziale non la derivata totale non lo è
@Shashaank sì.Hai menzionato la derivata parziale nel tuo commento, quindi ho pensato che sarebbe stato chiaro.
@jak sì, è chiaro ciò che non lo è è che queste risposte di alto livello non menzionano questa risposta di 1 riga
@Shashaank sì, non ne ho idea.
@Greg Graviton Quindi, in base alla tua risposta, se posso scegliere l'accelerazione in modo indipendente, verrà trattata anche come una variabile indipendente?
@Theoretical In linea di principio, la lagrangiana può dipendere anche dall'accelerazione, ad es.essere rappresentato da una funzione $ L (q, v, a) $ dove $ q, v, a $ sono variabili indipendenti.Tuttavia, viene valutato solo sulle curve $ q (t) $ dove $ q \ equiv q (t) $, $ v \ equiv \ partial_t q (t) $ e $ a \ equiv \ partial ^ 2_t q (t) $.
#2
+39
Kostya
2011-01-14 23:03:40 UTC
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La risposta alla tua domanda principale è già data: non vari coordiante e velocità in modo indipendente. Ma sembra che il tuo problema principale riguardi l'utilizzo di coordinate e velocità come variabili indipendenti.

Consentitemi di fare riferimento a questo fantastico libro: "Geometria differenziale applicata". Di William L. Burke. La primissima riga del libro (dove un autore di solito dice a chi è dedicato questo libro) è questa:

William Burke

È vero che di tanto in tanto gli studenti fanno fai questa domanda. Ma i tentativi di spiegarlo "dall'alto verso il basso" di solito portano solo a un numero sempre maggiore di domande. Uno ha davvero bisogno di fare un ordine matematico "dal basso verso l'alto" nell'argomento. Ebbene, come suggerisce il nome del libro, la disciplina matematica di cui si ha bisogno è la geometria differenziale.

Non posso ripetere tutti i dettagli, ma brevemente assomiglia a questo:

  • Inizi con uno spazio di configurazione $ M $ del tuo sistema. $ M $ è un collettore (differenziabili) e $ q $ sono le coordinate su questo collettore.
  • Poi c'è una procedura specifica, che permette di sommare tutte le possibili "velocità" in ogni dato punto di $ M $. E arrivi al raggruppamento tangente $ TM $, che è anch'esso un collettore, e ($ q $, $ \ dot {q} $) sono coordinate diverse su di esso.
  • La lagrangiana è una funzione su $ TM $.
Ho questo libro e ho provato a leggerlo. Ma manca di definizioni chiare e l'ho trovato più frustrante che illuminante. Inoltre, non credo che sia necessario conoscere la geometria differenziale per comprendere il calcolo delle variazioni. È come dire che non puoi capire l'aritmetica se non conosci la teoria degli insiemi.
Prima di tutto, come ho detto, stai confondendo due punti diversi: sui calcoli variazionali e sull'indipendenza di velocità e coordinate. Secondo: non ho detto che devi leggere un solo libro per capire DG.
Penso che per apprezzare davvero la meccanica lagrangiana e hamiltoniana ** devi ** comprendere un po 'di geometria differenziale.Arnold dice nel suo libro * Metodi matematici della meccanica classica * che "la meccanica hamiltoniana non può essere compresa senza forme differenziali".Questo libro, a proposito, ti insegnerà la geometria differenziale di cui hai bisogno per iniziare, assumendo solo un po 'di calcolo.
#3
+23
grizzly adam
2010-11-17 12:19:39 UTC
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Considerando ciò che ha scritto Greg Graviton, scriverò la derivazione e vedrò se riesco a capirlo.

$$ S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L (q, \ dot q, t) \, \ mathrm {d} t $$

dove S è l'azione e L la lagrangiana. Variamo il percorso e troviamo l'estremo dell'azione:

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} \ delta q + {\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ delta \ dot q \ right) \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,. $$

Qui, q e $ \ dot q $ vengono variati indipendentemente. Ma poi nel passaggio successivo usiamo questa identità,

$$ \ delta \ dot q = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ delta q. $$

Ed è qui che entra in gioco la relazione tra q e $ \ dot q $. Penso che ciò che sta accadendo qui sia che q e $ \ dot q $ vengono inizialmente trattati come indipendenti, ma poi l'indipendenza viene rimossa dall'identità.

