Domanda:
Rigore nella teoria quantistica dei campi
MBN
2011-03-09 02:57:25 UTC
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La teoria quantistica dei campi è un argomento ampio e ha la reputazione di utilizzare metodi matematicamente desiderabili. Ad esempio lavorare con e sottrarre infiniti o l'uso di integrali di percorso, che in generale non hanno significato matematico (almeno non ancora) ect. La mia domanda è un po 'vaga, ma mi interessa sapere qual è lo stato del rigore in QFT. Ciò che è noto per essere matematicamente rigoroso e coerente, ciò che è noto per non essere rigoroso? Eventuali esempi e riferimenti sono i benvenuti.

Aggiunto: Giusto per chiarire con rigoroso, intendevo tutto ciò che un matematico avrebbe trovato soddisfacente. Inoltre la mia domanda non era per i libri con un approccio rigoroso (in un certo senso), anche se è stato accolto con favore. Si trattava di esempi specifici di ciò che è considerato matematicamente soddisfacente e cosa no. Ad esempio, la quantizzazione dei campi liberi che soddisfano l'equazione di Klein-Gordon può essere eseguita rigorosamente. Non esiste una definizione matematica in generale dell'integrale di percorso di Feynman e così via.

la discussione qui riguarda ciò che è rigoroso.Stavo facendo un'altra domanda perché, * la matematica QFT spesso è solo euristica come le vecchie leggi, anche se è più elaborata *, QFT e associati affermano che forniscono LA soluzione definitiva (teorica).Comunque, bella domanda e belle risposte
Sette risposte:
#1
+36
Mr X
2011-03-09 06:20:47 UTC
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La tua affermazione

lavorare e sottrarre infiniti ... che in generale non hanno alcun significato matematico

non è propriamente corretta e sembra che abbia un malinteso comune in esso. Le difficoltà tecniche di QFT non vengono dall'infinito. In effetti, sin dall'inizio della matematica sono state utilizzate idee sostanzialmente equivalenti alla rinormalizzazione e regolarizzazione - si vedano, ad esempio, molti articoli di Cauchy, Euler, Riemann, ecc. Infatti, G.H. Hardy ha pubblicato un libro sull'argomento delle serie divergenti:

http://www.amazon.com/Divergent-AMS-Chelsea-Publishing-Hardy/dp/0821826492

Esiste persino un intero ramo della matematica chiamato "teoria dell'integrazione" (di cui cose come l'integrazione di Lebesgue è un sottoinsieme) che generalizza questi tipi di problemi. Quindi avere gli infiniti visualizzati non è affatto un problema, in un certo senso, si presentano per comodità.

Quindi l'idea che gli infiniti abbiano qualcosa a che fare con la creazione di assiomatici QFT non è corretta.

Il vero problema, da un punto di vista più formale, è che tu "vuoi" costruire QFT tramite una sorta di integrale di percorso. Ma il percorso integrale, formalmente (cioè per i matematici) è un integrale (nel senso generale che appare in argomenti come la "teoria dell'integrazione") su uno spazio funzionale LCSC a dimensione infinita dall'aspetto piuttosto patologico.

Cercando di definire una misura ragionevole su uno spazio funzionale di dimensione infinita è problematico (e le proprietà generali di questi spazi non sembrano essere particolarmente ben comprese). Incontri problemi come avere tutti gli insiemi ragionevoli "troppo piccoli" per avere una misura, preoccuparti delle misure di insiemi patologici e preoccuparti delle proprietà che la tua misura dovrebbe avere, preoccuparti se "$ \ mathcal {D} \ phi $" il termine è anche una misura, ecc ...

Nella migliore delle ipotesi, cercando di risolvere questo problema, ti imbatteresti in un problema come quello che hai nella definizione dell'integrale di Lebesgue, dove definisce l'integrale e costruisci alcune proprietà matematicamente interessanti, ma la maggior parte della sua utilità sta nel lasciarti abusare dell'integrale Riemann nel modo in cui volevi. In realtà il calcolo degli integrali dalla definizione dell'integrale di Lebesgue non è generalmente facile. Questo non è davvero sufficiente per attirare l'attenzione di troppi fisici, dal momento che abbiamo già una definizione che funziona, e conoscere tutte le sue proprietà formali sarebbe bello e ci direbbe sicuramente alcune cose sorprendenti, ma non è chiaro che sarebbe molto utile in generale.

