La tua affermazione

lavorare e sottrarre infiniti ... che in generale non hanno alcun significato matematico

non è propriamente corretta e sembra che abbia un malinteso comune in esso. Le difficoltà tecniche di QFT non vengono dall'infinito. In effetti, sin dall'inizio della matematica sono state utilizzate idee sostanzialmente equivalenti alla rinormalizzazione e regolarizzazione - si vedano, ad esempio, molti articoli di Cauchy, Euler, Riemann, ecc. Infatti, G.H. Hardy ha pubblicato un libro sull'argomento delle serie divergenti:

http://www.amazon.com/Divergent-AMS-Chelsea-Publishing-Hardy/dp/0821826492

Esiste persino un intero ramo della matematica chiamato "teoria dell'integrazione" (di cui cose come l'integrazione di Lebesgue è un sottoinsieme) che generalizza questi tipi di problemi. Quindi avere gli infiniti visualizzati non è affatto un problema, in un certo senso, si presentano per comodità.

Quindi l'idea che gli infiniti abbiano qualcosa a che fare con la creazione di assiomatici QFT non è corretta.

Il vero problema, da un punto di vista più formale, è che tu "vuoi" costruire QFT tramite una sorta di integrale di percorso. Ma il percorso integrale, formalmente (cioè per i matematici) è un integrale (nel senso generale che appare in argomenti come la "teoria dell'integrazione") su uno spazio funzionale LCSC a dimensione infinita dall'aspetto piuttosto patologico.

Cercando di definire una misura ragionevole su uno spazio funzionale di dimensione infinita è problematico (e le proprietà generali di questi spazi non sembrano essere particolarmente ben comprese). Incontri problemi come avere tutti gli insiemi ragionevoli "troppo piccoli" per avere una misura, preoccuparti delle misure di insiemi patologici e preoccuparti delle proprietà che la tua misura dovrebbe avere, preoccuparti se "$ \ mathcal {D} \ phi $" il termine è anche una misura, ecc ...

Nella migliore delle ipotesi, cercando di risolvere questo problema, ti imbatteresti in un problema come quello che hai nella definizione dell'integrale di Lebesgue, dove definisce l'integrale e costruisci alcune proprietà matematicamente interessanti, ma la maggior parte della sua utilità sta nel lasciarti abusare dell'integrale Riemann nel modo in cui volevi. In realtà il calcolo degli integrali dalla definizione dell'integrale di Lebesgue non è generalmente facile. Questo non è davvero sufficiente per attirare l'attenzione di troppi fisici, dal momento che abbiamo già una definizione che funziona, e conoscere tutte le sue proprietà formali sarebbe bello e ci direbbe sicuramente alcune cose sorprendenti, ma non è chiaro che sarebbe molto utile in generale.

Da un punto di vista algebrico, credo che si incontrino problemi nel cercare di definire prodotti divergenti di operatori che dipendono dallo schema di rinormalizzazione, quindi è necessario disporre di una famiglia di $ C ^ * $ - algebre che rispettano il flusso di gruppo di rinormalizzazione nel modo giusto, ma non sembra che le persone abbiano provato a farlo in modo ragionevole.

Da un punto di vista fisico, non Non importa niente di tutto ciò, perché possiamo parlare di rinormalizzazione e pretendere che le nostre risposte abbiano proprietà "fisicamente ragionevoli". Puoi farlo anche matematicamente, ma i matematici non sono interessati a ottenere una risposta ragionevole; quello che vogliono è un insieme di "assiomi ragionevoli" da cui derivano le risposte ragionevoli, quindi sono condannati a incontrare difficoltà tecniche come ho menzionato sopra.