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ sinistra ({\ partial L \ over \ partial q} \ delta q + {\ partial L \ over \ partial \ dot q} {d \ over \ mathrm {d} t} \ delta q \ right) \, \ mathrm {d} t = 0 $$

E poi segue il resto della derivazione. Integriamo il secondo termine per parti:

$$ \ delta S = \ left [{\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ delta q \ right] _ {t_1} ^ {t_2} + \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} - {d \ over dt} {\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ right) \ delta q \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,, $$

e l'espressione tra parentesi è zero perché gli endpoint sono mantenuti fissi. E poi possiamo tirare fuori l'equazione di Eulero-Lagrange:

$$ {\ partial L \ over \ partial q} - {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial L \ over \ partial \ dot q} = 0 \ ,. $$

Ora per me ha più senso. Inizi trattando le variabili come indipendenti, ma poi rimuovi l'indipendenza imponendo una condizione durante la derivazione.

Penso che abbia senso. Mi aspetto che in generale altri problemi possano essere trattati allo stesso modo.

(Ho copiato le equazioni precedenti da Mechanics di Landau e Lifshitz.)

Bene, invece di dire "$ q $ e $ \ dot q $ vengono variati indipendentemente", potresti anche dire "$ q $ e $ \ dot q $ sono variati (forse indipendentemente, forse no)" e poi notare che la variazione $ \ delta \ dot q $ è dato da $ \ delta \ dot q = \ frac d {dt} \ delta q $.
La notazione per gli argomenti $ L $ è alquanto confusa, nel qual caso è istruttivo considerare il seguente esempio: prendere $ F (x, 2x-y) $ e variare $ F (x + \ delta x, 2 (x + \ delta x) -y) = \ frac {\ partial F} {\ partial x} \ delta x + \ frac {\ partial F} {\ partial (2x-y)} 2 \ delta x $. Si potrebbe dire che gli argomenti di $ F $ variano indipendentemente, ma sembra strano. Semmai, è solo che la notazione per le derivate parziali di $ F $ è cattiva; è molto meglio scrivere $ F (u, v) $ e $ (u, v) = (x, 2x-y) $ per ottenere $ \ delta F = \ frac {\ partial F} {\ partial u} \ delta u + \ frac {\ partial F} {\ partial v} \ delta v $
... e per esprimere successivamente le variazioni $ \ delta u $ e $ \ delta v $ in termini di $ \ delta x $.
Sì, la notazione è confusa. Questo è un altro problema.
Landau è un grande fisico matematico ma non è conosciuto come un semplice scrittore :-)
"Non una parola di Landau, non un pensiero di Lifshitz."
@grizzlyadam quindi alla fine non sono indipendenti ma possono essere trattati allo stesso modo perché la matematica lo dimostra, giusto?
#4
+16
Qmechanic
2011-03-30 21:38:39 UTC
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Ecco la mia risposta, che è fondamentalmente una versione espansa della risposta di Greg Graviton.

La domanda sul perché si possano trattare posizione e velocità come variabili indipendenti sorge nella definizione della stessa lagrangiana $ L $, prima si usa l'equazione del moto, e prima si pensa di variare l'azione $ S: = \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ L $, e quindi non ha nulla a che fare con il calcolo della variazione.

