Domanda:
Perché non è possibile derivare l'equazione di Schrödinger?
Heinrich Jensen
2020-01-16 07:36:06 UTC
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Onestamente, non capisco.La gente dice che è perché è un postulato.Ma, voglio dire, vedo persone che derivano l'equazione di Schrödinger con l'aiuto della funzione d'onda, $ T + U $ e differenziali parziali in tre coordinate spaziali e una coordinata temporale.Come non è una derivazione?E perché non è possibile derivare l'equazione di Schrödinger?

Pensavo potessi derivare un'equazione esatta, ma non per sistemi con più di due particelle.
Correlato: https://physics.stackexchange.com/q/142169/55751
Nove risposte:
#1
+174
knzhou
2020-01-16 07:55:46 UTC
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Una derivazione indica una serie di passaggi logici che inizia con alcuni presupposti e termina con il risultato desiderato. Quasi tutto può essere "derivato", a patto di variare le ipotesi. Quindi, quando le persone dicono "X non può essere derivato", intendono "al tuo attuale livello di comprensione, non c'è modo di derivare X che getti più luce sul perché X è vero, piuttosto che supponendolo".

Ad esempio, puoi "derivare" che lo slancio è $ p = mv $ ? Ci sono diverse possibili risposte.

  • Lo chiedi come studente di fisica introduttiva. Qualcuno potrebbe dire yes. Ad esempio, puoi iniziare dall'energia cinetica $ K = mv ^ 2/2 $ e quindi assumere $ K = p ^ 2 / 2m $ . Combinando queste equazioni e risolvendo per $ p $ si ottiene $ p = mv $ , quindi questa è una derivazione.
  • Lo chiedi come studente di fisica introduttiva. Qualcuno potrebbe dire no. La derivazione di cui sopra è solo una sciocchezza. Partire da $ K = p ^ 2 / 2m $ è fondamentalmente la stessa cosa che assumere il risultato finale, e se ti è permesso farlo, non è meglio di semplicemente prendendo $ p = mv $ per definizione. È come "derivare" $ 1 + 1 = 2 $ definendo $ 2 $ come $ 1 + 1 $ .
  • Lo chiedi come studente di meccanica avanzata. La maggior parte direbbe yes. Si parte dall'idea più profonda che le simmetrie siano correlate a quantità conservate, insieme alla definizione che la quantità di moto dovrebbe essere la quantità conservata associata alla simmetria traslazionale. Mettendoli insieme si ottiene il risultato.

Il punto è che puoi inventare una derivazione per qualsiasi cosa, ma potresti non essere in una fase della tua educazione in cui una tale derivazione è affatto utile. Se la derivazione funziona solo inventando ipotesi ad-hoc che sono fondamentalmente immotivate come ciò che stai cercando di dimostrare, allora non aiuta la comprensione. Alcune persone ritengono che questo sia vero per l'equazione di Schrödinger, anche se personalmente penso che le sue derivazioni elementari siano piuttosto utili. (Il classico è spiegato in una risposta successiva qui.)


C'è spesso confusione qui perché le derivazioni in fisica funzionano in modo molto diverso dalle dimostrazioni in matematica.

Ad esempio, in fisica, puoi spesso eseguire derivazioni in entrambe le direzioni: puoi usare X per derivare Y e anche Y per derivare X. Questo non è un ragionamento circolare, perché il reale il supporto per X (o Y) non è che possa essere derivato da Y (o X), ma che è supportato da alcuni dati sperimentali D.Questa derivazione a due vie ti dice quindi che se hai dati D che supportano X ( o Y), quindi supporta anche Y (o X).