Formalmente, tuttavia, si può definire la non interazione QFT e integrali di percorso quantomeccanico. Probabilmente è il caso che la definizione formale di un QFT sia alla portata di ciò che potremmo fare se lo volessimo davvero, ma non è solo un argomento convincente per le persone che capiscono come la rinormalizzazione aggiusti le soluzioni a quelle fisicamente ragionevoli (fisici), e il gli aspetti formali non sono abbastanza ben compresi da essere qualcosa per cui si potrebbe ottenere il formalismo "gratuitamente".

Quindi la mia impressione è che né i fisici né i matematici in genere si interessino abbastanza da lavorare insieme per risolvere questo problema, e non sarà risolto finché non potrà essere fatto "gratuitamente" come conseguenza della comprensione di altre cose.

Modifica:

dovrei anche aggiungere brevemente che CFT e SCFT sono matematicamente molto più accuratamente definiti, quindi una ragionevole alternativa alle idee classiche che ho citato sopra potrebbe essere quella di iniziare con un SCFT e definire una teoria generale dei campi come una sorta di "piccola" modifica di essa, eseguita in modo tale da mantenere ben definite le cose giuste.

Primo: non esiste una costruzione rigorosa del modello standard, rigoroso nel senso della matematica (e no, non c'è molta ambivalenza sul significato di rigore in matematica).

Questo è molto riferimenti che Daniel ha citato, cercherò di classificarli un po ':-)

Axiomatic (sinonimo: locale o algebrico) QFT cerca di formulare assiomi per Punto di vista di Heisenberg (gli stati sono statici, le osservabili sono dinamiche). Sono noti tre gruppi di assiomi:

• gli assiomi di Wightman,

• gli Assiomi di Haag-Kastler

• gli assiomi di Osterwalder-Schrader

Più o meno , gli assiomi di Wightman descrivono come i campi si relazionano alle osservabili, gli assiomi di Osterwalder-Schrader sono gli assiomi di Wightman per la teoria dei campi euclidei e gli assiomi di Haag-Kastler schivano completamente i campi e descrivono gli osservabili di per sé. Tutti e tre gli insiemi di assiomi sono più o meno equivalenti, il che significa che l'equivalenza è stata dimostrata, a volte con presupposti aggiuntivi che i fisici ritengono irrilevanti.

"PCT, Spin and Statistics, and All That" fu la prima introduzione agli assiomi di Wightman.

"Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras" è un'introduzione agli assiomi di Haag-Kastler, così come "Mathematical Theory of Quantum Fields".

"Perturbative Quantum Electrodynamics e Axiomatic Field Theory" è una descrizione della QED dal punto di vista degli assiomi di Haag-Kastler.

"Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory" riguarda la quantizzazione di date equazioni classiche in lo spirito di Haag-Kastler.

"Fisica quantistica: un punto di vista integrale funzionale" utilizza gli assiomi di Osterwalder-Schrader.

La teoria dei campi conformi 2D può essere assiomatizzata usando Osterwalder- Assiomi di Schrader, ad esempio.

Teoria dei campi quantistici funtoriali assiomatizza Schrödinge r punto di vista , vedi ad es. hnLab su FQFT.

Ciò include, ad esempio, le teorie dei campi quantistici topologici, che descrivono essenzialmente teorie con gradi di libertà finiti. Questo ramo ha avuto un grande impatto in matematica, specialmente per quanto riguarda la geometria differenziale, e qui per la teoria delle varietà lisce 3D e 4D. In questa categoria inserisco

Daniel S. Freed (Autore), Karen K. Uhlenbeck: "Geometry and Quantum Field Theory"

.

" Geometria e teoria quantistica dei campi "

Quantizzazione delle teorie dei campi classiche : si noti che gli approcci assiomatici non dipendono dalle teorie dei campi classiche che devono essere quantizzate, ma aprono le porte per una costruzione diretta di sistemi quantistici senza specchio classico. L'approccio Lagrangiano alla QFT è un esempio di ansatz che inizia con una teoria dei campi classica che deve essere quantizzata, per la quale possono essere usati mezzi diversi.

