Sì: sia la Terra che la Luna accelerano l'una verso l'altra tutto il tempo. Come dici tu, l'accelerazione della Luna è significativamente maggiore di quella della Terra. Entrambi i corpi, quindi, finiscono per seguire traiettorie per le quali l'accelerazione è sempre verso l'altro: quelle traiettorie, ovviamente, sono le orbite che prendono attorno a un punto comune, che è il baricentro della Terra. Sistema lunare. Questo è il centro di massa del sistema e per un sistema di masse a due corpi $ m_1 $ , $ m_2 $ la distanza del centro del corpo del $ i $ da esso è data da
$$ d_i = r \ frac {m_j} {m_i + m_j} $$
dove $ r $ è la separazione dei centri dei corpi, $ i, j \ in \ {1 , 2 \} $ e $ j \ ne i $ .
Se prendi il sistema Terra-Luna e presumi che l'orbita sia circolare (che è un'approssimazione piuttosto buona credo), allora per la Terra otteniamo $ d_1 \ approx 4671 \, \ mathrm {km} $ , che significa che la Terra è in orbita (e quindi sta accelerando verso) un punto più o meno lontano dal suo centro. Questo punto è all'interno della Terra, poiché il raggio della Terra è di circa $ 6371 \, \ mathrm {km} $ .
Al contrario, per il sistema Plutone-Caronte, il baricentro è al di fuori di Plutone e si può vedere chiaramente che i corpi orbitano attorno a un punto centrale comune: la pagina di Wikipedia per il baricentro ha un aspetto piuttosto carino piccola animazione composta da immagini di New Horizons che lo mostra.
"Accumulazione dell'accelerazione"
Volevo affrontare l'altra nozione, che l'accelerazione in qualche modo "si accumula". Questo è vero, nel senso che la velocità di qualcosa è l'integrale della sua accelerazione nel tempo:
$$ \ vec {v} (t) = \ vec {v} (t_0) + \ int \ limits_ {t_0} ^ t \ vec {a} (\ tau ) \, d \ tau $$
Ma la cosa fondamentale qui è che $ \ vec {v} $ & $ \ vec {a} $ sono vettori , il che significa che possiamo organizzare la vita in modo che questo integrale non diventi molto grande, anche se la grandezza dei vettori non è mai zero (anzi, anche se è costante ).
Quindi l'esempio ovvio è pensare a un'accelerazione come questa, in coordinate cartesiane in 2 dimensioni:
$$ \ vec {a} (t) = (a \ sin \ omega t + a \ cos \ omega t) $$
Possiamo integrarlo per ottenere $ \ vec {v} (t) $ (eliminando la costante di integrazione che possiamo tranquillamente fare in quanto implica un cambiamento di frame):
$$ \ vec {v} (t) = \ left (- \ frac {a} {\ omega} \ cos \ omega t, \ frac {a} {\ omega} \ sin \ omega t \ right) $$
E possiamo integrare di nuovo per ottenere la posizione, $ \ vec {p} (t) $ , abbandonando di nuovo la costante di integrazione che corrisponde a una scelta di origine delle coordinate:
$$
\ begin {align}
\ vec {p} (t)
& = \ left (- \ frac {a} {\ omega ^ 2} \ sin \ omega t, - \ frac {a} {\ omega ^ 2} \ cos \ omega t \ right) \\
& = - \ frac {1} {\ omega ^ 2} \ vec {a} (t)
\ end {align}
$$
Bene, ora, questo è movimento in un cerchio, ovviamente e, cosa più importante, la grandezza dell'accelerazione, $ | \ vec {a} (t) | = a $ : è costante. E la direzione di $ \ vec {a} (t) $ è sempre verso il centro del cerchio.
Questo è ciò che accade nei sistemi orbitanti: i corpi accelerano continuamente verso il baricentro del sistema e, se l'orbita è circolare, non si avvicinano mai ad essa e l'entità dell'accelerazione è costante (se le orbite sono ellittiche, si avvicinano ad & e si allontanano da esso e l'entità dell'accelerazione varia nel tempo.