Domanda:
Cosa si sa della struttura topologica dello spaziotempo?
Eric
2010-12-10 11:55:02 UTC
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La relatività generale dice che lo spaziotempo è una 4-varietà Lorentziana $ M $ la cui metrica soddisfa le equazioni di campo di Einstein. Ho due domande:

  1. Quali restrizioni topologiche impongono le equazioni di Einstein alla varietà? Ad esempio, l'esistenza di una metrica di Lorentz implica alcune cose topologiche, come la scomparsa della caratteristica di Eulero.

  2. Ci sono esperimenti in corso o anche ipotetici esperimenti che possono fornire informazioni su la topologia? Per esempio. c'è un gruppo di studenti laureati là fuori che cerca di contrarre i loop per scoprire il gruppo fondamentale dell'universo?

Sei risposte:
#1
+43
user346
2010-12-10 14:15:58 UTC
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Questa è una ottima domanda! Quello che stai chiedendo è uno degli anelli mancanti tra gravità classica e quantistica.

Da sole, le equazioni di Einstein, $ G _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi G T _ {\ mu \ nu} $, sono equazioni di campo locali e non contengono alcuna informazione topologica. A livello del principio di azione,

$$ S _ {\ mathrm {eh}} = \ int_ \ mathcal {M} d ^ 4 x \, \ sqrt {-g} \, \ mathbf { R} $$

il termine che generalmente includiamo è lo scalare di Ricci $ \ mathbf {R} = \ mathrm {Tr} [R _ {\ mu \ nu}] $, che dipende solo dal primo e derivate secondarie della metrica ed è, ancora una volta, una quantità locale. Quindi l'azione non ci parla nemmeno della topologia, a meno che tu non sia in due dimensioni, dove la caratteristica di Eulero è data dall'integrale dello scalare ricci:

$$ \ int d ^ 2 x \, \ mathcal {R} = \ chi $$

(modulo alcuni fattori numerici). Quindi la gravità in 2 dimensioni è interamente topologica. Questo è in contrasto con il caso 4D in cui l'azione di Einstein-Hilbert sembra non contenere informazioni topologiche.

Questo dovrebbe coprire la tua prima domanda.

Tuttavia, non tutto è perduto. Si possono aggiungere gradi di libertà topologici alla gravità 4D mediante l'aggiunta di termini corrispondenti a vari invarianti topologici (Chern-Simons, Nieh-Yan e Pontryagin). Ad esempio, il contributo di Chern-Simons all'azione è simile a:

$$ S_ {cs} = \ int d ^ 4 x \ frac {1} {2} \ left (\ epsilon_ {ab} {} ^ {ij} R_ {cdij} \ right) R_ {abcd} $$

Ecco un bellissimo articolo di Jackiw e Pi per i dettagli di questa costruzione.

C'è molto altro da dire sulla topologia e sulla relatività generale. La tua domanda graffia solo la superficie. Ma c'è una miniera d'oro sotto! Lascerò che qualcun altro affronti la tua seconda domanda. La risposta breve è "sì".