Ticciati: "Quantum Field Theory for Mathematicians" è in realtà un'introduzione abbastanza canonica alla Lagrangiana QFT, senza troppi indugi.

C'è molto materiale sulla geometria delle teorie classiche dei campi e varianti per quantizzarli, come la "quantizzazione geometrica".

Il libro Welington de Melo, Edson de Faria: "Mathematical Aspects of Quantum Field Theory" ne è un esempio.

Molto più avanzato è "Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians (2 voll)"

Per l'integrale del percorso ci sono due punti di vista:

• L'integrale del percorso - insieme alle regole di Feynman - è un dispositivo di contabilità per un gioco chiamato rinormalizzazione, che ti consente di calcolare i numeri secondo regole arcane,

• l'integrale del percorso è un costrutto matematico come una "misura" - ma non una misura nel senso della teoria della misura conosciuta oggi - che deve essere scoperta e definita in modo appropriato.

AFAIK non sono stati fatti molti progressi con il secondo punto di vista, ma ci sono persone che ci stanno lavorando, ad esempio gli autori del libro "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction". Puoi trovare molto altro materiale sulla teoria matematica degli integrali di percorso su nLab qui.

Ecco la mia risposta dal punto di vista della fisica della materia condensata:

La teoria quantistica dei campi è una teoria che descrive il punto critico e il vicino del punto critico di un modello reticolare (i modelli reticolari hanno una definizione rigorosa).

Quindi definire rigorosamente le teorie dei campi quantistici significa trovare il loro completamento UV.

Classificare le teorie quantistiche dei campi significa classificare tutti i possibili punti critici dei modelli reticolari, che è un progetto molto importante e molto difficile.

(Si può sostituire "modello reticolare" in quanto sopra con "modello regolato in modo non perturbativo")

Ci sono diversi libri che si avvicinano alla QFT (e / o alla teoria di Gauge) da diversi livelli di "rigore matematico" (per qualche definizione di "rigore matematico" - che Moshe approverebbe ;-).

Quindi, lascia che ti dia una sorta di "elenco preliminare" ... non è affatto completo e non è nemmeno in un ordine particolare, ma penso che possa aprire la strada a ulteriori lavori.

1. Fisica quantistica locale: campi, particelle, algebre;
2. PCT, rotazione e statistica e tutto ciò;
3. Elettrodinamica quantistica finita: l'approccio causale;
4. Elettrodinamica quantistica perturbativa e teoria dei campi assiomatica;
5. Teoria quantistica dei campi per matematici;
6. Teoria quantistica dei campi;
7. Aspetti matematici della Teoria quantistica dei campi;
8. Meccanica quantistica e teoria dei campi quantistici: una guida matematica;
9. Teoria dei campi quantistici I: Nozioni di base in matematica e fisica: un ponte tra matematici e fisici (v. 1 ) e Teoria dei campi quantistici II: elettrodinamica quantistica: un ponte tra matematici e fisici;
10. Teoria matematica degli integrali del percorso di Feynman: un'introduzione;
11. Introduzione alla teoria dei campi quantistica algebrica e costruttiva;
12. Fisica quantistica: un punto di vista integrale funzionale;
13. Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians (2 voll);
14. Geometry and Quantum Field Theory;
15. Teoria matematica dei campi quantistici.

In ogni caso ... c'è molto di più là fuori, non solo in termini di argomenti (rinormalizzazione, ecc.) ma anche in termini di articoli, libri e così via.

Quindi, c'è un sacco di "rigore matematico" in QFT (e la teoria delle stringhe, se è per questo), inclusi diversi 'livelli' di esso, che dovrebbero soddisfare e soddisfare gusti diversi .

PS: ci sono altri argomenti qui che trattano questo argomento in una forma o nell'altra, ad es. Teorema di Haag e calcoli QFT pratici. Quindi, non essere timido e dai un'occhiata in giro. :-)

Penso che tutto sia sufficientemente rigoroso quando lo fai secondo le regole matematiche.

