Domanda:
Cos'è un collettore?
Richard971
2016-12-11 16:56:50 UTC
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Per i manichini completi quando si tratta di spazio-tempo, cos'è un collettore e come si può modellare lo spazio-tempo utilizzando questi concetti?

Possibile somiglianza?http://math.stackexchange.com/q/1211762/ È stato migrato alla matematica.SE
Strettamente correlato, ma probabilmente non proprio un duplicato: http://physics.stackexchange.com/q/179082/24653.Nella mia risposta, cerco di dare un po 'di sensazione al concetto di molteplice.
S. Weinberger una volta disse: "I collettori sono un po 'come la pornografia: difficile da definire, ma ne conosci uno quando ne vedi uno".Scherzi a parte, penso che la risposta di Martin offra la migliore panoramica su questo argomento.
Abbiamo già migrato una domanda di questo tipo a math.SE da [qui] (http://physics.stackexchange.com/q/171264/50583) a [qui] (http://math.stackexchange.com/q/1211762/143136).Non sarebbe coerente lasciare questo qui.
Domanda discussa nella chat room di hbar [qui] (http://chat.stackexchange.com/transcript/message/34047694#34047694).
Potrebbe piacerti il trattamento di [Greg Egan] (http://www.gregegan.net/FOUNDATIONS/02/found02.html).Mi è piaciuto il capitolo specifico, ma potresti voler eseguire il backup e leggere dall'inizio.
Quando ero uno studente (di matematica), uno studente di ingegneria me lo ha chiesto.Ho risposto: "Qualcosa su cui puoi fare calcoli".Disse: "Vuoi dire, come un foglio di carta? O una lavagna?"Dissi: "Beh, sì, in realtà, ma ce ne sono anche di curve".Penso che stessimo parlando l'uno accanto all'altro a quel punto.
Otto risposte:
#1
+168
Martin
2016-12-11 17:32:14 UTC
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Cos'è un collettore?

Una varietà è un concetto della matematica che non ha nulla a che fare con la fisica a priori.

L'idea è la seguente: probabilmente hai studiato la geometria euclidea a scuola, quindi sai come disegnare triangoli, ecc. su un pezzo di carta piatto. In contrasto con il linguaggio comune, prendiamo "spazio" per significare qualsiasi cosa con un numero di punti. Il piano euclideo ( $ \ mathbb {R} ^ 2 $ ) o il tuo pezzo di carta sono uno "spazio", lo spazio 3d intorno a te è uno "spazio" oppure la superficie del mondo è uno "spazio" (avvertimento: in realtà, voglio definire uno spazio topologico, che non è "tutto con un numero di punti", ma non lasciamoci distrarre qui).

Ora, se guardi la superficie della sfera, non è sicuramente uno spazio euclideo: nella geometria euclidea, la somma di ogni angolo in un triangolo è 180 °, il che non è vero per la superficie di una palla, una sfera . Tuttavia, se guardi solo una piccola porzione della sfera, è approssimativamente vero. Ad esempio, percepisci la terra come piatta anche se non lo è se guardi dall'alto.

Un collettore è ogni "spazio" con questa proprietà: localmente, sembra un piano euclideo. Il cerchio è una varietà (sembra una linea localmente, che è lo spazio euclideo unidimensionale $ \ mathbb {R} $ ), la sfera (sembra un aereo localmente), la tua stanza (sembra uno spazio 3d-euclideo $ \ mathbb {R} ^ 3 $ localmente - dimentica i confini qui), ecc.

La cosa interessante delle varietà è che questa proprietà di assomigliare allo spazio euclideo localmente rende possibile descriverle completamente usando solo spazi euclidei. Dato che conosciamo molto bene lo spazio euclideo, è una buona cosa. Ad esempio, puoi prendere una mappa dell'Inghilterra - poiché la parola "mappa" è usata in modo diverso in matematica, chiamiamola "grafico". Questo è un modo perfetto per descrivere l'Inghilterra, anche se in realtà fa parte di un oggetto rotondo. Puoi mettere insieme molte di queste carte per ottenere un intero atlante che copre la terra che ti dà una bella descrizione della terra usando solo 2d pezzi di carta. Ovviamente, avrai bisogno di più di una carta per coprire l'intera terra senza raddoppiare determinati punti e ovviamente, se la carta copre un'area molto ampia, apparirà molto distorta in alcuni punti, ma è possibile come puoi vedere.

E questa è una varietà. È uno spazio in cui puoi creare un atlante di carte, ognuna delle quali è una (parte di uno) spazio euclideo che descrive una parte dello spazio. Ok, non proprio: quello che vuoi dal collettore è che puoi passare da un grafico all'altro con una bella operazione. Ad esempio, nel tuo atlante della terra, alcuni grafici si sovrapporranno e i punti nella sovrapposizione che sono vicini su un grafico saranno vicini sull'altro grafico. In altre parole, hai una mappa tra le regioni sovrapposte di due carte qualsiasi e quella mappa è continua (a quel punto ottieni una varietà topologica) o anche differenziabile (a quel punto ottieni una varietà differenziabile).