Una volta che hai finito di mettere la matematica del liceo su basi rigorose, la matematica universitaria generalmente si sviluppa verso l'alto . Ad esempio, non puoi usare il teorema di Stokes per dimostrare il teorema fondamentale del calcolo, anche se tecnicamente lo sussume come un caso speciale, perché la sua dimostrazione dipende in primo luogo dal teorema fondamentale del calcolo. In altre parole, fintanto che le tue lezioni saranno rigorose, sarebbe molto strano sentire "non possiamo derivare questo importante risultato ora, ma lo otterremo il prossimo anno" - che sarebbe in pericolo di circolarità logica.

Questo non è il caso della fisica: la fisica universitaria generalmente si sviluppa verso il basso .Ogni anno impari una nuova teoria che include tutto ciò che hai appreso in precedenza come un caso speciale, che è logicamente completamente indipendente da quelle teorie precedenti.In realtà non hai bisogno di alcun risultato dalla meccanica classica per definire completamente la meccanica quantistica: è un nuovo livello costruito sotto la meccanica classica piuttosto che sopra di essa.Ecco perché le definizioni ora possono trasformarsi in cose derivate in seguito, una volta appreso il livello inferiore.E significa che, in pratica, i fisici devono indovinare il livello inferiore dato l'accesso solo al livello superiore;questo è il motivo fondamentale per cui la scienza è difficile!