Gli imbrogli iniziano quando dicono: "L'integrale della funzione delta al quadrato, sebbene sembri infinito, deve essere determinato dai dati sperimentali ". È solo divertente.

Una volta ho riscontrato un infinito simile in un problema più semplice ma esattamente risolvibile. Per prima cosa volevo fare delle rinormalizzazioni (determinando il valore integrale dai dati sperimentali) ma fortunatamente sono riuscito a scegliere una migliore approssimazione iniziale e diminuire le correzioni perturbative. Quindi il problema è nell'approssimazione iniziale. Se è buono , le correzioni perturbative sono piccole . Altrimenti sono grandi.

Ho anche trovato una spiegazione del perché a volte le sottrazioni (scartare le correzioni) funzionano. Dal mio punto di vista attuale, la QFT deve essere riformulata poiché è mal costruita. La QFT riformulata non ha bisogno di riparare le sue soluzioni in movimento.

La reputazione di QFT per l'utilizzo di metodi matematicamente non validi non è davvero meritata di questi tempi. Certamente, non tutto è sotto perfetto controllo analitico, ma la situazione non è molto peggiore di quanto non sia nella dinamica dei fluidi.

In particolare, la cosa della 'sottrazione di infiniti' non è realmente considerata un problema più. I matematici che l'hanno esaminata di recente (come Borcherds & Costello) sono sostanzialmente giunti alla conclusione che la teoria dei campi wilsoniana efficace risolve queste difficoltà. È possibile eseguire tutti i calcoli esclusivamente in termini di quantità "efficaci" a lunga distanza, che sono le cose che rimangono quando i fisici sottraono gli infiniti. Gli infiniti a breve distanza non presentano quindi un problema per la definizione delle funzioni di correlazione; non c'è nulla di incoerente nel formalismo integrale del percorso di base.

Questa è davvero la stessa conclusione a cui giunsero i teorici costruttivi del campo, studiando esempi di dimensioni inferiori negli anni '70 & 80s.

La sfida nella rigorosa QFT è affrontare le divergenze infrarosse. Se il tuo spaziotempo ha un volume infinito, il tuo sistema di campo può avere gradi di libertà di dimensioni arbitrariamente grandi. L'accoppiamento a questi gradi di libertà può darti infiniti. Ci sono veri problemi matematici qui, ma sono più come descrivere le soluzioni di un'equazione che descrivere l'equazione stessa. (Possono accadere cose davvero non banali. In QCD, ad esempio, c'è il confinamento: molte delle osservabili che ti aspetteresti ingenuamente siano integrabili rispetto alla misura dell'integrale del percorso, come l'osservabile che rappresenta un quark libero o un gluon - non lo sono. Invece, gli osservabili integrabili sono complicate miscele di quark e gluoni, come protoni, neutroni e glueball.) La maggior parte del lavoro pesante in Glimm & Jaffe, per esempio, non proviene dalla costruzione del 2d $ \ phi ^ 4 $ misura integrale del percorso, ma dal dimostrare che le sue funzioni di correlazione $ n $ punti esistono effettivamente.

Naturalmente, questo significa che la maggior parte dei calcoli di valori di aspettativa osservabili, come nella teoria di gauge su reticolo, non sono sotto stretto controllo analitico. La convergenza nella simulazione è per lo più una questione di buon giudizio, per ora.

Dire qualcosa in modo rigoroso su queste cose quasi certamente richiederà ai matematici una migliore presa sulla rinormalizzazione in contesti non perturbativi (cioè, sul reticolo ). Ci sono un buon numero di matematici che lavorano attivamente su queste cose. Geometri e topologi stanno diventando più sofisticati riguardo alla teoria topologica dei campi, mentre gli analisti hanno ripreso la teoria statistica dei campi.

