Considera il flusso attraverso un minuscolo segmento di una sfera. Poiché il campo elettrico è parallelo alla normale della superficie in tutti i punti, il flusso è semplicemente il campo elettrico a quella distanza moltiplicato per l'area dell'elemento.

Ora immagina di inclinare la parte superiore del cono di un angolo $ \ theta $ in modo che gli angoli si trovino ancora sulla sezione conica, come mostrato di seguito:

L'area aumenta di un fattore $ \ frac {1} {\ cos \ theta} $ , tuttavia il vettore del campo elettrico nella direzione normale $ E_n $ viene diminuito di un fattore $ \ cos \ theta $ . Pertanto il flusso attraverso questa superficie rimane invariato poiché il flusso è il prodotto della normale componente del campo elettrico e dell'area.

Ora immagina di dividere il cubo in molte di queste sezioni coniche. Chiaramente l'inclinazione delle superfici superiori di queste sezioni dovuta al fatto che si tratta di un cubo anziché di una sfera non influisce sul flusso che scorre attraverso ciascun elemento dell'area. Pertanto il flusso totale che scorre attraverso il cubo è lo stesso di una sfera.

Nota che questo era un adattamento semplificato da un capitolo di The Feynman Lectures on Physics che spiega perché le immagini non corrispondono esattamente alle mie spiegazioni dato che stavo solo parlando della superficie superiore della sezione conica essere inclinato. Feynman spiega l'effetto del flusso attraverso una superficie chiusa in un modo più completo.

Perché il flusso elettrico attraverso un cubo è uguale a quello del flusso elettrico attraverso un guscio sferico?

Questo non è vero solo per un cubo o una sfera. Il flusso che passa attraverso la superficie chiusa any che racchiude un addebito netto $ q $ è $ q / \ varepsilon_0 $ . Questo è basato sulla legge di Gauss per le cariche elettriche.

Quando le linee di campo emergono da una carica puntiforme uniformemente in tutte le direzioni, il flusso che passa attraverso qualsiasi superficie chiusa dipende dal numero relativo di linee di campo che entrano o escono dalla superficie. Per una carica all'interno della superficie, le linee di campo escono o entrano a seconda del fatto che la carica sia rispettivamente positiva o negativa. Per una carica esterna il numero netto di linee di campo che entrano o escono dalla superficie è zero e quindi il suo contributo di flusso è zero.

Quindi non importa se si tratta di una sfera o di un cubo (o anche di qualsiasi altra cosa), purché al suo interno si trovi una carica netta di $ q $ , il flusso totale che passa attraverso la superficie è $ q / \ varepsilon_0 $ . Inoltre, anche se è presente una sola carica, non è necessario che la carica sia al centro geometrico della superficie gaussiana.

Il flusso netto è lo stesso, ma questo non significa che il flusso sia uniforme.

Pensa a una situazione simile in cui metti una lampadina all'interno di un paralume chiuso. Il flusso netto è la quantità totale di luce che passa attraverso il paralume. Questo dipende solo dalla quantità di luce prodotta dalla lampadina, non dalla posizione della lampadina.

In altre parole, se puoi prendere una lampadina da 60 W e spostarla ovunque all'interno del tuo paralume (chiuso) e questo non cambierà la quantità totale di luce che passa attraverso il paralume. Ovviamente, a meno che tu non posizioni la lampadina esattamente al centro di un paralume sferico , la quantità di luce NON sarà uniforme su ogni superficie del tuo paralume, ma non la rete flusso, che è la somma totale della luce di tutta la luce sul paralume intero .

Nota che non ho discusso della forma del paralume o delle sue dimensioni. Il flusso netto è determinato dalla forza della sorgente, non dalla superficie attraverso la quale passa la luce.

Come è già stato sottolineato, il flusso netto su qualsiasi superficie chiusa è lo stesso e dipende solo dalla carica racchiusa.