I) Da un lato, consideriamo prima il ruolo della lagrangiana Sia dato un istante di tempo arbitrario ma fisso $ t_0 \ in [t_i, t_f] $. La lagrangiana (istantanea) $ L (q (t_0), v (t_0), t_0) $ è funzione sia della posizione istantanea $ q (t_0) $ che della velocità istantanea $ v (t_0) $ all'istante $ t_0 $. Qui $ q (t_0) $ e $ v (t_0) $ sono variabili indipendenti . Notare che la lagrangiana $ L (q (t_0), v (t_0), t_0) $ (istantanea) non dipende dal $ t<t_0 $ passato né dal $ t>t_0 $ futuro. (Si potrebbe obiettare che il profilo di velocità $ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $ è il derivata del profilo di posizione $ q: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $, quindi come possono $ q (t_0) $ e $ v (t_0) $ essere variabili veramente indipendenti? Il punto è che dall'equazione di moto è di 2 ° ordine, si ha ancora diritto di fare 2 scelte indipendenti delle condizioni iniziali: 1 posizione iniziale e 1 velocità iniziale.) Possiamo ripetere questo argomento per qualsiasi altro istante $ t_0 \ in [ t_i, t_f] \,. $

II) D'altra parte, consideriamo il calcolo della variazione. Il funzionale dell'azione $$ S [q] ~: = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f } \ mathrm {d} t \ L (q (t), \ dot {q} (t), t) \ tag {1} $$ dipende dall'intero percorso (forse virtuale) $ q: [t_i, t_f] \ a \ mathbb {R} $. Qui la derivata temporale $ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t} $ dipende dalla funzione $ q: [t_i, t_f ] \ to \ mathbb {R} \,. $ Estremizzare l'azione funzionale

\ begin {align} 0 ~ = ~ \ delta S ~ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t ), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta q (t) + \ left. \ frac { \ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta \ dot {q } (t) \ right] \\ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta q (t) + \ left. \ frac {\ partial L (q (t ), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ delta q (t) \ right] \\ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} - ​​\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left (\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} ( t)} \ right) \ right] \ delta q (t) \ end {align} $$ + \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ sinistra [\ sinistra. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ punto {q} (t)} \ delta q (t) \ right] \ tag {2} $$

con ap condizioni al contorno appropriate portano all ' equazione di Eulero-Lagrange, che è l' equazione del moto.

$$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left (\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ punto {q} (t)} \ right) ~ = ~ \ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ { v (t) = \ dot {q} (t)} ~. \ tag {3} $$

III) Nota che

$$ \ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t} ~ = ~ \ dot {v} (t) \ frac {\ partial} {\ partial v (t)} + \ dot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial q (t)} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ tag {4} $$

è una derivata temporale totale , non un esplicita derivata temporale $ \ frac {\ partial} {\ partial t} $, così che l'equazione di Eulero-Lagrange (3) è in realtà un'equazione differenziale ordinaria di 2 ° ordine (ODE),

$$ \ left (\ ddot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial v (t)} + \ dot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial q ( t)} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ right) \ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} ~ = ~ \ sinistra. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} ~. \ tag {5} $$

Per risolvere il percorso $ q: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $, si dovrebbero specificare due condizioni iniziali, ad es. ) ~ = ~ q_i \ qquad \ text {e} \ qquad \ dot {q} (t_i) ~ = ~ v_i. \ tag {6} $$

Non credo che la questione di trattare la posizione e la velocità come variabili indipendenti sorga nel contesto della Lagrangiana ma la Meccanica Lagrangiana è costruita perché le 2 sono indipendenti.
Posizione e velocità sono indipendenti.Dipendono esplicitamente solo dal tempo.Ovviamente dipendono implicitamente l'una dall'altra, ma per niente esplicitamente.Non puoi cambiare v solo cambiando x.Quando si modifica x si capisce che t cambia.È a causa di quel cambiamento in t che v cambia.Essenzialmente la derivata di parzialità di v con x è 0 ma la derivata di v con x non è 0. Ecco perché, penso che non applichiamo alcuna "regola della catena" qui!Perché comunque se otteniamo la stessa risposta della derivata parziale di v con x è 0 .......
Se pensi che le risposte attuali lascino alcune pietre non capovolte, considera di spiegare il problema (in modo autonomo) in una risposta separata.
#5
+7
Ben
2011-01-14 21:47:58 UTC
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Mentre è vero che la funzione $ \ dot {q} (t) $ è la derivata della funzione $ q (t) $ w.r.t. volta, non è vero che il valore $ \ dot {q} $ è affatto correlato al valore $ q $ in un dato momento, poiché un valore è solo un numero, non una funzione. L'azione è un funzionale di $ q (t) $, quindi non avrebbe senso variare l'azione sia rispetto a t. $ q $ e $ \ dot {q} $. Ma la lagrangiana $ L (q, \ dot {q}) $ è una funzione dei valori $ q $ e $ \ dot {q} $, non un funzionale delle funzioni $ q (t) $ e $ \ dot {q } (t) $. Possiamo promuovere $ L $ a una funzione del tempo se inseriamo $ q (t) $ e $ \ dot {q} (t) $ invece che solo $ q $ e $ \ dot {q} $. (Ricorda che un funzionale trasforma una funzione in un numero, ad es. $ S [q] $, mentre una funzione trasforma un valore in un numero, ad es. $ L (q, \ dot {q}) $.