Vorrei sottolineare che ci sono diversi problemi diversi che derivano da diversi punti di vista sull'argomento. Sarebbe molto complicato commentarli tutti, quindi lasciatemi limitare a uno in particolare.

Come prima osservazione, devo affermare che nessuno che lavora in matematica può avere dubbi su cosa significhi "rigoroso". Non commenterò questo dato che sembra che sia già stato spiegato in modo chiaro.

Riguardo alla tua domanda, vorrei affermare che la QFT non è una teoria "unica", ma un insieme di molte diverse che sono più meno correlate tra loro a causa di alcune descrizioni intrinseche. Ad esempio, il "comportamento" e la costruzione della teoria del campo scalare (reale o complesso) e della teoria di gauge è piuttosto differente. Questa è una sorta di conseguenza naturale del fatto che la Teoria dei Campi Classici (ClFT) (che è completamente rigorosa fino a un certo punto, anche se contiene ancora diversi problemi non banali) è anche una raccolta di molte teorie diverse, che condividono un generale descrizione, ma che hanno le loro particolari difficoltà: come impostazione particolare di ClFT possiamo ottenere la meccanica classica, l'elettromagnetismo o anche la teoria di gauge nonabeliana, ecc. Aggiungo anche che la filosofia generale alla base di ClFT appare, in un certo senso, come l'unica modo per costruire estensioni relativistiche della situazione libera, come una grande differenza con la meccanica classica, in cui è possibile aggiungere qualsiasi vincolo a una particella libera senza infrangere alcun principio fondamentale della teoria. Sto solo riformulando ciò che P. Deligne e D. Freed affermano nel primo volume di "QFT and Strings for Mathematicians", che è stato già menzionato.

Per quanto riguarda ora il problema della quantizzazione di ciascuna delle impostazioni particolari che potresti considerare in ClFT, ci sono diversi problemi da affrontare. Consentitemi di considerare due diversi aspetti del problema: QFT perturbativa e non perturbativa. Possiamo dire che la prima è (moralmente) un'ombra della seconda. Inoltre, la QFT perturbativa (pQFT) può essere sviluppata in modo matematicamente rigoroso in molte situazioni. Puoi vedere l'articolo di R. Borcherds in arXiv "Renormalization and quantum field theory" (anche se alcune delle idee erano già presenti in altri testi in letteratura e, secondo me, sono in agguato dietro alcune delle costruzioni e prove dell'autore, si vedano ad esempio gli articoli di O. Steinmann, presi in considerazione anche da R. Brunetti, K. Fredenhagen, ecc.). In questa situazione definisce in modo rigoroso un oggetto che si comporta come la misura di Feynmann ("tramite il teorema di Riesz"), e fornisce un resoconto molto completo di come il pQFT dovrebbe essere descritto in diverse situazioni. Il problema rimane comunque nel dare una corretta formulazione della QFT non perturbativa. Questo è un grosso problema, e sono state eseguite solo poche costruzioni rigorose fino alla dimensione 2 (anche la dimensione 3, ma davvero poche per quanto ne so. Sarebbe bello sentire gli esperti in questo punto). Puoi vedere il libro di J. Glimm e A. Jaffe "Fisica quantistica - un punto di vista integrale funzionale". In effetti, il problema principale si presenta quando si cerca di quantizzare la teoria di gauge, come una sotto-raccolta di situazioni di QFT. La mancanza di un quadro così generale significa in realtà che in realtà non sappiamo come sia realmente una teoria quantistica del misuratore di campo (o semplicemente è, se vuoi). In particolare (lo dichiaro perché alcune persone sostengono che quanto segue sia una conseguenza dell'avere solo una descrizione perturbativa), due principali affermazioni dei fisici sul modello standard (che sono in un certo senso correlate), il gap di massa e il confinamento dei quark, non sono provati (il primo infatti costituisce uno dei problemi del Premio Millennio). Inutile dire che nessuno degli argomenti euristici fisici è chiaramente sufficiente.