Stai dicendo che è possibile utilizzare un insieme di idee / teoremi fino alla fisica avanzata in modo tale che nessuno di essi dipenda dall'accettare p = mv prima di derivarlo?
@Cell Certamente.Il punto è che man mano che approfondisci la fisica, gli strati più profondi sono logicamente indipendenti da quelli meno profondi (poiché puoi usarli per derivare quelli meno profondi), ma non sono concettualmente indipendenti (poiché non sono intuitivi senon capisci prima gli strati meno profondi).
@Cell Ciò significa precisamente che se conosci entrambi gli strati, puoi ricavare utilmente e rigorosamente lo strato più superficiale da quello più profondo, ma se conosci solo lo strato più superficiale, guardare una derivazione dallo strato più profondo porterà solo a maggiore confusione.
Non sono abbastanza informato per sapere se questo è vero in fisica, ma mi sembra fuorviante.Allo stesso modo in cui i matematici diranno che 1 + 1 è "definito" uguale a 2 da un assioma di fantasia.Ma per imparare la teoria degli insiemi avanzata o qualsiasi altra cosa, bisogna imparare l'aritmetica di base e accettare 1 + 1 = 2 come verità fondamentale.Altrimenti stai tagliando il ramo su cui ti trovi.
Sono per lo più d'accordo con questa risposta, ma vorrei cavillare con una cosa.Sembra che tu stia sottintendendo (forse involontariamente) che esiste un modo "migliore" unico di mettere insieme i fatti in modo tale che i fatti in qualsiasi strato possano essere derivati dagli strati più profondi, e il progresso della propria educazione fisica consiste nel comprendere il più avanzato /idee astratte a livelli sempre più profondi.Ma questa è una specie di semplificazione eccessiva.
Per prima cosa, in sorvola i ruoli mutevoli delle definizioni.Penso che la maggior parte degli studenti introduttivi direbbe che non puoi ricavare che lo slancio è $ mv $ perché è una * definizione *, non un postulato.Successivamente, viene introdotta una definizione "migliore" (cioè più generale o "elegante") di quantità di moto.Ma la stratificazione non è sempre unica: anche tra esperti uguali, spesso avrai due affermazioni equivalenti e gli esperti non saranno d'accordo su quale sia meglio pensare come definizione e quale è meglio pensare come corollario di quella definizione.
Infatti, a mio parere, il più grande spostamento concettuale dalla fisica delle scuole superiori / pre-medicina alla fisica "reale" è che la prima si concentra solo sul trasmettere fatti veri, mentre la seconda si occupa anche delle relazioni logiche tra quei fatti - chiaramentedistinguendo tra definizioni, postulati e teoremi.Ecco perché un primo corso di meccanica raramente risponde chiaramente alla domanda https://physics.stackexchange.com/questions/70186/are-newtons-laws-of-motion-laws-or-definitions-of-force-and-mass.
@tparker Sì, sono d'accordo con tutto ciò!Il mio esempio era troppo breve per mostrare chiaramente definizioni, postulati e teoremi separati, ma la distinzione dovrebbe assolutamente essere fatta.
"Più profondo" nel senso della fisica normalmente significa più generale / astratto, muovendosi nella direzione di diventare un concetto.Quindi, mentre la quantità di moto viene definita come velocità di massa * ha perfettamente senso a un livello, il concetto che la parola "quantità di moto" cerca di catturare (nelle discussioni avanzate) è diverso e quindi una quantità diversa che cattura questa essenza o gioca questo ruolo può assumerenome.Come "momento di cristallo", o anche "momento angolare".Quindi in fisica la definizione matematica di una cosa è suscettibile di revisione quando troviamo una buona ragione per cambiarla.Completamente diverso dalla matematica.
@Cell è vero il contrario.La teoria degli insiemi inizia senza presupposti aritmetici.
@OrangeDog Questo è ciò che dicono i matematici.Ma non ho mai sentito di nessuno che abbia imparato la teoria degli insiemi che non abbia mai imparato a contare prima da bambino.Possono dire di averlo ridefinito, ma non sono convinto che si possa capire intuitivamente cosa sia un insieme o anche un "oggetto" o un "oggetto" nello spazio fisico senza una precedente esperienza di enumerazione.
@Cell avere una conoscenza preliminare di qualcosa non è la stessa cosa che usarlo come assioma formale in una derivazione logica.
@OrangeDog Ecco perché ho usato la parola "intuitivamente" che ho usato per indicare informale / implicitamente.Ad esempio, ho cercato la definizione di addizione nella teoria degli insiemi su MathSE: mathSE / 15869 / how-is-addition-defined.Entrambe le risposte usano il simbolo dell'unione.Quindi cerco la definizione di unione nella teoria degli insiemi su wikipedia: wiki / Union_ (set_theory).C'è un bell'esempio dell'unione di due set con un'immagine.Ma aspetta un minuto, capisco solo l'esempio pittorico perché capisco che il set "1" è "un oggetto", "un cerchio" e 1 + 1 = 2 quindi ci sono 2 set.Ora lo uso per vedere come 1 + 1 è definito come 2.
@Cell tutto ciò non ha nulla a che fare con ciò che è una "derivazione".
Sì perché le derivazioni usano sempre implicitamente il risultato finale per mostrare come arrivare al risultato finale.
Un po 'correlato è questa (parte) dell'intervista con Richard Feynman: https://www.youtube.com/watch?v=P1ww1IXRfTA&t=14m56s
#2
+32
GiorgioP
2020-01-16 13:33:26 UTC
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Sebbene la risposta di knzhou sia un buon punto sottolineando la possibilità che ciò che viene preso come punto di partenza a livello introduttivo possa diventare una conseguenza di un principio più fondamentale, penso che ci sia un punto chiave che dovrebbe essere sottolineato più chiaramente.

In fisica, qualsiasi strumento concettuale che sviluppiamo deve essere radicato e la sua motivazione deriva dalla necessità di descrivere e prevedere ciò che accade nel mondo reale.

Ogni teoria che abbiamo, non è solo un'equazione ma si basa su alcune definizioni (sempre convenzionali; le definizioni possono essere utili o no, ma mai vere o false), su qualche apparato formale e su un insieme di principi che sono un modo conveniente per riassumere molte attività sperimentali.

Un'equazione come $ \ vec F = m \ vec a $ , all'interno della meccanica classica può essere presa come un principio (Newton) o potrebbe essere "derivata" da un punto di vista più geometrico, facendo riferimento a gruppi di trasformazioni su varietà simplettiche. Ma la cosa importante da non dimenticare è che si tratta di un'equazione all'interno di una teoria che descrive il comportamento dinamico dei corpi macroscopici in un certo insieme di condizioni.

