Domanda:
Una spiegazione pedonale dei blocchi conformi
user346
2010-12-10 21:06:34 UTC
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Sarei molto felice se qualcuno potesse provare a trasmettere cosa sono i blocchi conformi e come vengono utilizzati nella teoria dei campi conformi (CFT). Sto finalmente ottenendo un barlume di comprensione leggendo il meraviglioso articolo di Moore e Read. Ma penso / spero che questo sito abbia persone che possano spiegare le nozioni coinvolte in un modo più semplice e intuitivo.


Modifica: ecco un semplice esempio, preso dalla pagina 8 del riferimento citato sopra ...

In un CFT 2D abbiamo funzioni di correlazione dei campi $ \ phi_i (z, \ bar z) $, (dove $ z = x + \ imath y $) in vari punti del piano complesso . La funzione di correlazione a n punti può essere espansa come segue:

$$ \ left \ langle \ prod_ {a = 1} ^ n \ phi_ {i_a} (z_a, \ bar z_a) \ right \ rangle = \ sum_p | F_ {p \; i_ {1} \ dots i_n} (z_ {1} \ dots z_n) | ^ 2 $$

Qui $ p $ etichetta i membri di una base di funzioni $ F_ {p \; i_1 \ dots i_n} (z_ {1} \ dots z_n) $ che si estendono su uno spazio vettoriale per ogni n-tupla $ (z_ {1} \ dots z_n) $

Queste funzioni $ F_p $ sono note come blocchi conformi e sembrano dare una scomposizione "fourier" delle funzioni di correlazione.

Questo è ciò che ho raccolto finora. Se qualcuno potesse elaborare con più esempi sarebbe meraviglioso!


Modifica: si sta dimostrando molto difficile decidere quale sia la risposta "corretta". Gli darò ancora qualche giorno. Forse la situazione cambierà!


La risposta "corretta" va a (rullo di tamburi): David Zavlasky. Beh, sono tutte ottime risposte. Ho scelto quello di David per i cinque punti extra perché il suo è il più semplice, IMHO. Cita anche il "rapporto incrociato" che è un elemento costitutivo di CFT.