Grazie per la risposta. Non vedo perché gli EFE non possono contenere dati topologici poiché è necessaria una soluzione globale (è possibile risolverli localmente ma devono essere uniti per formare una metrica globale). Ad esempio, se gli EFE implicassero qualcosa come una curvatura scalare positiva, ciò limiterebbe davvero la topologia (essere positivi in ​​un punto è locale, essere positivi ovunque è globale). L'aggiunta di invarianti topologiche sembra molto interessante, dovrò leggere di più in esso.
Capisco quello che stai cercando di dire. Gli EFE dovrebbero codificare una sorta di informazione topologica oltre all'aggiunta di termini topologici all'azione. O forse è perché consideriamo fondamentali gli EFE, quando il termine di Ricci e gli altri termini topologici possono derivare da qualcosa di più generale come $ BF $ teoria [Riferimento] (http://xxx.lanl.gov/abs/ gr-qc / 9905087) che è una teoria topologica. Ad ogni modo, se ti piace la risposta, potresti accettarla come * la * risposta. Grazie :-)
@user346 "Quindi la gravità in 2 dimensioni è interamente topologica" Potresti per favore espandere questo in termini meno tecnici per me?
Non capisco nemmeno questa implicazione per la teoria della gravità 2d.In 2-d, la caratteristica di Eulero è una seria limitazione grazie alla classificazione delle superfici chiuse 2-d.Tuttavia, ci sono ancora tonnellate di strutture Riemanniane forse diverse sopra a priori.Spero che qualcuno possa capirlo.
#2
+28
Willie Wong
2010-12-14 05:36:58 UTC
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Solo un punto in più che non ho visto sopra menzionato: se lo spazio-tempo ha un gruppo fondamentale non banale, non sarà visto da un osservatore all'infinito . Questo è il contenuto del Teorema di censura topologica . L'implicazione è che per uno spazio-tempo asintoticamente piatto, qualsiasi topologia interessante sarà nascosta dietro l'orizzonte degli eventi. La dimostrazione del teorema è piuttosto sorprendentemente semplice: è più o meno un'estensione diretta del teorema di singolarità di Penrose.

Vedi :

Friedman, J. L .; Schleich, K. & Witt, D.M. Censura topologica Phys. Rev. Lett., American Physical Society, 1993, 71, 1486-1489

Schleich, K. & Witt, DM Singularities from the Topology and Differentiable Structure of Asymptotically Flat Spacetimes http: // arxiv .org / abs / 1006.2890

Galloway, GJ. Sulla topologia del dominio della comunicazione esterna. Classe. Quantum Grav. 12 No 10 (ottobre 1995) L99 (3pp)

Sei un matematico, giusto? Quindi, per favore, spiegami le cose a livello di fisico :-) La mia domanda è: come cambia questa conclusione se lo spaziotempo è asintoticamente deSitter o anti-deSitter? Inoltre qual è la tua opinione sull'ipotesi [dell'universo dodecaedrico] (http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310253)?
@space_cadet: Non so molto dell'ipotesi dell'universo dodecaedrico, ma da quello che so, non è un tentativo di spiegare alcune "caratteristiche" dei dati WMAP? Non credo ci sia alcun motivo a priori per escluderlo o escluderlo: solo i dati lo diranno. Per quanto riguarda la censura topologica negli spazi dS o AdS: lo stesso argomento di Penrose utilizza solo la condizione di energia nulla, che non è influenzata dalla costante cosmologica. Ma l'affermazione di censura topologica penso richieda uno Scri simile al tempo o nullo per avere un senso. Infatti, nel caso AdS, c'è un documento del 2001 di ...
... Galloway, Schleich, Witt e Woolgar che mostrano che lo stesso risultato (censura topologica) vale per spazi-tempi asintoticamente anti-de-sitter. Cioè, definendo il dominio delle comunicazioni esterne come l'intersezione del passato e del futuro di Scri, hanno dimostrato che per (n + 1) dimensionale (con n almeno 3) spazio-tempo AdS asintoticamente, il dominio delle comunicazioni esterne è semplicemente connesso, nel senso che qualsiasi curva simile al tempo che va da Scri a (lo stesso pezzo connesso di) Scri può essere deformata continuamente in una curva causale in Scri.
Risposta interessante, ma potrebbe interessarti questa: http://link.springer.com/article/10.1134%2FS0202289313010064.
#3
+12
Eric Zaslow
2010-12-11 09:45:57 UTC
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Non conosco la risposta, ma la tua intuizione è giusta: il fatto che le equazioni siano locali non significa che non possa esserci un vincolo sulla topologia di una soluzione globale . Ad esempio, nella firma euclidea, $ R_ {ij} = g_ {ij} $ implica immediatamente che la curvatura scalare è positiva, il che a sua volta porta a vincoli topologici. Se la quattro varietà è un complesso di Einstein e , allora deve essere una superficie del Pezzo (altamente vincolata). Non so molto della firma lorentziana, ma so che i PDE sono una bestia completamente diversa. Ho visto alcuni risultati sulla classificazione di possibili gruppi di olonomia delle varietà Lorentziane di Einstein, ma non conosco nulla di globale (in realtà non so proprio nulla).