A questo punto, dovrebbe essere ovvio per te che dovrebbe essere possibile affermare che lo spazio intorno a noi è una varietà differenziabili. Sembra perfettamente accurato descriverlo usando $ \ mathbb {R} ^ 3 $ localmente, come probabilmente hai fatto a scuola. Ed è anche così che le varietà entrano in relatività: se aggiungi la dimensione temporale, risulta essere una buona ipotesi che puoi ancora modellare lo spazio + il tempo come varietà quadridimensionale (il che significa che ogni grafico ha l'aspetto di $ \ mathbb {R} ^ 4 $ localmente).

Perché modellare lo spaziotempo con le varietà?

Ora sai cos'è un collettore, ma anche se hai un'idea di come potresti modellare lo spaziotempo come un collettore, questo non ti dice davvero perché dovresti modella lo spaziotempo come una varietà. Dopotutto, solo perché puoi fare qualcosa, questo non sempre lo rende particolarmente utile.

Considera il seguente problema: dati due punti, qual è la loro distanza più breve?

[A parte: prima di rispondere a questa domanda, voglio menzionare che sebbene abbia parlato di cose come distanze e angoli prima, non hai necessariamente questi concetti su una varietà arbitraria perché potrebbe essere impossibile definire qualcosa del genere per il tuo "spazio" sottostante, ma se hai una "varietà differenziabile" (il che significa che le funzioni che ti portano da grafico a grafico nelle regioni sovrapposte sono differenziabili), allora lo fai. A quel punto diventa possibile parlare di distanze. Per la fisica, in particolare la relatività generale, hai sempre un'idea delle distanze e degli angoli.]

Tornando al problema della distanza più breve: in $ \ mathbb {R} ^ n $ , la risposta è piuttosto semplice. Il percorso più piccolo tra due linee è la linea retta tra di loro. Ma su una sfera? Per definirlo, è prima necessaria una distanza sulla sfera. Ma come farlo? A quel punto saprei già qual è la distanza più breve!

Ecco un'idea: se consideri un volo da Londra a Buenos Aires (ad esempio), qual è il "percorso più breve"? Ebbene, la terra è più o meno una sfera in qualche $ \ mathbb {R} ^ 3 $ . Questo è uno spazio euclideo, quindi sai come calcolare le distanze lì, quindi il percorso più breve è solo la distanza più piccola di tutti i percorsi possibili. Facile. Tuttavia, c'è un problema: funziona solo perché abbiamo uno spazio tridimensionale ambientale. Ma non deve essere così - in effetti il ​​nostro "spazio" non sembra essere incorporato in un iperspazio dimensionale di quattro dimensioni spaziali (o come volete chiamarlo).

Ecco un'altra idea: il tuo collettore a livello locale sembra uno spazio euclideo in cui la risposta è semplice. E se definissi la tua distanza solo a livello locale e poi in qualche modo la rappezzi insieme in modo che abbia senso?

La cosa bella è che una varietà differenziabili ti offre gli strumenti per farlo. In questo modo, puoi creare una misura della distanza (chiamata metrica Riemanniana), che ti consente di calcolare i percorsi più brevi tra i punti anche senza spazi ambientali. Ma non finisce qui. Cosa sono le rette parallele? Cosa succede a un sistema di coordinate locale? Ad esempio, se voli con il tuo aereo, sembra che tu stia sempre guardando avanti, ma il tuo campo visivo non va in linea retta, come cambia il tuo campo visivo lungo un percorso? Una volta che hai la tua metrica, è tutto semplice.

Dovrebbe essere chiaro che tutte queste domande sono domande che puoi porre sullo spazio (tempo) che ti circonda e vorresti la risposta! Sembra anche naturale che tu debba essere effettivamente in grado di rispondere a queste domande per il nostro universo.

Allora, qual è la metrica del nostro spazio? Possiamo semplicemente aggiustarlo insieme a livello locale? Bene, potremmo, ma non sarà unico, quindi come decidere qual è la metrica giusta? Questo è esattamente ciò di cui parla la relatività generale: le equazioni fondamentali della relatività generale ci dicono in che modo la misura della distanza nello spazio-tempo è correlata alla materia e all'energia.

Un po 'di più sulla topologia (nel caso tu sia interessato)

Infine, se vuoi saperne di più sull'aspetto dello "spazio" che ho tralasciato sopra, diamo un'occhiata più da vicino. Quello che vuoi non è un insieme di punti, ma un insieme di punti che ha quartieri per ogni punto. Puoi pensare al quartiere di un punto come a un numero di punti che sono in qualche modo "vicini" al punto. Proprio come nella vita reale, il tuo quartiere potrebbe essere davvero grande, potrebbe comprendere tutto lo spazio, non deve nemmeno essere connesso, ma in qualche modo deve sempre comprendere i punti immediatamente "accanto" a te. Infatti, se hai una misura di distanza come la solita distanza euclidea in $ \ mathbb {R} ^ n $ , allora un insieme di quartieri è dato da tutte le palle di tutte le dimensioni intorno a qualsiasi punto. Tuttavia, puoi definire questi quartieri anche senza avere una misura della distanza, ma puoi comunque pensare in qualche modo alla "vicinanza".