Da un punto di vista algebrico, credo che si incontrino problemi nel cercare di definire prodotti divergenti di operatori che dipendono dallo schema di rinormalizzazione, quindi è necessario disporre di una famiglia di $ C ^ * $ - algebre che rispettano il flusso di gruppo di rinormalizzazione nel modo giusto, ma non sembra che le persone abbiano provato a farlo in modo ragionevole.

Da un punto di vista fisico, non Non importa niente di tutto ciò, perché possiamo parlare di rinormalizzazione e pretendere che le nostre risposte abbiano proprietà "fisicamente ragionevoli". Puoi farlo anche matematicamente, ma i matematici non sono interessati a ottenere una risposta ragionevole; quello che vogliono è un insieme di "assiomi ragionevoli" da cui derivano le risposte ragionevoli, quindi sono condannati a incontrare difficoltà tecniche come ho menzionato sopra.

Formalmente, tuttavia, si può definire la non interazione QFT e integrali di percorso quantomeccanico. Probabilmente è il caso che la definizione formale di un QFT sia alla portata di ciò che potremmo fare se lo volessimo davvero, ma non è solo un argomento convincente per le persone che capiscono come la rinormalizzazione aggiusti le soluzioni a quelle fisicamente ragionevoli (fisici), e il gli aspetti formali non sono abbastanza ben compresi da essere qualcosa per cui si potrebbe ottenere il formalismo "gratuitamente".

Quindi la mia impressione è che né i fisici né i matematici in genere si interessino abbastanza da lavorare insieme per risolvere questo problema, e non sarà risolto finché non potrà essere fatto "gratuitamente" come conseguenza della comprensione di altre cose.


Modifica:

dovrei anche aggiungere brevemente che CFT e SCFT sono matematicamente molto più accuratamente definiti, quindi una ragionevole alternativa alle idee classiche che ho citato sopra potrebbe essere quella di iniziare con un SCFT e definire una teoria generale dei campi come una sorta di "piccola" modifica di essa, eseguita in modo tale da mantenere ben definite le cose giuste.

Ho il libro di Hardy e lo cito contro quello che hai detto. (Semplicemente non ce l'ho con me). Hardy era un buon matematico e sapeva che il modo in cui scegli di "regolarizzare" una serie divergente influisce drasticamente sulla somma risultante. Il motivo per cui la QFT la fa franca è che c'è un presupposto di fondo che le funzioni coinvolte siano complesse e analitiche.
Sì, questo è parte di ciò che intendevo dicendo che vogliamo correggere le nostre risposte con soluzioni "fisicamente ragionevoli". Sebbene l'analitica complessa sia in realtà una proprietà dell'analiticità in generale troppo forte per noi, e hai bisogno di alcuni presupposti tecnici aggiuntivi per assicurarti che le cose siano "fisicamente ragionevoli". Ma preoccuparsi delle proprietà in termini di analiticità è problematico dal POV infinito dimensionale (si pensi alle proprietà topologiche e teoriche di misura dei sottoinsiemi analitici di questi spazi LCSC a dimensione infinita).
Inoltre, lo spazio dei percorsi su cui si integra è il moto browniano come quelli, che non sono differenziabili da nessuna parte. Ma incappi ancora in problemi perché spazi diversi da quello ovvio sono patologici;). Credo che tu possa avvicinarti alle ODE e alle PDE da questo punto di vista (non so se è stato fatto molto perché è una cosa piuttosto perversa da fare), ma pensarci solleva tutta una serie di problemi che sono solo peggio in questo caso da un POV analitico.
sintesi molto buona; anche se devo dire che trovo estremamente triste e scoraggiante quando sento i fisici brillanti dire cose del tipo "Dal punto di vista della fisica, non ci interessa niente di tutto questo, perché possiamo parlare di rinormalizzazione e chiedere che le nostre risposte hanno proprietà fisicamente ragionevoli ... ma i matematici non sono interessati a ottenere una risposta ragionevole ". Questo potrebbe essere giusto da una prospettiva numerica (forse numerologica?), Ma è la mentalità completamente sbagliata per cominciare. La coerenza matematica (o un percorso chiaro verso di essa) non è mai un lusso. Evitarlo lo è
Anche se, parlando come matematico, sento di doverti correggere: la frase corretta è * teoria della misura * non "teoria dell'integrazione".
#2
+20
Tim van Beek
2011-03-09 15:15:05 UTC
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Primo: non esiste una costruzione rigorosa del modello standard, rigoroso nel senso della matematica (e no, non c'è molta ambivalenza sul significato di rigore in matematica).