Al di là della gamma di applicabilità della meccanica classica, nel gioco entra in gioco una nuova fisica. Nuova fisica significa che alcune scoperte sperimentali non sono più descritte dalle equazioni di Newton (indipendentemente se assunte come principi o derivate da un approccio più generale) e si deve trovare una nuova teoria.

È questo passaggio da una teoria (o meglio da un insieme di teorie equivalenti) a un altro insieme che è il passaggio irriducibile che giustifica l'affermazione che l'equazione di Schrödinger non può essere derivata .Per essere più precisi, si può derivare l'equazione di Schrödinger, se on assume come punto di partenza un'equazione equivalente .Ma non può essere derivato da punti di partenza che non sono coerenti con la meccanica quantistica.Ad esempio, non c'è modo di dedurre l'equazione di Schrödinger dalla meccanica classica.Il meglio che si può fare è riformulare la meccanica classica nella forma più vicina alla meccanica quantistica, ma a un certo punto deve apparire una differenza concettuale chiave, giustificata dagli esperimenti.Senza questo, la fisica sarebbe una branca della matematica.

#3
+28
Steven Sagona
2020-01-17 04:50:00 UTC
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Una prospettiva leggermente diversa rispetto ad altre risposte:

Una volta frequentavo uno strano corso di fisica come studente universitario, dove un vecchio professore di 90 anni borbottava tra sé mentre disegnava terribilmente su un tablet collegato a un proiettore. Tutti avrebbero ricevuto A di default così nessuno avrebbe prestato attenzione, infatti alcuni giorni sarei stato l'unico a presentarmi, ma questa era "Fisica moderna", e volevo essere un fisico quindi ho prestato attenzione, cercando di imparare qualunque cosa potessi.

Una cosa che non dimenticherò mai:

il vecchio professore ha detto che tutti dicono ad che l'equazione di Schrodinger è un assioma, ma in realtà puoi derivarlo!

Se ti immagini nei panni di Schrödinger. Gli esperimenti stanno dimostrando che le cose con la materia hanno proprietà simili a quelle delle onde. Esistono equazioni del moto che descrivono il "comportamento ondulatorio"? Sappiamo come funzionano alcune onde nella meccanica classica. Ora, tipicamente nella classica E&M, eliminiamo la parte immaginaria di $ e ^ {ik - \ omega t} $ per lavorare con $ \ cos (\ omega t) $ , ma cosa succede se mantieni semplicemente la parte immaginaria dell'onda piana?

Se inizi con un'onda piana:

$ \ Psi = e ^ {i (k z - \ omega t)} $ e trovi la sua derivata

$ \ frac {d \ Psi} {dt} = -i \ omega e ^ {i (k z + \ omega t)} $

se usi l'idea di Einstein che l'energia sia quantizzata in pacchetti di energia (cioè che E = hf $ \ implica f = E / h \ implica \ omega = E / \ hbar $ ) questo diventa:

$ \ frac {d \ Psi} {dt} = -i \ frac {E} {\ hbar} e ^ {i (pz - \ omega t)} $

Dove abbiamo lo stesso piano prima, ma stiamo solo etichettando k come la quantità di moto p. Questo diventa immediatamente

$ i \ hbar \ frac {d \ Psi} {dt} = E \ Psi $

e poiché l'Hamiltoniano rappresenta l'operatore energetico totale, possiamo fare questo:

$ i \ hbar \ frac {d \ Psi} {dt} = H \ Psi $

Che è esattamente l'equazione di Schrödinger!

Ora questo contraddice ciò che dice anche Feyman: "Da dove abbiamo preso quella (equazione)? Da nessuna parte. Non è possibile derivarla da qualcosa che conosci. È venuto fuori dalla mente di Schrödinger."

