Il problema con la meccanica orbitale è che diventa rapidamente estremamente complicata e difficile da dare un senso intuitivo. Tuttavia penso che ci sia un modo ragionevolmente semplice per mostrare quanto scarso effetto GR abbia su un'orbita di trasferimento Terra-Luna. Ma questo richiede un po 'di preparazione, quindi abbi pazienza mentre faccio una breve introduzione.

Spero che tutti coloro che leggono questo sito sappiano che l'energia potenziale gravitazionale è data dalla legge di Newton:

$$ V (r) = - \ frac {GMm} {r} $$

L'energia potenziale gravitazionale è dovuta alla forza gravitazionale attrattiva, ma per un oggetto orbitante esiste anche una centrifuga (fittizia) forza spingendolo verso l'esterno. Se calcoliamo l'energia potenziale dovuta alla forza centrifuga e la sommiamo all'energia potenziale gravitazionale, otteniamo un'energia potenziale effettiva:

$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} { r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} \ tag {1} $$

dove $ L $ è il momento angolare, che è una costante per un oggetto orbitante (perché il momento angolare è conservato in un campo centrale). Se calcoliamo $ V_ {eff} $ per un oggetto in un'orbita di trasferimento Terra-Luna, otteniamo un grafico come questo:

L'orbita circolare stabile è al minimo del potenziale, cioè a circa 384.400 km, il che è rassicurante in quanto questa è la distanza Terra-Luna. Fin qui tutto bene.

Ma quando includiamo gli effetti della Relatività Generale troviamo che modifica l'equazione per il potenziale effettivo. I dettagli sono forniti nell ' articolo di Wikipedia sulla geodetica di Schwarzschild, ma saltiamo i dettagli e forniamo semplicemente l'equazione per $ V_ {eff} $ inclusi gli effetti relativistici:

$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} {r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} - \ frac {GML ^ 2} {c ^ 2mr ^ 3} \ tag {2} $ $

Quindi, includere gli effetti relativistici aggiunge solo un terzo termine in $ r ^ {- 3} $.

Ora calcoliamo la posizione dell'orbita stabile trovando il minimo di $ V_ {eff} $, ovvero calcoliamo $ dV / dr $, lo impostiamo a zero e risolviamo l'equazione risultante per $ r $. Fare questo per il potenziale newtoniano (1) ci dà:

$$ r = \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} \ tag {3} $$

Trovare il minimo dell'espressione relativistica (2) è un po 'più complicato poiché si finisce con un quadratico da risolvere, ma un po' di giocherellare finisce con:

$$ r = \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + \ sqrt {1 - \ frac {12G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2}} \ right) $$

e possiamo approssimare la radice quadrata usando il teorema binomiale per ottenere:

$$ \ begin {align} r & \ approx \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + 1 - \ frac { 6G ^ 2 M ^ 2 m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2} \ right) \\ & \ approx \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} - \ frac {3GM} {c ^ 2} \ tag {4 } \ end {align} $$

E confrontando le nostre distanze Newtoniane (3) e relativistiche (4) calcolate, troviamo che la differenza tra loro è:

$$ \ Delta r \ approssimativamente \ frac {3GM} {c ^ 2} \ approx 1.3 \ text {cm} $$

Ecco quanta differenza, inclusa la relatività generale, fa per l'orbita di trasferimento Terra-Luna calcolata - circa 1,3 cm!

Il Jet Propulsion Laboratory ha incorporato effetti relativistici generali nella sua integrazione numerica dei pianeti dalla metà alla fine degli anni '60. Ad esempio, le effemeridi JPL DE19, rilasciate nel 1967, incorporavano effetti relativistici nella sua modellazione del sistema solare.

Questo non è stato di grande aiuto. Se avessero ignorato gli effetti relativistici, gli effetti sarebbero stati scarsi. Gli errori in quelle vecchie effemeridi del JPL si accumulavano rapidamente, degradandosi all'inutilità in pochi anni. La maggior parte di questi errori erano dovuti a capacità di calcolo estremamente scadenti (il tuo laptop / computer di casa è molto più potente del più grande supercomputer del 1960) e misurazioni piuttosto scadenti (il JPL Deep Space Network era ancora agli inizi).