Questo è molto riferimenti che Daniel ha citato, cercherò di classificarli un po ':-)

Axiomatic (sinonimo: locale o algebrico) QFT cerca di formulare assiomi per Punto di vista di Heisenberg (gli stati sono statici, le osservabili sono dinamiche). Sono noti tre gruppi di assiomi:

Più o meno , gli assiomi di Wightman descrivono come i campi si relazionano alle osservabili, gli assiomi di Osterwalder-Schrader sono gli assiomi di Wightman per la teoria dei campi euclidei e gli assiomi di Haag-Kastler schivano completamente i campi e descrivono gli osservabili di per sé. Tutti e tre gli insiemi di assiomi sono più o meno equivalenti, il che significa che l'equivalenza è stata dimostrata, a volte con presupposti aggiuntivi che i fisici ritengono irrilevanti.

"PCT, Spin and Statistics, and All That" fu la prima introduzione agli assiomi di Wightman.

"Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras" è un'introduzione agli assiomi di Haag-Kastler, così come "Mathematical Theory of Quantum Fields".

"Perturbative Quantum Electrodynamics e Axiomatic Field Theory" è una descrizione della QED dal punto di vista degli assiomi di Haag-Kastler.

"Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory" riguarda la quantizzazione di date equazioni classiche in lo spirito di Haag-Kastler.

"Fisica quantistica: un punto di vista integrale funzionale" utilizza gli assiomi di Osterwalder-Schrader.

La teoria dei campi conformi 2D può essere assiomatizzata usando Osterwalder- Assiomi di Schrader, ad esempio.

Teoria dei campi quantistici funtoriali assiomatizza Schrödinge r punto di vista , vedi ad es. hnLab su FQFT.

Ciò include, ad esempio, le teorie dei campi quantistici topologici, che descrivono essenzialmente teorie con gradi di libertà finiti. Questo ramo ha avuto un grande impatto in matematica, specialmente per quanto riguarda la geometria differenziale, e qui per la teoria delle varietà lisce 3D e 4D. In questa categoria inserisco

Daniel S. Freed (Autore), Karen K. Uhlenbeck: "Geometry and Quantum Field Theory"

.

" Geometria e teoria quantistica dei campi "

Quantizzazione delle teorie dei campi classiche : si noti che gli approcci assiomatici non dipendono dalle teorie dei campi classiche che devono essere quantizzate, ma aprono le porte per una costruzione diretta di sistemi quantistici senza specchio classico. L'approccio Lagrangiano alla QFT è un esempio di ansatz che inizia con una teoria dei campi classica che deve essere quantizzata, per la quale possono essere usati mezzi diversi.

Ticciati: "Quantum Field Theory for Mathematicians" è in realtà un'introduzione abbastanza canonica alla Lagrangiana QFT, senza troppi indugi.

C'è molto materiale sulla geometria delle teorie classiche dei campi e varianti per quantizzarli, come la "quantizzazione geometrica".

Il libro Welington de Melo, Edson de Faria: "Mathematical Aspects of Quantum Field Theory" ne è un esempio.

Molto più avanzato è "Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians (2 voll)"

Per l'integrale del percorso ci sono due punti di vista:

  • L'integrale del percorso - insieme alle regole di Feynman - è un dispositivo di contabilità per un gioco chiamato rinormalizzazione, che ti consente di calcolare i numeri secondo regole arcane,

  • l'integrale del percorso è un costrutto matematico come una "misura" - ma non una misura nel senso della teoria della misura conosciuta oggi - che deve essere scoperta e definita in modo appropriato.

AFAIK non sono stati fatti molti progressi con il secondo punto di vista, ma ci sono persone che ci stanno lavorando, ad esempio gli autori del libro "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction". Puoi trovare molto altro materiale sulla teoria matematica degli integrali di percorso su nLab qui.