Ero curioso dopo le lezioni e gli ho fatto alcune domande su questo. Non importa cosa non c'è, deve sempre esserci un assioma! Ha risposto dicendo che sì, ci deve essere un punto di partenza, ma è così che immagina che Schrodinger lo abbia inventato, poiché questo è un modo molto semplice e naturale per ottenerlo usando la conoscenza dell'epoca.

Per me la cosa straordinaria di questa "derivazione" è che devi solo iniziare con due cose:

  1. Lo stato in cui stai osservando ha la forma di un'onda piana: $ \ Psi = e ^ {i (k z - \ omega t)} $
  2. E quell'energia viene quantizzata in pacchetti: $ E = h f $

E questo è tutto! Non hai nemmeno bisogno dell ' ipotesi di de Broglie!

EDIT: Alcune persone sono curiose del perché l'hamiltoniano dell'equazione di Schrödinger abbia una forma così strana: H = $ \ nabla ^ 2/2 + V (x) $ Anche questo è molto semplice, devi solo inserire la definizione dell'operatore di quantità di moto nell'equazione per l'hamiltoniano (che classicamente è solo energia cinetica + energia potenziale)

$ H = \ frac {p ^ 2} {2 m} + V (x) $

$ p = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} $

$ H = - \ frac {\ nabla ^ 2} {2 m} + V (x) $

È così semplice!

Ora, se sei anche curioso di sapere da dove viene $ p = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} $ , anche questo è semplice . Per le onde classiche, il valore "k" è considerato la quantità di moto. Quindi, se facciamo quello che abbiamo fatto prima, ma ora troviamo la derivata rispetto alla posizione anziché al tempo:

$ \ frac {d \ Psi} {dz} = i \ frac {p} {\ hbar} e ^ {i (kz - \ omega t)} $ span>

$ \ frac {d \ Psi} {dz} = i \ frac {p} {\ hbar} \ Psi $

$ - i \ frac {d \ Psi} {dz} = \ frac {p} {\ hbar} \ Psi $

$ p \ Psi = (-i \ hbar \ frac {d} {dz}) \ Psi $

Ciò suggerisce che ogni volta che utilizzi $ p \ Psi $ puoi sostituirlo con $ (- i \ hbar \ frac {d} {dz}) \ Psi $ , ed è per questo che la gente dice "L'operatore momentum è $ (- i \ hbar \ frac {d} {dz}) $ nella base della posizione. "

È esattamente così che inizia Schiff.
Ma allora la domanda è perché l'operatore di Hamilton rappresenta l'energia in un sistema e perché per una particella in un potenziale (che è l'equazione di Schrödinger originale) dovrebbe assumere la forma piuttosto strana $ \ frac {\ Delta ^ 2} {2m}-V (x) I $.
In realtà Feynman spende una quantità significativa del volume 3 per rendere 'plausibile' l'equazione di Schrödinger (per me è una derivazione)
#4
+5
my2cts
2020-01-16 16:41:31 UTC
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Inizia con la classica espressione energetica non relativistica.Facciamo l'ipotesi di De Broglie che la materia, non solo la luce, possa essere descritta dalle onde.Di conseguenza identifica E con $ \ frac {\ hbar} {i} \ partial_t $ e simili per P. Ecco l'equazione di Schrödinger.

#5
+5
Tom
2020-01-16 21:53:40 UTC
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Le equazioni non sono "derivate" in modo completamente rigoroso in fisica poiché la derivazione utilizza sempre la fisica in alcuni o tutti i suoi passaggi chiave. Anche i fisici hanno accesso a strumenti a cui i matematici non hanno accesso perché non richiedono il pieno rigore nella loro derivazione: gli integrali di percorso di Feyman sono un ottimo esempio.

Ad esempio, nella derivazione dell'equazione di Klein-Gordon un passaggio chiave è prendere la radice quadrata e quindi mantenere solo la radice positiva anche se la funzione radice quadrata è multivalore, ma questo è fisicamente ragionevole in quanto la radice quadrata negativa rappresenterebbe una soluzione di energia negativa. Questo è il motivo per cui non sono davvero sicuro di come mi sento riguardo ai tentativi di prendere teorie fisiche e ridurle a una forma completamente assiomatica, poiché potrebbe non essere sempre possibile o addirittura utile.

