L'unico modo per evitare gli armonici sarebbe pizzicare la corda in modo tale che la sua forma iniziale sia sinusoidale.Tuttavia, sarebbe quasi impossibile.In pratica, la forma iniziale è quasi sempre triangolare.

Se hai familiarità con le trasformate di Fourier, considera come faresti una discreta scomposizione di Fourier della forma iniziale della stringa.Le componenti di Fourier corrispondono agli armonici.

Gli automi di una stringa hanno forma spaziale sinusoidale $ f_m (x) = C_m \ sin (\ pi m x / L) $, dove $ x $ è la coordinata parallela e $ L $ è la lunghezza della stringa.Estrarre una stringa in una posizione fissa $ x_0 $ significa darle una perturbazione iniziale non sinusoidale, ad esempio, qualcosa come una funzione lineare a pezzi, $ f (x) = A x / x_0 $ per $ x \ le x_0 $ e$ f (x) = A (Lx) / (L-x_0) $ per $ x \ ge x_0 $.L'espansione della perturbazione iniziale $ f (x) $ in modalità automatica $ f_m (x) $ mostra quanto ciascuna armonica è eccitata inizialmente, in generale sarebbe uno spettro completo di modalità automatiche.

Inizi con una forma triangolare, che ha la sua serie di Fourier. Supponiamo che la forma iniziale sia $ f (x) $:

$$ f (x) = \ sum_n a_n \ sin \ frac {\ pi n x} {L} $$ dove $ n $ conta le modalità ($ 1 $ è fondamentale). Quindi la forma iniziale determina il contenuto armonico $ a_n $ di certe modalità. Se pizzichi nel mezzo, inserirai più della fondamentale nello spettro iniziale e in ogni modalità dispari, ma nessuna modalità pari. Se pizzichi verso la fine della corda (come su una chitarra), ottieni tutte le modalità, con le modalità più alte ancora meno prominenti.

Questa forma si evolve poi nel tempo. Ogni modalità ha una frequenza, correlata alla lunghezza d'onda:

$$ f (x, t) = \ sum_n a_n \ sin \ frac {\ pi n x} {L} \ cos \ omega_n t $$ $ \ omega_n $ è proporzionale a $ n $ (determinato da $ \ omega = kc $, dove $ k = 2 \ pi / \ lambda $ il vettore d'onda della modalità e $ c $ è la velocità di propagazione delle onde sulla stringa ).

Questo renderebbe il movimento completamente periodico e la forma ritornerebbe alla forma iniziale dopo un ciclo della frequenza fondamentale. Tuttavia, le vibrazioni vengono sempre smorzate: una piccola quantità irradiando il suono nell'aria e, principalmente, mediante conversione in calore (la corda non è perfettamente elastica). Le modalità a frequenza più alta sono sempre molto più smorzate: se richiedi vibrazioni ricci molto dettagliate, questo verrà smorzato molto perché la curvatura della corda è alta. Di solito, ottieni qualcosa del genere: $$ f (x, t) = \ sum_n a_n e ^ {- t / \ tau_n} \ sin \ frac {\ pi n x} {L} \ cos \ omega_n t $$

dove $ \ tau_n $ è il tempo di smorzamento caratteristico della modalità $ n $ esima. Si potrebbe dire che l'intensità delle componenti spettrali diminuisce più velocemente per gli armonici più alti e il tono sta diventando più sinusoidale. Le armoniche molto alte associate alla piega triangolare acuta nella posizione di pizzicamento producono solo un suono "plunk" e scompaiono quasi istantaneamente.

Lo smorzamento delle frequenze più alte ha sempre un effetto levigante sulla forma: con il tempo, la forma diventa arrotondata, senza spigoli vivi.

Non stai ascoltando la corda ma il corpo che risuona e la corda.Una chitarra acustica risuona con le sue corde pizzicate.Il colore del suono è determinato dalla sua formante, e ciò che senti come frequenza fondamentale può in effetti essere un multiplo di quella, sia con sottotono che armonici, a seconda del tipo di corpo risonante.I corpi risonanti di una chitarra e di un violoncello (per esempio) hanno formanti differenti e quindi risultano in un differente inviluppo spettrale e un diverso timbro, per la stessa frequenza fondamentale.