Questi spazi sono sufficienti per consentire di definire "funzioni continue", dove una funzione è continua in un punto, se tutti i punti "vicini" a questo punto (cioè in qualche quartiere) rimangono "vicini" al punto dopo la mappatura ( nel senso che sono di nuovo mappati in qualche quartiere). Di solito e soprattutto per tutte le varietà di cui vogliamo davvero parlare in relatività, aggiungeresti alcune condizioni in più agli spazi per avere proprietà più belle, ma se vuoi sapere questo, ti suggerisco di iniziare ad imparare le vere definizioni matematiche. Ci sono molte altre risposte che coprono le basi!

Questa è una bella risposta: riesce ad esprimere ciò che è un collettore senza impantanarsi affatto nella pelosa definizione dello spazio topologico.
@tfb Anche se questa è una buona risposta, i dettagli non sono affatto "pelosi" - sono tutti abbastanza semplici.
@JamalS Sì, è vero.Forse avrei dovuto dire "sconosciuto a molti fisici", ed era quello che volevo dire: come dici tu non sono effettivamente complicati.Penso che comprendere la definizione topologica di continuità e vedere come si relaziona a quella $ \ epsilon $ $ \ delta $ che si impara nell'analisi di base fa sì che la comprensione di una topologia ne valga la pena.
Non sono sicuro se chiamerei $ \ mathbb {R} ^ n $ uno "spazio euclideo" se non stai usando il suo tensore metrico - doppiamente se stai usando a se stai usando un * diverso* (pseudo) tensore metrico.Triplicamente, dato che evidenzi i concetti metrici (angoli di un triangolo)
Ben detto, ma speravo in una menzione di [trasporto parallelo] (https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport), poiché le varietà utili in fisica (generalmente) supportano il trasporto parallelo.
@Hurkyl: Naturalmente, sto sorvolando su molti dettagli qui, ma se li vuoi, potresti anche leggere l'articolo di Wikipedia.Non ho mai parlato di varietà Riemanniane, quindi potresti anche scegliere la metrica euclidea su $ \ mathbb {R} ^ n $ se lavori localmente.Dopotutto, un collettore è definito come uno spazio che localmente assomiglia allo spazio euclideo ... Mi riferivo a concetti metrici, ma è piuttosto difficile non farlo perché quelli vengono insegnati a scuola e vengono piuttosto naturali, quindi non ne sono completamente sicuroCapisco il tuo problema.Hai qualche suggerimento specifico per il miglioramento?
@PM2Ring: Idea interessante.L'ho lasciato fuori originariamente perché la domanda riguarda solo le varietà in quanto tali, ma c'è una domanda implicita sul perché questo sia utile - e quella risposta può trarre vantaggio da alcuni discorsi di metriche e trasporto parallelo, portando a quali sono le equazioni fondamentali di GRin realtà circa.Poiché la domanda ha raccolto molta attenzione, ho pensato di dover lavorare un po 'di più per meritare l'elogio e ho aggiunto una sezione su questo.Forse questo è simile a quello che hai pensato?
"Dovrebbe essere ovvio per te che dovrebbe essere possibile dire che lo spazio intorno a noi è una varietà euclidea" - questa è un po 'una svista.Una qualità importante di ogni varietà differenziabili è che è localmente euclidea.Cioè, qualsiasi porzione abbastanza piccola dello spazio assomiglierà allo spazio euclideo.La parte dell'universo che sperimentiamo è davvero piccola.
@j0equ1nn Certo, ma dobbiamo estrapolare da quello che vediamo.E anche se fosse falso, modellare l'universo come una varietà differenziabili sembra una buona teoria efficace se tutto ciò che sperimentiamo corrisponde alla teoria.
@Martin Sono d'accordo nel modellare l'universo come una varietà differenziabili.Quello che sto dicendo è: tutte le varietà differenziabili sembrano euclidee localmente.Quindi sarebbe sciocco dire che l'intera varietà è euclidea (al contrario di iperbolica, sferica, ecc.) Solo perché localmente sembra euclidea.
@Martin Sarebbe anche lo stesso identico errore, topologicamente parlando, di quando la gente pensava che la Terra fosse piatta.
@j0equ1nn Ora capisco cosa intendi.Ad essere onesti, è solo un errore di battitura."Varietà euclidea" dovrebbe leggere "varietà differenziabili" - non sapevo nemmeno che esistesse una cosa come "varietà euclidea" come termine definito.
@Martin Ah va bene.Penso che valga la pena correggere l'errore di battitura.Una * varietà euclidea * è una con curvatura in sezione di $ 0 $ ovunque.Fondamentalmente, ciò significa $ \ mathbb {R} ^ n $ o alcuni $ n $ sottoinsiemi dimensionali di $ \ mathbb {R} ^ n $.Lo trovo un concetto importante perché se l'universo è euclideo, significherebbe che è infinito o ha un confine.Se non è euclideo, hai la possibilità che sia finito ma senza confini - un argomento di ricerca che trovo affascinante.
@Martin, tieni i tuoi cavalli!Una varietà non possiede necessariamente il concetto di "angolo".Le distanze e gli angoli possono essere misurati solo se una struttura aggiuntiva come la metrica è dotata di un collettore.Ma una metrica NON è un prerequisito per una varietà, a meno che tu non stia parlando di varietà Riemanniana (devi specificatamente dirlo).
#2
+19
JamalS
2016-12-11 19:58:58 UTC
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Per introdurre il concetto di varietà liscia, introdurrò prima le varietà topologiche .