La domanda dipende anche da cosa intendi per derivazione. La derivazione delle equazioni di Einstein dall'identità differenziale di Bianchi coinvolge alcuni presupposti fisici chiave e quindi presumibilmente non è una derivazione "reale" ai tuoi occhi, ma quelle stesse equazioni possono essere derivate prendendo una variazione dell'azione di Einstein-Hilbert e potresti sostengono che questa derivazione è legittima in quanto si basa sul calcolo standard delle variazioni. Questo tipo di derivazione è fondamentale nella fisica teorica moderna e risale a Noether (forse il concetto più importante nella fisica teorica).

#6
+3
Evans
2020-01-19 14:41:47 UTC
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Potresti guardare l'articolo originale di Schrödinger in cui introduce l'equazione. In realtà è scritto molto bene.

E.Schrödinger, An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, Physical Review (1926) Vol. 28, n. 6 pagg. 1049-1070

Come le persone hanno sottolineato, è necessario fare alcune ipotesi per derivare l'equazione. L'approccio di Schrödinger era quello di dire: in ottica possiamo modellare la luce mediante onde (ottica ondulatoria) o raggi luminosi (ottica geometrica); l'ottica geometrica può essere ottenuta come un'approssimazione della lunghezza d'onda corta della teoria ondulatoria sottostante. La formulazione di Hamilton dell'ottica geometrica è in realtà molto simile alla sua successiva formulazione della meccanica classica, quindi Schrödinger stava cercando una teoria delle onde (dispersiva) sottostante che producesse la meccanica classica come limite di lunghezza d'onda corta.

Nella meccanica hamiltoniana / lagrangiana, esiste una quantità chiamata azione principale W: fissa un punto base x, quindi per ogni y, W (y) è l'integrale della lagrangiana lungo una traiettoria di minimizzazione dell'azione da x a y. Questa funzione soddisfa l'equazione di Hamilton-Jacobi $ \ partial W / \ partial t = -H $ . Se il tuo sistema è autonomo (H è indipendente da t), ottieni $ \ partial ^ 2 W / \ partial t ^ 2 = 0 $ quindi $ W = -Ct + S (x, y, z) $ per alcune costanti C e alcune funzioni S.

Nell'ottica ondulatoria, le onde soddisfano l'equazione delle onde (possibilmente dispersiva).Per arrivare all'ottica geometrica, si finisce per guardare le onde $ e ^ {iW} $ , dove W è "eikonal", una funzione in ottica geometrica che riproducestesso ruolo dell'azione principale nella meccanica hamiltoniana.Quindi Schrödinger immaginò che l'equazione delle onde della meccanica quantistica dovesse essere l'equazione delle onde dispersive con la relazione di dispersione scelta per garantire che $ e ^ {iW} $ fosse una soluzione, doveW è l'azione principale.L'identificazione della costante C con $ E / \ hbar $ viene quindi effettuata per coerenza con Einstein / Planck / de Broglie.

Ho scritto un post sul blog più dettagliato su questo argomento nel 2012:

http://jde27.uk/blog/why-schrodinger.html

ma invece consiglio di leggere l'articolo di Schrödinger!

Penso che ci vorrà molto tempo per capire il tuo post sul blog, ma è molto interessante vedere come l'ha inventato Schrodinger.Non sono riuscito a seguire tutto con una semplice lettura, ma sembra piuttosto interessante.Grazie per il contributo.
#7
+1
Daisuke Aramaki
2020-01-19 01:22:11 UTC
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Le equazioni differenziali parziali derivano dai principi di base della fisica, come la conservazione dell'energia o la quantizzazione dell'energia. Non sono assiomi. Preferisco iniziare con l'hamiltoniano e il principio di minima azione tramite il calcolo delle variazioni, che è davvero assiomatico.