Pensavo che gli assiomi di Osterwalder-Schrader stessero descrivendo l'approccio integrale del percorso euclideo ... non l'immagine di Heisenberg. Inoltre, ci sono alcune ambiguità con la quantizzazione di un campo classico (anche nella meccanica quantistica, ci sono ambiguità nella procedura di quantizzazione; vedi, ad esempio, il teorema di Groenewald-van Hove "no-go").
#3
+13
Xiao-Gang Wen
2012-05-30 18:10:03 UTC
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Ecco la mia risposta dal punto di vista della fisica della materia condensata:

La teoria quantistica dei campi è una teoria che descrive il punto critico e il vicino del punto critico di un modello reticolare (i modelli reticolari hanno una definizione rigorosa).

Quindi definire rigorosamente le teorie dei campi quantistici significa trovare il loro completamento UV.

Classificare le teorie quantistiche dei campi significa classificare tutti i possibili punti critici dei modelli reticolari, che è un progetto molto importante e molto difficile.

(Si può sostituire "modello reticolare" in quanto sopra con "modello regolato in modo non perturbativo")

Grazie, puoi segnalare un articolo di esposizione / panoramica generale sui modelli reticolari e QFT. O qualsiasi altra fonte che possa darmi un'idea.
Questa è la stessa risposta di http://physics.stackexchange.com/questions/4068/formalizing-quantum-field-theory/29231#29231
Perché un QFT dovrebbe necessariamente occuparsi di punti critici?Non lo capisco né matematicamente né fisicamente.Il QFT di un isolante a banda dovrebbe essere sufficientemente ben definito
La teoria quantistica dei campi è una teoria che descrive il punto critico e il vicino del punto critico.
Il QFT di un isolante a banda è ben definito poiché ha un completamento UV.
#4
+9
Daniel
2011-03-09 07:25:54 UTC
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Ci sono diversi libri che si avvicinano alla QFT (e / o alla teoria di Gauge) da diversi livelli di "rigore matematico" (per qualche definizione di "rigore matematico" - che Moshe approverebbe ;-).

Quindi, lascia che ti dia una sorta di "elenco preliminare" ... non è affatto completo e non è nemmeno in un ordine particolare, ma penso che possa aprire la strada a ulteriori lavori.

  1. Fisica quantistica locale: campi, particelle, algebre;
  2. PCT, rotazione e statistica e tutto ciò;
  3. Elettrodinamica quantistica finita: l'approccio causale;
  4. Elettrodinamica quantistica perturbativa e teoria dei campi assiomatica;
  5. Teoria quantistica dei campi per matematici;
  6. Teoria quantistica dei campi;
  7. Aspetti matematici della Teoria quantistica dei campi;
  8. Meccanica quantistica e teoria dei campi quantistici: una guida matematica;
  9. Teoria dei campi quantistici I: Nozioni di base in matematica e fisica: un ponte tra matematici e fisici (v. 1 ) e Teoria dei campi quantistici II: elettrodinamica quantistica: un ponte tra matematici e fisici;
  10. Teoria matematica degli integrali del percorso di Feynman: un'introduzione;
  11. Introduzione alla teoria dei campi quantistica algebrica e costruttiva;
  12. Fisica quantistica: un punto di vista integrale funzionale;
  13. Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians (2 voll);
  14. Geometry and Quantum Field Theory;
  15. Teoria matematica dei campi quantistici.

In ogni caso ... c'è molto di più là fuori, non solo in termini di argomenti (rinormalizzazione, ecc.) ma anche in termini di articoli, libri e così via.

Quindi, c'è un sacco di "rigore matematico" in QFT (e la teoria delle stringhe, se è per questo), inclusi diversi 'livelli' di esso, che dovrebbero soddisfare e soddisfare gusti diversi .