Collettore Topological

Diciamo che $ M $, uno spazio topologico, è anche una varietà topologica se,

  • Per qualsiasi due punti che scelgo, diciamo $ p, q \ in M ​​$, ci sono sottoinsiemi aperti disgiunti $ U $ e $ V $ dello spazio $ M $ tali che $ p \ in U $ e $ q \ in V $. In altre parole, possono essere separati da quartieri.
  • Esiste una base numerabile per la topologia di $ M $, vale a dire che possiamo costruire qualsiasi insieme aperto in $ M $ dall'unione di un gruppo di altri insiemi aperti, chiamato la base $ B $ e che questa base sia numerabile.
  • Fondamentalmente, ogni punto $ p \ in M ​​$ ha un vicinato omeomorfico rispetto a un sottoinsieme aperto di $ \ mathbb {R} ^ n $. In altre parole, esiste una funzione continua con inversa continua da quell'intorno a un insieme aperto in $ \ mathbb R ^ n $ e questo è ciò che intendiamo per euclideo localmente.

Per sottolineare ancora, possiamo scegliere qualsiasi $ p \ in M ​​$ e un insieme aperto $ U \ sottoinsieme M $ contenente $ p $, e siamo sicuri di essere in grado di costruire un omeomorfismo $ \ psi: U \ to \ tilde U $ dove $ \ tilde U \ subset \ mathbb R ^ n $. Inoltre, questa definizione di euclideo localmente è del tutto equivalente alla capacità di costruire un omeomorfismo per una palla aperta nello stesso $ \ mathbb R ^ n $ o $ \ mathbb R ^ n $. I primi due requisiti sono piuttosto formali e per quanto segue il terzo è fondamentale da comprendere.


Charts

Per procedere con la costruzione della nozione di varietà liscia, introduciamo i grafici a coordinate . In particolare, un grafico a coordinate è una coppia $ (U, \ varphi) $ dove $ U \ subset M $ è un insieme aperto e $ \ varphi (U) \ subset \ mathbb R ^ n $ è l'omeomorfismo di cui abbiamo parlato, a $ \ mathbb R ^ n $.

La mappa $ \ varphi $ è una mappa di coordinate locali i cui componenti sono coordinate e $ U $ è il vicinato delle coordinate.


Struttura liscia

Per essere in grado di eseguire calcoli su una varietà di questo tipo, dobbiamo aggiungere una struttura liscia. Se $ (U, \ varphi) $ e $ (V, \ psi) $ sono due grafici tali che $ U \ cap V \ neq \ varnothing $, allora la mappa

$$ \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1}: da \ varphi (U \ cap V) \ a \ psi (U \ cap V), $$

chiamata mappa di transizione , è un omeomorfismo. I due grafici sono perfettamente compatibili se questa mappa di transizione è un diffeomorfismo, vale a dire che tutti i componenti hanno derivate parziali a tutti gli ordini, è biiettiva e l'inverso è continuo.

Possiamo definire un atlante $ \ mathcal A $ come la raccolta di grafici che coprono l'intera varietà, in modo che ogni punto deve appartenere al dominio di uno di questi grafici. Si noti che questo significa che non è necessario che un sistema di coordinate copra l'intera varietà.

Ora puoi immaginare che chiameremo $ \ mathcal A $ un atlante fluido se tutti i grafici sono perfettamente compatibili come definito sopra.

Prima di arrivare alla battuta finale, potremmo avere un collettore $ M $ che ha molti atlanti lisci, quindi nella definizione seguente, scegliamo quello massimo o quello che è completo nel senso che ogni grafico che è perfettamente compatibile è contenuto in $ \ mathcal A $.

Una varietà liscia è quindi la coppia $ (M, \ mathcal A) $, e possiamo definire una funzione da $ f: M \ a \ mathbb R ^ n $ per essere liscia se $ f \ circ \ varphi ^ {- 1} $ è uniforme per ogni grafico.


Come modelliamo lo spazio-tempo usando le varietà?