PDE ha un numero infinito di soluzioni. Quelli fisicamente ragionevoli vengono scelti assumendo condizioni al contorno e iniziali. Per l'equazione di Schrodinger, queste sono solitamente ipotesi sul comportamento in campo lontano e queste ipotesi devono essere fisicamente ragionevoli, ovvero non possono violare ciò che sappiamo dagli esperimenti.

I presupposti fisici sono assiomi? Questa è la differenza fondamentale tra matematica pura e applicata o fisica matematica: quest'ultima riconosce che i presupposti fisici non possono essere ignorati e sono in un certo senso assiomi. Direi che le ipotesi fisiche possono essere utilizzate nelle dimostrazioni come assiomi e non compromettono il rigore. I matematici puri probabilmente non sarebbero d'accordo con me.

La derivazione dell'onda piana sopra è un'ipotesi sul comportamento in campo lontano delle soluzioni dell'equazione di Schrodinger. E data l'affermazione "... poiché questo è un modo molto semplice e naturale per ottenerlo usando la conoscenza dell'epoca", l'affermazione del professore risponde all'obiezione di Feyman in modo del tutto naturale. Le onde piane erano molto conosciute ai tempi di Schrodinger dalla ben studiata equazione delle onde. La chiave è che Schrodinger si rese conto che l'equazione descriveva fenomeni diversi dalle onde piane. Risponde chiaramente al "da dove viene l'equazione".

#8
+1
Aiman Al-Eryani
2020-01-19 03:28:25 UTC
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Supponi di aver concluso dopo aver visto l'esperimento della doppia fenditura che la posizione di una particella è in una sovrapposizione (lineare) di tutte le posizioni:

$$ | {\ psi} \ rangle = \ sum_i \ psi_i | x_i \ rangle \ xrightarrow [\ text {cont. limit}] {} \ int \ mathrm {dx} \ \ psi (x) | x \ rangle $$

tale che il quadrato assoluto di $ \ psi (x) $ dia la distribuzione di probabilità di trovare la particella in $ x $ (la regola Born): $$ \ rho (x) \ equiv \ psi ^ * (x) \ psi (x) = | \ psi (x) | ^ 2 $$

In effetti, se i coefficienti $ \ psi (x) $ sono complessi, ottieni termini di interferenza che sono in accordo con l'esperimento ( $ | \ psi (x) + \ phi (x) | ^ 2 = | \ psi (x) | ^ 2 + | \ phi (x) | ^ 2 + 2 \ Re {(\ psi ^ * ( x) \ phi (x)}) $ ). Le distribuzioni di probabilità devono essere normalizzate, il che significa che i vettori di stato devono essere normalizzati: $$ \ quad \ || \ psi \ rangle \ | = \ langle \ psi | \ psi \ rangle = \ int \ mathrm {dx} \ \ mathrm {dx '} \ \ psi ^ * (x) \ psi (x') \ underbrace {\ langle x | x '\ rangle } _ {\ delta_ {x ', x}} = \ int \ mathrm {dx} \ \ rho (x) = 1 $$