PS: ci sono altri argomenti qui che trattano questo argomento in una forma o nell'altra, ad es. Teorema di Haag e calcoli QFT pratici. Quindi, non essere timido e dai un'occhiata in giro. :-)

Non c'è "abbondanza" di rigore matematico, poiché il lavoro rigoroso è una schifezza, a malapena capace di ripetere le cose che erano attuali negli anni '50. Un problema centrale è che i matematici sono stupidi riguardo alla definizione delle misure, quindi il campo della "teoria della misura" è sbagliato. Devono riossomatizzare il campo per rendere misurabile ogni insieme di reali prima di poter eseguire integrali di percorso, e non lo faranno, quindi sfortuna.
@RonMaimon Al giorno d'oggi, come sono i progressi?
#5
+6
Vladimir Kalitvianski
2011-03-09 23:24:41 UTC
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Penso che tutto sia sufficientemente rigoroso quando lo fai secondo le regole matematiche.

Gli imbrogli iniziano quando dicono: "L'integrale della funzione delta al quadrato, sebbene sembri infinito, deve essere determinato dai dati sperimentali ". È solo divertente.

Una volta ho riscontrato un infinito simile in un problema più semplice ma esattamente risolvibile. Per prima cosa volevo fare delle rinormalizzazioni (determinando il valore integrale dai dati sperimentali) ma fortunatamente sono riuscito a scegliere una migliore approssimazione iniziale e diminuire le correzioni perturbative. Quindi il problema è nell'approssimazione iniziale. Se è buono , le correzioni perturbative sono piccole . Altrimenti sono grandi.

Ho anche trovato una spiegazione del perché a volte le sottrazioni (scartare le correzioni) funzionano. Dal mio punto di vista attuale, la QFT deve essere riformulata poiché è mal costruita. La QFT riformulata non ha bisogno di riparare le sue soluzioni in movimento.

#6
+6
user1504
2012-06-29 04:45:45 UTC
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La reputazione di QFT per l'utilizzo di metodi matematicamente non validi non è davvero meritata di questi tempi. Certamente, non tutto è sotto perfetto controllo analitico, ma la situazione non è molto peggiore di quanto non sia nella dinamica dei fluidi.

In particolare, la cosa della 'sottrazione di infiniti' non è realmente considerata un problema più. I matematici che l'hanno esaminata di recente (come Borcherds & Costello) sono sostanzialmente giunti alla conclusione che la teoria dei campi wilsoniana efficace risolve queste difficoltà. È possibile eseguire tutti i calcoli esclusivamente in termini di quantità "efficaci" a lunga distanza, che sono le cose che rimangono quando i fisici sottraono gli infiniti. Gli infiniti a breve distanza non presentano quindi un problema per la definizione delle funzioni di correlazione; non c'è nulla di incoerente nel formalismo integrale del percorso di base.

Questa è davvero la stessa conclusione a cui giunsero i teorici costruttivi del campo, studiando esempi di dimensioni inferiori negli anni '70 & 80s.

La sfida nella rigorosa QFT è affrontare le divergenze infrarosse. Se il tuo spaziotempo ha un volume infinito, il tuo sistema di campo può avere gradi di libertà di dimensioni arbitrariamente grandi. L'accoppiamento a questi gradi di libertà può darti infiniti. Ci sono veri problemi matematici qui, ma sono più come descrivere le soluzioni di un'equazione che descrivere l'equazione stessa. (Possono accadere cose davvero non banali. In QCD, ad esempio, c'è il confinamento: molte delle osservabili che ti aspetteresti ingenuamente siano integrabili rispetto alla misura dell'integrale del percorso, come l'osservabile che rappresenta un quark libero o un gluon - non lo sono. Invece, gli osservabili integrabili sono complicate miscele di quark e gluoni, come protoni, neutroni e glueball.) La maggior parte del lavoro pesante in Glimm & Jaffe, per esempio, non proviene dalla costruzione del 2d $ \ phi ^ 4 $ misura integrale del percorso, ma dal dimostrare che le sue funzioni di correlazione $ n $ punti esistono effettivamente.

Naturalmente, questo significa che la maggior parte dei calcoli di valori di aspettativa osservabili, come nella teoria di gauge su reticolo, non sono sotto stretto controllo analitico. La convergenza nella simulazione è per lo più una questione di buon giudizio, per ora.

Dire qualcosa in modo rigoroso su queste cose quasi certamente richiederà ai matematici una migliore presa sulla rinormalizzazione in contesti non perturbativi (cioè, sul reticolo ). Ci sono un buon numero di matematici che lavorano attivamente su queste cose. Geometri e topologi stanno diventando più sofisticati riguardo alla teoria topologica dei campi, mentre gli analisti hanno ripreso la teoria statistica dei campi.