Nella teoria della relatività generale, trattiamo lo spazio-tempo come una varietà Riemanniana che fornisce ulteriori vincoli alla nozione di varietà liscia.

Ogni varietà Riemanniana è dotata del tensore metrico $ g_p (X, Y) $ che prende due vettori tangenti $ X, Y \ in T_p M $ che giacciono nello spazio tangente nel punto $ p $, e dà us la nozione di lunghezza di un vettore e l'angolo tra i vettori in modo generalizzato.

Le equazioni di campo di Einstein che mettono in relazione la materia con la curvatura dello spazio-tempo modellata come varietà, dipendono esplicitamente da questa metrica $ g $.

Se solo la seconda parte (non formale) della tua definizione fosse presente nei libri ufficiali, il numero di persone che effettivamente capiscono la scienza e la matematica moderne sarebbe stato sufficientemente maggiore.Ottima spiegazione!
JamalS: "_ Diciamo che $ M $, uno spazio topologico, è anche una varietà topologica se: Per due punti qualsiasi, diciamo $ p, q \ in M $, ci sono sottoinsiemi aperti disgiunti $ U $ e $ V $ delspazio $ M $ tale che [...] _ "- Uno [spazio topologico] (https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space#Definition) consiste in un insieme," $ X $ ", **insieme a ** un'assegnazione di quartieri o (equivalentemente) una raccolta di sottoinsiemi aperti;per esempio.una coppia ordinata $ (X, \ tau) $.Pertanto la tua risposta potrebbe essere più trasparente impostando esplicitamente "$ M: = (X, \ tau) $" e quindi considerando $ p, q \ in X $, insieme a $ U, V \ in \ tau $, ecc.
@user12262 Sì, ma non voglio offuscare ulteriormente le cose;uno spazio topologico è un concetto molto fondamentale, elementare, e se il lettore non ha familiarità, sarà sufficiente una rapida Google della definizione ed è facile collegarsi a ciò che ho scritto.
JamalS: "_Sì, ma non voglio offuscare ancora di più le cose_" - Alcuni lettori (pensando in particolare a quelli stipulati nell'OP) potrebbero quindi essere distratti dall'apprezzare e perseguire la domanda come, per un dato insieme (di eventi spaziotemporali, per esempio), i fisici dovrebbero cercare di determinare quali sottoinsiemi chiamare "insieme aperto" o "vicinanza di un particolare evento".Ma in mancanza di questo: sì, potrebbero esserci "_attrezzature_" ancora più oscure di varietà di cui preoccuparsi.
Davvero un'ottima risposta!Penso che trovi il miglior equilibrio tra matematica e spiegazione qualitativa tra tutte le risposte.Penso solo che ci sia un problema: nell'ultimo paragrafo gli spazi tangenti vengono fuori dal nulla, sarebbe meglio aggiungere una o due righe su di essi.Mi rendo conto che è difficile condensare la loro definizione è un posto così piccolo.
@rubik Se il lettore è in grado di seguire la risposta fino a quel punto, può facilmente dedurre che dopo aver menzionato i vettori tangenti, lo spazio tangente è ovviamente lo spazio dei vettori tangenti.
#3
+14
anna v
2016-12-11 17:05:27 UTC
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Il collettore è un concetto matematico.

In matematica, una varietà è uno spazio topologico che assomiglia localmente allo spazio euclideo vicino a ogni punto.Più precisamente, ogni punto di una varietà $ n $ -dimensionale ha un intorno che è omeomorfo allo spazio euclideo di dimensione $ n $.

Il suo uso consente generalizzazioni dagli spazi euclidei classici, e poiché la Relatività Generale per costruzione distorce lo spazio e il tempo, una varietà è la parola corretta per descrivere le "coordinate" come distorte dagli spazi euclidei.

#4
+13
user5174
2016-12-12 01:04:57 UTC
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Storicamente, i collettori sono nati dalla seguente idea.

Spesso studiamo varie superfici come la sfera o il cilindro posizionandole in uno spazio euclideo tridimensionale e da lì studiamo la geometria. Tuttavia, ci sono stranezze:

  • Le curve in realtà non hanno una forma "interna", ma ci sono tutti i tipi di curvatura che derivano da come disegniamo la curva nello spazio euclideo!
  • Il solito cilindro è una superficie piatta nonostante si possa guardarla ingenuamente e pensare che la sua forma circolare significhi che è curva.
  • Sappiamo dalla geometria sferica e dalla geometria iperbolica che le forme possono avere una geometria intrinseca non banale.

Quindi c'è un problema non banale qui di distinguere tra quali parti della geometria sono effettivamente intrinseche alla forma che studiamo e quali parti della geometria sono estrinseche - incidenti di come posizioniamo la forma nello spazio euclideo.

L'idea di un collettore è stato inventato per risolvere questo problema: offre un modo utile per lavorare con forme interessanti in un modo puramente intrinseco, il che garantisce che tutta la geometria che studiamo in quel modo sia veramente intrinseco al collettore.