Per definire le dinamiche, c'è un'operazione che evolve il sistema nel tempo: $$ | \ psi \ rangle (t_1) \ xrightarrow {U} | \ psi \ rangle (t_2) $$ Poiché gli stati sono ora vettori, questa operazione deve rispettare la struttura dello spazio vettoriale; ovvero $ U $ deve essere un operatore lineare. Inoltre, deve rispettare che $ \ rho (x) $ è una distribuzione di probabilità: $$ | \ psi \ rangle (t_2) = U | \ psi \ rangle (t_1), \ quad \ langle \ psi | U ^ * U | \ psi \ rangle \ overset { !} {=} \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1 \ iff U ^ * U = \ mathbb {1} $$ cioè non importa cosa siano $ t_1 $ e $ t_2 $ , $ U $ dovrebbe essere unitario. In generale, un operatore unitario può essere scritto nella forma: $$ U = e ^ {A} $$ dove $ A $ è un operatore anti-hermitiano: $$ A ^ * = -A $$ Infatti, $ U ^ * U = e ^ {A ^ * + A} = e ^ 0 = \ mathbb {1} $ . Un operatore anti-hermitiano è l'unità immaginaria moltiplicata per un operatore hermitiano: $ A = i K $ . Adesso: \ begin {align *} | \ psi \ rangle (t) & = U | \ psi \ rangle (t_0) \\ & = e ^ {iK} | \ psi \ rangle ( t_0) \\ \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ psi \ rangle (t) & = \ frac {\ partial} {\ partial t} e ^ {iK} | \ psi \ rangle (t_0) = i \ frac {dK} {dt} e ^ {iK} | \ psi \ rangle (t_0) = i \ frac {dK} {dt} | \ psi \ rangle (t) \\ \ implica -i \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ psi \ rangle (t) & = \ frac {dK} {dt} | \ psi \ rangle (t) \ end {align *} span > Identificando l'operatore hermitiano $ H \ equiv \ frac {1} {\ hbar} \ frac {dK} {dt} $ con l'hamiltoniano, ottieni l'equazione di Schrödinger.

In parole fantasiose, le equazioni e la matematica della MQ possono essere derivate naturalmente se si ammette che i gruppi di simmetria in natura (gruppo di Poincaré) dovrebbero essere trattati attraverso una rappresentazione unitaria (equazione S.E. dalle traduzioni del tempo, come abbiamo visto sopra). Woit's affronta questo aspetto magnificamente nel suo libro "Quantum Theory, Groups and Representations" (disponibile gratuitamente) ".

l'operatore di evoluzione è $ e ^ {iH \ color {red} {t}} $.
Si è verificato un errore, ma non è quello che volevo scrivere (l'operatore di evoluzione è $ \ mathrm {T} e ^ {i \ int \ mathrm {dt} H} $).
#9
  0
Charles Francis
2020-03-29 14:18:45 UTC
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Come altri hanno detto, una derivazione significa una derivazione da postulati o assiomi. I postulati possono essere motivati ​​(come per esempio nel trattamento originale di Schrödinger), ma non possono essere derivati. Quindi, la domanda è davvero "quali assiomi sono necessari per un trattamento matematico della meccanica quantistica; l'equazione di Schrödinger è un assioma o è un teorema?"

I libri di testo di solito sono più interessati all'applicazione pratica che alla struttura matematica e generalmente trattano Schrödinger come un postulato, ma in realtà è un teorema e può essere derivato dagli assiomi di Dirac – von Neumann. Uno schema della derivazione è fornito in Derivazione dell'equazione di Schrödinger. Ho fornito derivazioni dettagliate in The Hilbert Space of Conditional Clauses e in A Construction of Full QED Using Finite Dimensional Hilbert Space

Il postulato chiave è che le probabilità sono date dalla regola Born (o le aspettative date dal prodotto interno). Si richiede anche che il comportamento fisico fondamentale della materia non cambi. Ciò consente di dimostrare che l'interpretazione della probabilità richiede un'evoluzione temporale unitaria che soddisfi le condizioni del teorema di Stone, e la forma generale dell'equazione di Schrödinger segue come semplice corollario.

L'equazione di Schrödinger è anche vincolata da considerazioni relativistiche, da cui si ricava l'equazione di Dirac, e la forma della densità di interazione che deve essere composta da operatori di campo che obbediscono alla condizione di Località (o microcausalità), cioè (anti-) commutatori svaniscono fuori dal cono di luce. Le forme non relativistiche dell'equazione di Schrödinger sono viste come approssimazioni semi-classiche in cui l'operatore di campo del fotone è sostituito dalla sua aspettativa.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 4.0 con cui è distribuito.
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