#7
+2
Estanislao
2012-06-28 21:11:03 UTC
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Vorrei sottolineare che ci sono diversi problemi diversi che derivano da diversi punti di vista sull'argomento. Sarebbe molto complicato commentarli tutti, quindi lasciatemi limitare a uno in particolare.

Come prima osservazione, devo affermare che nessuno che lavora in matematica può avere dubbi su cosa significhi "rigoroso". Non commenterò questo dato che sembra che sia già stato spiegato in modo chiaro.

Riguardo alla tua domanda, vorrei affermare che la QFT non è una teoria "unica", ma un insieme di molte diverse che sono più meno correlate tra loro a causa di alcune descrizioni intrinseche. Ad esempio, il "comportamento" e la costruzione della teoria del campo scalare (reale o complesso) e della teoria di gauge è piuttosto differente. Questa è una sorta di conseguenza naturale del fatto che la Teoria dei Campi Classici (ClFT) (che è completamente rigorosa fino a un certo punto, anche se contiene ancora diversi problemi non banali) è anche una raccolta di molte teorie diverse, che condividono un generale descrizione, ma che hanno le loro particolari difficoltà: come impostazione particolare di ClFT possiamo ottenere la meccanica classica, l'elettromagnetismo o anche la teoria di gauge nonabeliana, ecc. Aggiungo anche che la filosofia generale alla base di ClFT appare, in un certo senso, come l'unica modo per costruire estensioni relativistiche della situazione libera, come una grande differenza con la meccanica classica, in cui è possibile aggiungere qualsiasi vincolo a una particella libera senza infrangere alcun principio fondamentale della teoria. Sto solo riformulando ciò che P. Deligne e D. Freed affermano nel primo volume di "QFT and Strings for Mathematicians", che è stato già menzionato.

Per quanto riguarda ora il problema della quantizzazione di ciascuna delle impostazioni particolari che potresti considerare in ClFT, ci sono diversi problemi da affrontare. Consentitemi di considerare due diversi aspetti del problema: QFT perturbativa e non perturbativa. Possiamo dire che la prima è (moralmente) un'ombra della seconda. Inoltre, la QFT perturbativa (pQFT) può essere sviluppata in modo matematicamente rigoroso in molte situazioni. Puoi vedere l'articolo di R. Borcherds in arXiv "Renormalization and quantum field theory" (anche se alcune delle idee erano già presenti in altri testi in letteratura e, secondo me, sono in agguato dietro alcune delle costruzioni e prove dell'autore, si vedano ad esempio gli articoli di O. Steinmann, presi in considerazione anche da R. Brunetti, K. Fredenhagen, ecc.). In questa situazione definisce in modo rigoroso un oggetto che si comporta come la misura di Feynmann ("tramite il teorema di Riesz"), e fornisce un resoconto molto completo di come il pQFT dovrebbe essere descritto in diverse situazioni. Il problema rimane comunque nel dare una corretta formulazione della QFT non perturbativa. Questo è un grosso problema, e sono state eseguite solo poche costruzioni rigorose fino alla dimensione 2 (anche la dimensione 3, ma davvero poche per quanto ne so. Sarebbe bello sentire gli esperti in questo punto). Puoi vedere il libro di J. Glimm e A. Jaffe "Fisica quantistica - un punto di vista integrale funzionale". In effetti, il problema principale si presenta quando si cerca di quantizzare la teoria di gauge, come una sotto-raccolta di situazioni di QFT. La mancanza di un quadro così generale significa in realtà che in realtà non sappiamo come sia realmente una teoria quantistica del misuratore di campo (o semplicemente è, se vuoi). In particolare (lo dichiaro perché alcune persone sostengono che quanto segue sia una conseguenza dell'avere solo una descrizione perturbativa), due principali affermazioni dei fisici sul modello standard (che sono in un certo senso correlate), il gap di massa e il confinamento dei quark, non sono provati (il primo infatti costituisce uno dei problemi del Premio Millennio). Inutile dire che nessuno degli argomenti euristici fisici è chiaramente sufficiente.