Per risolvere per $ q (t) $, estendiamo l'azione $ S $, chiedendo che sia estrema in ogni punto, $ t $. Ciò equivale a risolvere le equazioni di Eulero-Lagrange in ogni punto $ t $. Poiché in qualsiasi momento $ t $ i valori $ q $ e $ \ dot {q} $ sono indipendenti, possono essere variati indipendentemente.

#6
+2
auxsvr
2014-04-03 12:29:02 UTC
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La derivata di una funzione $ f (t) $ è la funzione $ \ dot {f} (t) $ in generale diversa da $ f $, e nel caso generale le due non sono neppure linearmente dipendenti, il che è semplice da vedere se prendi l'espansione Taylor. È solo dopo aver definito le equazioni differenziali con esse che vengono collegate algebricamente, e questo è ciò che fa il calcolo delle variazioni.

#7
+2
jak
2019-12-29 15:53:16 UTC
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Se abbiamo una funzione $ f (x, v) $ , le derivate parziali sono definite da $$ \ frac {\ partial f (x, v)} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h, v) -f (x, v)} {h} $$ e $$ \ frac {\ partial f (x, v)} {\ partial v} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x , v + h) -f (x, v)} {h} $$ Ciò implica, ad esempio, per $ f = v ^ 2 $ che $$ \ frac {\ partial v ^ 2} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {v ^ 2-v ^ 2} {h } = 0. $$ Inoltre, per $ v = \ frac {dx} {dt} $ troviamo che $ x \ to x + h $ implica $ v = \ frac {dx} {dt} \ to v '= \ frac {d (x + h) } {dt} = \ frac {dx} {dt} = v $ . Quindi $$ \ frac {\ partial \ frac {dx} {dt} ^ 2} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ frac { dx} {dt} ^ 2- \ frac {dx} {dt} ^ 2} {h} = 0. $$ Quindi ha senso considerare le derivate parziali della lagrangiana rispetto a $ x $ e $ v $ separatamente e in questo senso trattarli in modo indipendente.


In termini più fisici, ricorda che il nostro obiettivo nel formalismo lagrangiano è quello di capire il percorso corretto nello spazio di configurazione tra due posizioni fisse. Un percorso è caratterizzato da una posizione e una velocità in ogni punto nel tempo. Siamo il più generali possibile e consideriamo davvero tutti i percorsi possibili. Ciò implica che consideriamo tutti i possibili accoppiamenti di posizioni e velocità. Il percorso fisico classico è speciale per due motivi:

  • è una soluzione dell'equazione di Eulero-Lagrange (= estremo dell'azione)
  • le posizioni e le velocità in ogni momento nel tempo sono correlate da $ v \ equiv \ frac {dq} {dt} $ .(Se vuoi, $ v \ equiv \ frac {dq} {dt} $ è la seconda equazione di cui abbiamo bisogno nel formalismo lagrangiano analogo a come ci sono due Hamiltonequazioni nel formalismo hamiltoniano. La seconda equazione di Hamilton definisce il momento canonico come una derivata della lagrangiana. Per percorsi generali nello spazio delle fasi, è possibile qualsiasi accoppiamento di posizione e quantità di moto. Solo per il percorso fisico classico troviamo valori di quantità di moto canonici che sonodato come la derivata appropriata della lagrangiana.)


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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