Altre parti della NASA, comprese altre parti del JPL, non hanno incorporato effetti relativistici nella loro propagazione della loro navicella spaziale. Non aveva molto senso. Negli anni '60, il modello della NASA del campo gravitazionale terrestre era un modello di armoniche sferiche 4x4 e della Luna, un semplice modello gravitazionale sferico. (Confrontalo con il modello di gravità terrestre 2159x2159 EGM2008 e il modello di gravità lunare 900x900 GRGM900C.) Gli errori indotti da queste limitazioni note sminuiscono l'errore non modellando quei piccoli effetti relativistici.

Nel 1968, la NASA era abbastanza scioccati dagli errori di 2 chilometri che stavano vedendo nelle loro sonde lunari e nel volo dell'Apollo 8 del 1968. Questo è stato qualcosa che la NASA ha inseguito. Si scopre che il lato più vicino della Luna ha cinque grandi concentrazioni di massa che rendono ridicolo quel semplice modello di gravità sferica. Valeva la pena correggere questo problema.

Non stai modellando gli effetti relativistici? In molti casi, non vale ancora la pena correggerlo. Fino a poco tempo fa, sono stato l'architetto chiave di gran parte del software di meccanica orbitale utilizzato presso il Johnson Space Center della NASA. Ho chiesto su base annuale di poter aggiungere effetti relativistici ai nostri calcoli gravitazionali. Quella richiesta veniva rifiutata, ogni anno. L'ho chiesto perché volevo inserirlo, non perché è importante per modellare il comportamento dei veicoli spaziali.

La relatività generale ha un effetto minuscolo sui veicoli spaziali. Non sono abbastanza a lungo per vedere gli errori che derivano dall'ignorare quegli effetti per crescere. Ignorare gli effetti relativistici induce un errore minuscolo nello stato propagato, completamente sommerso da altri errori. Ad esempio, nel caso di un veicolo in orbita terrestre bassa, le incertezze nell'atmosfera superiore della Terra sono enormi. Un piccolo brillamento solare è tutto ciò che serve per far gonfiare l'atmosfera superiore della Terra come un pallone. Non ha senso modellare gli effetti relativistici quando la resistenza è di diversi ordini di grandezza superiore e quando si è fortunati a sapere che la resistenza è in due punti di precisione.

Nel caso di un veicolo che va sulla Luna o su un altro pianeta, gli errori nei sistemi di guida, navigazione e controllo ancora una volta sommergono gli effetti dell'ignorare la relatività. Questi errori, insieme ad altri, devono essere corretti affinché la navicella non raggiunga il bersaglio. Ogni astronave che va su un altro corpo del sistema solare deve effettuare almeno una correzione a metà percorso lungo il percorso. Nel peggiore dei casi, ignorare gli effetti relativistici significa semplicemente dover portare un po 'di carburante in più per quelle correzioni intermedie.

Alcuni controlli di sanità mentale senza effettivamente calcolare nulla:

In primo luogo, l'errore dovuto al trascurare la relatività generale è così piccolo che non ha influenzato la previsione delle eclissi lunari e non è stato effettivamente notato da nessuna parte tranne che in L'orbita di Mercurio (almeno non fino a quando non hanno creato esperimenti appositamente progettati per rilevare discrepanze minori). So che questo non dà una risposta completamente soddisfacente, ma la luna ei nostri razzi seguono le stesse leggi fisiche e se la meccanica di Keplero è abbastanza buona per la luna, è abbastanza buona per il razzo.

Secondo, la precisione della forza di spinta e della durata del razzo, specialmente mezzo secolo fa, era limitata. Le precisioni nell'ingegneria delle macchine brute (che un razzo a combustibile solido qualifica sicuramente come) sono ottimisticamente intorno ai tre decimali, il che è molto peggiore della precisione a cui è stata verificata sperimentalmente la tenuta della dinamica newtoniana. / p>

Terzo, durante il volo vengono apportate modifiche alla rotta per correggere la traiettoria e arrivare alla destinazione corretta. Quindi non ci affidiamo a un lancio estremamente preciso per eliminare l'accumulo di errori.