I matematici sono molto sciocchi quando si tratta di "rigoroso" riguardo alla teoria della misura e questo è il motivo per cui sono bloccati. Il problema inizia quando devi assiomatizzare la teoria della misura per definire scelte casuali. Non dovrebbe esserci un duro lavoro nella definizione di una misura costruttiva (una raccolta che puoi fare su un computer, o un suo limite), ma c'è.
L'uso di aggettivi squalificanti è del tutto inutile e fuorviante, poiché le persone coinvolte qui sono in un certo senso irrilevanti, nel senso che ciò che è importante è oggetto di discussione (ovvero il rigore nella QFT). D'altra parte, gli assiomi della teoria della misura sono completamente chiari e ben noti anche a uno studente universitario di matematica del 2 ° / 3 ° anno. Non è questo il problema che stiamo affrontando. Ciò che viene menzionato qui è la (apparente) incapacità di (alcuni degli) attuali strumenti matematici di fornire una formulazione completa e corretta della QFT non perturbativa in generale.
La lingua è necessaria per far vergognare le persone per motivare il cambiamento. Gli "assiomi della teoria della misura" non sono il problema, il problema è che la teoria della misura coinvolta necessita di assiomi! Hai bisogno di un'algebra sigma sullo spazio e non esiste una semplice algebra sigma sullo spazio sconosciuto delle distribuzioni di campo a-priori. Ciò significa che le persone definiscono la misura in modo stupido e indiretto, mentre c'è un semplice risultato logico (teorema di Solovay) che garantisce che questo non sia affatto un problema. Restano altri problemi, ma la questione diventa l'analisi delle probabilità, la teoria della misura è banale.
Quello che intendo con questo è il seguente: "Una teoria dei campi quantistica libera: considera di scegliere ogni valore di trasformata di Fourier f (k) di una funzione casuale come una gaussiana con una varianza (specifica) $ \ sigma (k) $. Questo è il campo quantistico (tempo immaginario). " Ho appena definito campi quantistici liberi? Non per matematici, perché un algoritmo di selezione casuale, non importa quanto convergente, non definisce una misura. È necessaria un'algebra sigma per definire una misura. Non si può dire "la misura di un insieme è la probabilità che questa funzione casuale arrivi nell'insieme" perché questo ha senso solo in un universo Solovay.
Non sono sicuro di aver capito cosa cerchi di dire, perché nella mia limitata esperienza il Solovay thm (ulteriormente esteso da Krivine, Shelah, ecc.) È solo un modo per affermare che la costruzione di insiemi di Lebesgue non misurabili dipende dall'assioma della scelta . Tutti questi risultati sono tutt'altro che semplici secondo me. In ogni caso, questa discussione mi sembra in qualche modo fuorviante perché quali oggetti misurabili siano necessari non è completamente nascosto: le misure sono in un certo senso troppo restrittive e le prodistribuzioni sembrano oggetti molto più adattati, come studiato da P.Cartier e C. De Witt-Morette.
(2a parte) Infatti, entrambi gli autori hanno dimostrato che l'impostazione delle prodistribuzioni (generalizzando la situazione ristretta data da misure o anche promesse) fornisce le spiegazioni fisicamente desiderate se stiamo lavorando con la situazione piuttosto restrittiva (ma già interessante) dei percorsi. Vorrei sottolineare tuttavia quello che penso sia il problema principale non banale: anche se può essere data una formulazione teorica misurata di npQFT, deve comunque dare una risposta al problema del gap di massa o al confinamento dei quark, che sembra essere ( davvero molto) più di un semplice calcolo.
Sono completamente d'accordo che il problema non banale sta dimostrando le proprietà della misura, come il gap di massa, e che quello che sto dicendo sta focalizzando l'attenzione su qualcosa di più primitivo, e quindi potrebbe essere fuorviante dal punto principale. Ma sono sicuro che qualsiasi tecnica per dimostrare il gap di massa è quella che mostra che la teoria euclidea sta decadendo le funzioni di correlazione, e questo è qualcosa come un accoppiamento di probabilità che mette in relazione la distribuzione di probabilità sui campi su una regolarizzazione (reticolo) a quelli in una regolarizzazione più grossolana (reticolo) e prende il limite (rinormalizzazione).