L'idea di fondo è coprire la forma con grafici a coordinate e descrivere la geometria utilizzando il calcolo sui grafici a coordinate. Pensa di usare le mappe per rappresentare la superficie della Terra.


Ora, per la fisica, le varietà entrano in gioco in modo completamente opposto. Abbiamo secoli di esperienza nel fare fisica su ciò che è fondamentalmente grafici a coordinate, e sappiamo che è più o meno come appare l'universo su scale sufficientemente piccole, ma la topologia su larga scala dell'universo potrebbe essere più coinvolta di così.

Inserisci i collettori, una teoria matematica predefinita su come combinare i grafici delle coordinate per descrivere uno spazio topologico più interessante.


Anche se non si è interessati a varietà più interessanti, entrano comunque in gioco grazie alla matematica moderna - la geometria differenziale è il linguaggio per eseguire calcoli sofisticati nel calcolo multivariabile, in particolare quando sono coinvolte idee geometrichee la teoria e la pratica della geometria differenziale sono generalmente sviluppate su varietà.

#5
+7
j0equ1nn
2016-12-11 18:42:11 UTC
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La definizione comune di un $ n $ -manifold è: uno spazio topologico che assomiglia allo spazio euclideo in un intorno di ogni punto (e un collettore è qualsiasi $ n $ -manifold). Ciò significa che se si prende un punto arbitrario nel collettore, esiste sempre una palla abbastanza piccola attorno al punto entro il quale lo spazio può essere continuamente deformato in uno spazio piatto. Un semplice esempio è un cerchio. Questa è una varietà $ 1 $ perché se ne prendi un sottospazio connesso, puoi raddrizzarla su una linea (euclidea $ 1 $ -spazio) anche se non puoi farlo con l'intero cerchio. Lo stesso si potrebbe dire di qualsiasi curva liscia semplice ("semplice" significa non autointersecante e "liscia" significa differenziabili). Allo stesso modo, la sfera, il toro e le altre superfici lisce sono varietà di $ 2 $.

Un punto più sottile è la distinzione tra una varietà e il suo incorporamento. Un potente teorema di Nash mostra che per ogni $ n $ -manifold $ M $, esiste un po 'di $ m \ geq n $ tale che $ M $ venga incorporato in $ \ mathbb {R} ^ m $. In senso astratto, si potrebbe parametrizzare una curva in un modo che soddisfi la definizione di varietà anche se tutti i suoi incorporamenti in $ \ mathbb {R} ^ 2 $ sono autointersezionali (forse si incorpora senza intersezione in $ \ mathbb { R} ^ 3 $). Ma un incorporamento fisso di una curva autointersecante non è tecnicamente una varietà perché ha un punto che assomiglia a $ + $ (non $ \ mathbb {R} $). Allo stesso modo, la bottiglia di Klein può essere incorporata in $ \ mathbb {R} ^ 4 $ come una varietà di $ 2 $ anche se i suoi incorporamenti in $ \ mathbb {R} ^ 3 $ si intersecano da soli.

Lo spaziotempo è $ 4 $ -dimensionale. La consueta applicazione del concetto di varietà si adatta qui se pensiamo alla parte spaziale dello spaziotempo che si deforma continuamente nel tempo. In questo modello, in qualsiasi momento fisso nel tempo l'universo può essere pensato come una varietà di $ 3 $, ma deve soddisfare ulteriori vincoli. Per prima cosa, supponiamo che l'universo sia omeomorfo e isotropo. In secondo luogo, una tale varietà $ 3 $ deve avere senso come sezione trasversale della struttura $ 4 $ -dimensionale.

Le varietà omeomorfiche e isotropiche a $ 3 $ sono state un argomento molto attivo di ricerca matematica, grazie al lavoro fondamentale di Bill Thurston a partire dagli anni '70. Tra queste varietà, ce n'è una piatta (spazio euclideo $ 3 $), una con curvatura positiva (la $ 3 $ -sfera), e ci sono infinite strutture iperboliche. Alcuni matematici credono che la porzione spaziale dello spaziotempo possa essere modellata con una varietà iperbolica, sebbene ciò non sia ampiamente creduto in fisica (spiegato di seguito). All'inizio degli anni '80, Jeff Weeks scoprì la varietà iperbolica chiusa da $ 3 $ di volume minimo, e alcuni speravano che questo fosse un modello per l'universo, tuttavia non riuscì a soddisfare i requisiti per essere una sezione trasversale spaziale dello spaziotempo . Più recentemente, sulla base dei dati sulla radiazione di fondo a microonde, Weeks ha ipotizzato che il modello corretto sia lo spazio dodecaedrico di Poincaré (come un dado da $ 12 a lato $ dove ogni volta che esci da una faccia, torni attraverso un altro con una certa rotazione), anch'esso iperbolico.