In breve, gli effetti della relatività generale sono completamente oscurati dalle imperfezioni dei macchinari in metallo duro, quantità di carburante scarsamente misurate, impurità del carburante, combustione irregolarità, turbolenza e aerodinamica generale nell'atmosfera durante il lancio, peso del carico utile determinato in modo impreciso, escrementi di uccelli sul parabrezza e così via. Dato che siamo arrivati ​​sulla luna con la tecnologia steampunk, la relatività generale può essere tranquillamente ignorata per i viaggi spaziali, almeno se sei abbastanza lontano da una stella.

Ovviamente non significa che la relatività generale non sia visibile altrove. Il GPS ne è decisamente influenzato e anche il nostro cronometraggio è sufficientemente preciso da rilevare una differenza di orario se sali su una montagna e scendi.

Inizierò a lanciare la palla su questo. La mia conoscenza di GR probabilmente non è abbastanza buona per rendere questa una risposta veramente soddisfacente ...

L'accelerazione gravitazionale per un oggetto che si muove radialmente a velocità non relativistiche nella metrica di Schwarzschild è modificata di un fattore $ (1 - r_s / r) (3 [1-r_s / r] -2) $, dove $ r_s = 2GM / c ^ 2 = 0,00885 m $ per la Terra.

Se prendiamo una Terra bassa orbita di poche centinaia di chilometri, il fattore è $ 0.999999995 $. Da qualche parte tra la Terra e la luna è $ 0,9999999998 $.

Quindi, se fai qualcosa di stupido come usare un'equazione di accelerazione uniforme per 3 giorni, allora l'imprecisione posizionale (radiale) che risulta proviene dal campo gravitazionale volte $ t ^ 2 $ moltiplicato per i fattori sopra. Penso che il secondo fattore sia più realistico poiché la maggior parte del tempo è stato trascorso tra la Terra e la Luna. Il campo gravitazionale qui è dell'ordine di 0,02 m / s $ ^ 2 $, dando un errore di posizione dell'ordine di grandezza dopo un volo di 3 giorni di 0,3 metri, o un po 'più grande se si trascorre più tempo in un campo gravitazionale più forte.

Tangenzialmente, immagino che possiamo fare un calcolo dell'ordine di grandezza utilizzando la dilatazione temporale metrica di Schwarzschild per la Terra all'orbita della luna. In primo luogo, un orologio sulla luna corre più veloce di uno sulla superficie terrestre con una velocità di $ (1- r_s / r) ^ {- 1/2} $, dove $ r \ sim 6,400 \ km $. Moltiplicando questo per 3 giorni, si ottiene un errore temporale di 0,2 milli-secondi, durante il quale la luna si è spostata (rispetto alla Terra) di circa 0,2 metri.

Quindi questo calcolo straordinariamente approssimativo sembra indicare che GR non è nulla di cui preoccuparsi qui. Ma sono sicuro che qualcuno può fare un lavoro più accurato. In ogni caso, non credo che la premessa della domanda sia corretta, poiché le correzioni dei voli in transito e in orbita potevano e venivano fatte (più volte) durante i voli Apollo.

Considera che non sarebbe particolarmente difficile effettuare un atterraggio di tipo Apollo se ciascuna delle tue misurazioni relative di velocità, portata e angolare fosse scostata del +/- 5%.

Potresti semplicemente fare piccole correzioni iterative lungo il percorso, fino a quando i valori assoluti non erano abbastanza piccoli da rendere gli errori relativi irrilevanti. Nella peggiore delle ipotesi, dovresti avere un margine di sicurezza leggermente maggiore nel carburante.

Assolutamente potremmo, e in effetti, sospetto fortemente che la Relatività Generale non sia mai stata usata nel programma Apollo. per prima cosa, i computer di navigazione di bordo non erano neanche lontanamente abbastanza potenti per eseguire calcoli utili con GR.

d'altra parte, è possibile misurare la posizione della luna entro pochi centimetri (molto più accurato di quanto sia necessario per far arrivare una navicella lì in sicurezza) ed è certamente necessario utilizzare GR per modellarlo dati accurati.