#4
+8
Kostya
2010-12-10 14:28:03 UTC
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  1. Le equazioni di Einstein descrivono la struttura locale dello spazio-tempo. Non contengono informazioni globali o topologiche.

    Anche se ho sentito dire che alcune limitazioni sulla scala della topologia possono essere derivate dalla curvatura dell'Universo se la curvatura è negativa. (Qualcosa come "scala = multiplo intero di 1 / curvatura".)

  2. Bene, se il nostro spazio ha una topologia non banale, i raggi di luce "avvolgeranno" il nostro universo più volte e potrai vedere le stesse copie (simili) di galassie. Ho sentito di persone alla ricerca di simili somiglianze senza successo.

    Anche la topologia non banale deve comportare una qualche correlazione in CMB - nessuna correlazione di questo tipo è stata trovata (ancora?).

Cosa intendi per scala della topologia? Ma le equazioni di Einstein devono essere risolte a livello globale, quindi non potrebbero porre alcune restrizioni alla topologia? Ad esempio, se le equazioni di Einstein implicassero una curvatura scalare positiva, ciò limiterebbe le possibili varietà. Inoltre, poiché non esiste alcuna classificazione anche delle 4-varietà semplicemente connesse, sembra probabile che ce ne siano di non banali che non avrebbero la proprietà "avvolgente" dei raggi luminosi.
Esempio più semplice: considera lo spazio-tempo piatto. Puoi immaginarlo "avvolgente", quindi quando percorri la distanza L in una direzione arriverai allo stesso punto. Per quanto ho capito, sarebbe chiamato il toro 3D (nel caso più semplice). La distanza L è la scala della topologia. Può essere arbitrario: le equazioni di Einstein non gli impongono alcuna restrizione.
Oh ok, quindi sarebbe ancora una cosa geometrica: scalare un cilindro non cambia nessuna topologia.
@Kostya Potete elencare alcuni documenti in cui le persone tentano di modellare "Anche la topologia non banale deve risultare in una qualche correlazione in CMB ..."?
@MoreAnonymous https: // arxiv.org / pdf / astro-ph / 0412569.pdf
@Kostya grazie stavo cercando qualcosa di simile qui ... https://physics.stackexchange.com/questions/438454/can-solutions-of-gr-have-non-zero-genus?noredirect=1#comment984331_438454 (non ho letto tutto ancora pensato: P)
#5
+8
user566
2010-12-11 10:01:16 UTC
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Queste sono due domande indipendenti, una matematica e una sulle osservazioni.

  1. Quali vincoli implicano le equazioni di Einstein sulla struttura globale dello spazio e / o dello spaziotempo? Non conosco la risposta generale, la mia impressione è che non si sappia tanto sulle varietà lorentziane quanto sulle varietà euclidee. Inoltre, non c'è motivo di sospettare che lo spazio / spaziotempo sia privo di singolarità (per lo meno sappiamo di molti buchi neri nell'universo) e dubito che si possa dire molto sulla struttura globale di qualsiasi varietà se si consente singolarità.

  2. Riguardo alla fisica osservativa: l'unico osservabile a cui riesco a pensare che sia sensibile alla struttura globale sono i bassi multipoli del CMB, e ogni tanto ci sono articoli su il soggetto, per spiegare le anomalie in tali multipoli (ad esempio storie sull'universo a forma di calcio). Purtroppo, la varianza cosmica limita la serietà con cui puoi prendere tali osservazioni e modelli volti a spiegarle.

#6
+7
Vagelford
2010-12-11 18:22:36 UTC
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Sulla questione degli esperimenti e della topologia, c'è un lavoro sull'argomento di Glenn Starkman et al. Nel loro lavoro, cercano strutture nella CMB che indicherebbero una topologia particolare per l'universo. C'è una lezione molto carina sull'argomento in PI, oltre ad altre questioni che hanno a che fare con CMB. Per darti uno spoiler sulla lezione, non hanno trovato nulla in correlazioni ad ampio angolo.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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