Ciò non significa necessariamente che il flusso su una data area di superficie sarà lo stesso che hai scoperto confrontando il cubo con la sfera.Diminuisce man mano che ci si allontana dal centro di una faccia del cubo mentre è costante su tutta la superficie della sfera se la carica è al centro.

Ma il flusso totale si ottiene sommando (integrando) il flusso su tutta la superficie.Considera che per un cubo e una sfera dello stesso volume, l'area della superficie del cubo è maggiore dell'area della superficie della sfera.L'integrazione del flusso sulle due superfici dovrebbe produrre lo stesso valore.

Spero che questo aiuti

Se ne dubiti, mostra:

$$ F = 6 \ cdot 4 \ int_ {x = 0} ^ R \ int_ {y = 0} ^ R \ frac {\ frac {R} {\ sqrt {R ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2}}} {x ^ 2 + y ^ 2 + R ^ 2} dxdy = 4 \ pi $$

dove LHS è il flusso attraverso un cubo con lato $ 2R $ espresso come 6 volte l'integrale su 1 faccia e 1 faccia è 4 volte l'integrale su un quarto di riquadro e un quarto di riquadro si estende da $ 0 $ a $ R $ . L'integrando è $ \ cos {\ theta} / r ^ 2 $ . L'RHS è il flusso di $ \ hat r / r ^ 2 $ attraverso una sfera di qualsiasi raggio $ R $ span>.

$$ F = 24 \ int_ {x = 0} ^ R \ int_ {y = 0} ^ R \ frac R {(x ^ 2 + y ^ 2 + R ^ 2) ^ {\ frac 3 2}} dxdy $$

$$ F = 24 \ int_ {x = 0} ^ R \ big [\ frac {Ry} {(x ^ 2 + R ^ 2) \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + R ^ 2}} \ big] ^ R_ {y = 0} dx $$

$$ F = 24 \ int_ {x = 0} ^ R \ frac {R ^ 2} {(x ^ 2 + R ^ 2) \ sqrt {x ^ 2 + 2R ^ 2}} dx $$

$$ F = 24 \ big [ \ tan ^ {- 1} (\ frac x {\ sqrt {2R ^ 2 + x ^ 2}}) \ big] _ {x = 0} ^ R $$

$$ F = 24 \ tan ^ {- 1} (R / \ sqrt {3R ^ 2}) = 24 \ tan ^ {- 1} (\ frac 1 { \ sqrt 3}) = 24 \ times \ frac {\ pi} 6 = 4 \ pi $$

Q.E.D.

Dalla legge di Gauss $$ \ int \ vec {E} .d \ vec {s} = \ frac {q_ {in}} {\ epsilon_ {0}} $$

Quindi il flusso attraverso entrambe le superfici sarebbe uguale alla stessa carica all'interno di entrambe le superfici.

Se affrontiamo il problema attraverso l'integrale, hai interpretato male l'angolo tra il vettore dell'area e il campo elettrico nel caso del cubo.

Un buon modo per visualizzare il problema è immaginare prima che la carica sia racchiusa da una sfera.Disegna una piccola area sulla superficie della sfera, ane disegna linee dalla carica attraverso la piccola area.Quelle linee sono il flusso attraverso l'area.Ora immagina una sfera più grande concentrica con la prima.Le linee continue tracciano un'area della stessa forma sulla seconda sfera e le stesse linee passano attraverso quella seconda area.Ora deforma la seconda sfera in un cubo, ma lascia da parte le linee.Immagina l'area che le linee tracceranno sul cubo.Anche se la nuova area è inclinata rispetto all'area corrispondente sulla sfera, e la nuova area è distorta, tutte le stesse linee la attraversano.In altre parole, il flusso attraverso l'area (inclinata distorta da &) è lo stesso che era attraverso l'area corrispondente sulla sfera.L'operazione matematica è un'espressione di questo fatto.