Molti fisici credono che l'universo sia piatto in base alle nostre misurazioni della curvatura della parte osservabile di esso. Tuttavia (e questa affermazione è parziale, dal mio punto di vista di matematico specializzato in topologia), se l'universo osservabile è una porzione relativamente piccola dell'universo generale, la definizione di varietà ci dice che dovremmo aspettarci che appaia piatta indipendentemente dalla sua effettiva struttura topologica. Rimane un argomento di interesse quale sia la topologia (della parte spaziale) dell'universo generale nello spaziotempo, come varietà.

In alternativa, si potrebbe considerare l'universo, con il tempo, come una varietà di $ 4 $, sebbene questi non siano ben compresi. Ci sono anche teorie di dimensioni superiori dell'universo in fisica. In matematica non ci sono limitazioni su $ n \ in \ mathbb {N} $ nella definizione di un $ n $ -manifold. Esistono anche teorie ben sviluppate di varietà a dimensione infinita (ad esempio varietà di Banach), così come $ n \ in \ mathbb {Q} ^ + $, cioè varietà frazionarie-dimensionali (frattali), ma questi concetti sono meno legati al modello spaziotemporale.

L'universo è lo spaziotempo ed è quadridimensionale.Non abbiamo scelta, il tempo è intrecciato e non c'è nulla in grado di disaccoppiarlo, tranne in determinate circostanze quando esiste un vettore di uccisione simile al tempo.Quindi è $ R ^ 4 $, ed è pseudo-Riemanniano.Quindi non è euclidea, è lorentziano.Sì, possono esserci più di 4 dimensioni, ma non meno.
Giusto, ma l'interpretazione che ho descritto esiste ed è stato un campo di ricerca attivo (ad esempio il collegamento al documento di Weeks).Ho offerto questa descrizione perché è un punto di vista in cui sono disponibili strumenti aggiuntivi dalla topologia algebrica (come riassunto brevemente) e fornisce molti modi interessanti per applicare le varietà allo spaziotempo.Ho omesso alcuni degli aspetti più tecnici poiché l'OP ha richiesto una risposta "per i manichini completi".
@BobBee Inoltre penso che il tuo commento sarebbe più pertinente alla risposta più popolare data da Martin, soprattutto per quanto riguarda il paragrafo finale.
Sono d'accordo che si applichi alla risposta di @Martins probabilmente di più, volevo solo assicurarmi che fosse chiaro che includere il tempo non era facoltativo e non era un esercizio banale di fisica.Nessun argomento con l'uso della geometria differenziale e della topologia algebrica per promuovere la ricerca.Accolgo con favore altri post sulla topologia algebrica, in particolare se chiariscono o portano a maggiori approfondimenti e scoperte sulla fisica.Ho aggiunto una risposta su parte della storia della fisica che ha portato alla geometria
#6
+7
Bob Bee
2016-12-12 13:36:31 UTC
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Ci sono state risposte molto buone, e hanno rappresentato molto bene, concettualmente e accuratamente, cos'è una varietà, come può essere usata per descrivere lo spazio intrinsecamente curvo e come l'idea di continuità e differenziabilità nasce da riunendo tutte le classifiche locali.

Vorrei descrivere il modo in cui i fisici sono arrivati ​​allo spaziotempo quadridimensionale. Includere il tempo era fondamentale ed era il punto di partenza dalla relatività speciale. O per dirlo in modo diverso, perché aveva senso fisicamente utilizzare un costrutto geometrico, e la geometria Riemanniana in particolare, per modellare / descrivere uno spazio e un tempo dinamici, lo spaziotempo, in modo coerente con la relatività speciale e con la gravità. Potrei non essere del tutto preciso nella storia, ma è più vicino al pensiero fisico. E spiega più fisicamente quindi come le varietà, o la geometria Riemanniana, sia un costrutto appropriato per descrivere lo spaziotempo e le sue dinamiche. Non era semplicemente un'entità Riemanniana, ma era un'entità dinamica dal vivo.

Storicamente questo è emerso in modo leggermente diverso in fisica che in matematica, anche se fondamentalmente significava le stesse cose, e con la matematica ha poi sviluppato per la geometria Riemanniana uno strumento chiave per arrivare alle equazioni e riflettere sui concetti. In fisica l'idea dello spaziotempo nacque per la prima volta con Einstein, ed era uno spaziotempo piatto (sebbene il nome spaziotempo venisse più tardi), con una metrica lorentziana (e piatta) che era quella appropriata da usare nella relatività speciale. Inizialmente non si pensava che lo spaziotempo, o meglio la compilazione delle coordinate x, y, ze t, definisse in qualche modo un'entità dinamica o variabile. Si pensava semplicemente che qualsiasi osservatore inerziale potesse scegliere il proprio, e abbiamo avuto le trasformazioni di Lorentz.