Non sono d'accordo sul fatto che il teorema di Solovey sia "generalizzato" da Krivine e Shelah --- i risultati successivi servono come una cortina fumogena per rendere il risultato originale più difficile da digerire e mascherare la loro essenziale banalità (nella filosofia appropriata). L'essenza di Solovay è il _metodo_, non il risultato. La "forzatura casuale" di Solovay ti dice che, oltre ad essere incoerente con l'assioma della scelta su insiemi non numerabili, è del tutto coerente parlare di _picks_ casuali da una distribuzione di probabilità. Non c'è contraddizione nel dire "Scelgo il numero reale r in modo casuale e uniforme in [0,1]"
Questa idea è incoerente con l'esistenza di un insieme non misurabile, poiché un reale casuale ha una probabilità di atterrare in qualsiasi insieme pre-specificato. Questa probabilità definisce la misura di ogni sottoinsieme. Se definisci un processo per selezionare un campo scalare casuale su un reticolo (come per i campi liberi, scegli ogni componente di Fourier come gaussiano con la giusta varianza), e poi mostra che questo processo converge a scegliere una distribuzione nel limite di piccoli reticoli , hai definito una misura di selezione casuale in senso Solovay --- la misura è la possibilità che questa distribuzione casuale arrivi a S.
Non ho affermato che Shelah, Woodin, ecc.hanno generalizzato il risultato di Solovay, ma hanno esteso i risultati di Solovay, poiché hanno risposto a diverse domande che Solovay ha posto (o suggerito) nello stesso articolo riguardo alla necessità dell'ipotesi di cardinali inaccessibili . C'è una bella esposizione di J. Raisonnier se ti interessa.
Non volevo sminuire il lavoro di Shelah (o quello di Woodin). Il risultato di Shelah secondo cui hai bisogno di un grande cardinale, tuttavia, è spesso usato in modo propagandistico per far sembrare che il risultato di Solovay non sia sano al 100% (il grande cardinale coinvolto non può essere controverso --- è solo un po 'più forte piuttosto che affermare l'esistenza di un modello di ZFC), e questo è uno strumento di propaganda che impedisce ai matematici di accettare gli universi Solvay come l'universo _effettivo_ reale. Vivo in un universo Solovay, non mi preoccupo delle sigma-algebre e non voglio dover dire "Topos" per giustificare la probabilità.
La necessità di cardinali inaccessibili sta davvero dicendo che il processo in due fasi usato da Solovay per costruire la misura su tutti i sottoinsiemi è inevitabile, nonostante ciò che Solovay sospettava. Per prima cosa Solovay ha esteso un universo ZFC numerabile usando reali casuali, e questo dà misura a tutti i set nell'universo precedente, ma aggiunge un intero gruppo di nuovi set non misurabili, poiché la scelta è ancora valida nell'estensione, quindi elimina il non -insiemi misurabili nel nuovo modello. Il taglio richiede che tu abbia accesso a un modello di ZFC, e questo è un grande cardinale, ma un minuscolo indiscusso.
L'idea_ della dimostrazione è semplicemente che esiste un modo logicamente coerente di definire un nuovo reale a caso (quindi non in nessun modello numerabile corrente), e questo reale dà misura a tutto ciò che è precedente, solo per la probabilità di atterrarvi (questo molto era già noto a Cohen). Ma l'aggiunta di un nuovo reale confina con molti nuovi set, ma puoi scegliere un secondo reale casuale, e ancora una volta tutto ottiene una misura, ma aggiungi nuovi set, ecc. Il punto è che puoi terminare costantemente questo processo, qualcosa che è intuitivo ovvio, perché la scelta probabilistica è ovviamente coerente.
Una volta che sai che la probabilità è coerente, in modo da poter scegliere le cose a caso senza contraddizioni, puoi fare probabilità su qualsiasi insieme, anche un insieme di distribuzioni, semplicemente definendo un algoritmo che sceglie le distribuzioni a caso. I fisici usano questo implicitamente tutto il tempo, per costruire il modello di Ising su reticoli infiniti (per esempio) qualcosa che non è ovvio in matematica, perché hai bisogno di una ridicola costruzione di algebra sigma nel momento in cui il reticolo è infinito. Il bagaglio della teoria della misura è _oneroso_, ti impedisce di fare argomenti intuitivi sulla teoria dei campi.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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