Einstein (con altri che potrebbero aver contribuito, c'è qualche discussione su quanto), attraverso una storia che è descritta in vari libri, arrivò al principio di equivalenza che una forza gravitazionale sembrava avere lo stesso effetto del semplice essere costantemente sistema di riferimento accelerato, e Einstein fu portato a considerare la geometria (pseudo) Riemanniana come un modo per descrivere il movimento in termini di geodetica, e quella che divenne nota come spaziotempo come entità pseudo-Riemanniana a 4 dimensioni, con la fisica indipendente dal sistemi di coordinate scelti, cioè, dell'osservatore. E vedendo che nel limite di campo debole e nelle basse velocità si riduceva alla gravità newtoniana, e altre cose, ottenne le equazioni di campo. Ha usato il costrutto completo della geometria Riemanniana, che a quel punto non era molto conosciuta ma era lì. Ci è arrivato perché aveva bisogno di descrivere qualcosa indipendentemente dai sistemi di coordinate, inerziali, acceleranti o qualsiasi altra cosa. Non so se la parola collettore esistesse allora. Ma la differenziabilità faceva parte di uno "spazio" Riemanniano.

Che la geometria sia in grado di descrivere la gravità è una scoperta piuttosto profonda di Einstein e di alcuni dei suoi colleghi. Aveva a che fare con il principio di equivalenza, che deriva essenzialmente dall'equivalenza della massa inerziale (movimento, cambiamento nello spaziotempo) e gravitazionale (forza). Tale equivalenza non vale per nessuna delle altre forze e finora è stato impossibile unificare la teoria gravitazionale di Einstein con nessuna delle altre forze.

#7
+4
Peter4075
2016-12-11 21:02:04 UTC
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Questa è la mia opinione non fisica. Un collettore è uno spazio curvo localmente piatto. Pensa alla superficie della Terra, che è una varietà bidimensionale (può essere descritta usando due coordinate: latitudine e longitudine). Piccole macchie della superficie terrestre possono essere descritte usando la geometria euclidea; aree più grandi non possono perché questa geometria si rompe.

Nel contesto della relatività, la varietà (a) ha quattro dimensioni (tre dello spazio e una del tempo) ed è chiamata spaziotempo; (b) è differenziabile; e (c) è descritto da una funzione chiamata metrica che fornisce la differenza di tempo e la distanza tra punti infinitamente vicini. Sistemi di coordinate differenti hanno metriche differenti che descrivono la stessa distanza tra punti infinitamente vicini. Usando la metrica, puoi costruire un tensore a quattro indici chiamato tensore di curvatura di Riemann. Se e solo se quel tensore è zero è lo spazio in quel punto piatto, altrimenti è curvo.

La relatività speciale si occupa dello spaziotempo piatto (chiamato spaziotempo di Minkowski), ovvero si occupa di situazioni in cui gli effetti della gravità sono trascurabili. Curve massa-energia dello spaziotempo. Corpi liberi o raggi luminosi seguiranno il percorso più breve (noto anche come geodetica) tra due punti nello spaziotempo. Per calcolare quel percorso è necessario conoscere la metrica. Le due metriche più comuni sono la metrica Minkowski (che descrive lo spaziotempo piatto) e la metrica di Schwarzschild (che descrive lo spaziotempo attorno a un oggetto sfericamente simmetrico come il nostro Sole).

Questo è sbagliato.Una varietà è un oggetto puramente topologico.Puoi avere un collettore senza nemmeno avere una metrica o un modo per definire la curvatura.Se hai uno spazio che ha una metrica e un modo per definire la curvatura, allora è automaticamente localmente piatto, nel senso che la curvatura è come una derivata e le funzioni levigate sono localmente lineari.
#8
  0
Richard
2019-11-26 13:55:02 UTC
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Esistono già diverse buone risposte. Quindi cercherò di scrivere una breve risposta che risponda semplicemente alla domanda senza discussioni dettagliate.

Dopo l'invenzione della Relatività Speciale, Einstein tentò di inventare una teoria della gravità invariante di Lorentz, ma senza alcun successo. Alla fine, il problema è stato risolto sostituendo lo spazio-tempo di Minkowski con uno spazio-tempo curvo, cioè con la geometrizzazione della gravità. In uno spazio-tempo curvo la curvatura è generata (e su cui si reagisce) dall'energia e dalla quantità di moto.

Una varietà è uno dei concetti fondamentali in matematica, in particolare la geometria. Conosciamo tutti lo spazio euclideo n-dimensionale $ \ mathbb {R} ^ n $ e l'insieme di n-tuple $ (x ^ 1, x ^ 2, ..., x ^ n) $ . La nozione di varietà cattura l'idea di uno spazio che può essere curvo e può avere una topologia complicata, ma che ricorda la topologia di $ \ mathbb {R} ^ n $ span > nelle regioni locali. L'intero collettore è costruito cucendo insieme queste regioni locali.

La struttura multiforme fornisce quindi un ambiente naturale su cui costruire la teoria della gravità basata sul principio di equivalenza di Einstein: lo spazio-tempo curvo assomiglia localmente a uno spazio-tempo piatto in cui le leggi della Relatività Speciale sono valide.



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