Blocchi conformi? Mai sentito parlare di loro. Sembra una teoria marginale (forse sensata, forse stravagante).
Wacky? Lontano da esso. Per chiunque abbia familiarità con CFT sono strumenti di pane e burro.
@space_cadet: Devo dire che anche io non ho mai sentito il termine. Qualcuno si preoccupa di fornire una breve spiegazione o riferimento? A proposito, la sensazione che ottengo dal termine * blocco conforme * è che dovrebbe fare con i blocchi del flusso di gruppo di rinormalizzazione standard attorno al punto critico su un reticolo (dove la teoria guadagna simmetria conforme nel limite del continuo). È rilevante o è solo una coincidenza?
[email protected]_Cadet: Ho detto * possibilmente *. La teoria del campo conforme in sé non è un'area ampiamente studiata! Marek ha ragione; una breve spiegazione / riferimento non farebbe male.
@noldorin. Hai ragione. Potrebbe essere ** possibilmente ** stravagante ;-). Porterò un debole esempio che la mia comprensione permette.
@Noldorin: Devo correggerti lì. La teoria del campo conforme è ** tra le teorie più studiate attualmente ** ;-) È una base della teoria delle stringhe (il foglio del mondo delle stringhe è un oggetto 2D che possiede una simmetria conforme). È anche uno strumento importante nella fisica statistica e nella fisica della materia condensata perché i modelli attorno al punto critico mostrano una lunghezza di correlazione infinita e questo significa simmetria conforme. È importante anche in molte altre aree e nella matematica pura (Smirnov ha ottenuto una medaglia Fields proprio quest'anno). Quindi ecco :-)
Grazie @space_cadet: per l'elaborazione. Temo di non poterti aiutare, ma ho votato in alto la domanda e attendo con impazienza le risposte io stesso :-)
@Marek: Oh, avevo l'impressione che la meccanica newtoniana fosse leggermente più studiata. Sciocco, sciocco io. * Alza gli occhi al cielo *
@Noldorin: se fossi sarcastico nel tuo commento originale (o lo sei ora) allora mi dispiace. È sempre stato difficile per me rilevare il sarcasmo su Internet :-)
@Marek: Penso che sia vero per tutti, è sempre più difficile rilevare il sarcasmo online. Ad ogni modo, ho esaminato solo un po 'la teoria dei campi conformi, e sebbene non sia la cosa più studiata là fuori, è certamente la fisica tradizionale. Noldorin, mi sembra di ricordare che hai detto che non hai ancora studiato QFT, e dato questo, non sarebbe una sorpresa che tu non abbia sentito parlare di CFT. Vedrò se riesco a rispondere a questa domanda più tardi. (nessuna garanzia però)
Approssimativamente, potresti pensare ai blocchi conformi come analoghi delle espansioni nelle armoniche sferiche. Potrei o non potrei arrivare a scrivere qualcosa di più dettagliato.
@David: Hai ragione, ne so solo una piccola parte. Tuttavia, mi piace pensare di aver sentito parlare della maggior parte delle teorie non stravaganti e di gran parte del gergo! Oh bene. :)
@Matt Reece: Leggere attentamente; non è quello che stavo insinuando. Stavo solo suggerendo che è del tutto possibile che molti fisici / studenti che visitano questo sito * potrebbero * non avere familiarità con il termine, a causa di quanto sia ristretto all'interno della fisica.
@Noldorin: non sottovaluta mai la capacità dei fisici di inventare teorie e gergo ;-) Sono abbastanza sicuro che ci sono più teorie là fuori, anche in un singolo sottocampo della fisica, di quante una persona potrebbe mai imparare in un'intera vita - come uno studente universitario, non avevo idea che la maggior parte delle cose con cui lavoro ora esistesse.
@David: Hai ragione! Dovrei essere un po 'più modesto e non presumere che anche i più grandi sottocampi della fisica mi siano tutti noti! Ce ne sono di nuovi che spuntano ogni settimana probabilmente, come suggerisci!
Ho passato un po 'di tempo a leggere articoli che hanno a che fare con i blocchi conformi. Non posso dire di aver capito niente però. Ma mi sono anche imbattuto in questa [raccolta di riferimenti] (http://ncatlab.org/nlab/show/conformal+block) su nLab. Mi piace particolarmente il secondo di Beauville e Laszlo ma è meglio che tu conosca un po 'di geometria algebrica per seguirlo. Controlla anche l'ultimo documento di Mironov, Morozov, Shakirov e riferimenti in esso.
grazie per i riferimenti @marek, ma sembrano tutti orientati verso i matematici. Probabilmente mi daranno bruciore di stomaco!
@space_cadet: sì. Ovviamente ha a che fare con un'enorme quantità di lavoro recente sulla teoria delle stringhe e sulla geometria. Non avevo idea che il termine fosse così importante. A proposito, che ne dici di [questo] (http://books.google.cz/books?id=keUrdME5rhIC), sezione 9.3?
@marek - DiFrancesco è il riferimento canonico per CFT. Spero di evitare tutto quel duro lavoro imparando da alcune delle persone sagge su questo sito.
@space_cadet: Non lo sapevo. Per inciso, è un libro da cui stavo imparando CFT (e penso che sia un ottimo libro) ma non sono mai arrivato al nono capitolo.
@Matt Reece: Sarebbe molto bello se potessi fornire ulteriori approfondimenti sull'argomento :)
Ho letto velocemente e sembra che i blocchi conformi siano effettivamente correlati all'argomento su cui sto facendo ricerche (anche se non ho mai sentito il termine prima). Quindi penso che per me varrà la pena approfondire la questione e cercherò di scrivere quello che trovo.
@David: non vede l'ora. Mi piacerebbe anche fare ricerche su questo e esaminarlo più da vicino, ma ci sono così tante cose da studiare che non c'è modo di imparare tutto ciò che si vorrebbe. Quindi è fantastico che qualcun altro lo stia facendo (o idealmente lo ha già fatto) per te. È qui che risiede il più grande potenziale di siti come questo.
Correlati: http://physics.stackexchange.com/questions/116530/calculation-of-conformal-block-co-effecients
@Noldorin, la pagina del tour nel menu di aiuto di Physics.SE dice che questo sito è destinato a una vasta gamma di persone, inclusi ricercatori attivi.Ciò significa accogliere non solo domande ampiamente accessibili complete di collegamenti di sfondo, ma anche domande tecniche impenitenti che potrebbero richiedere anni di background accumulato per avere un senso.Sebbene non siano sempre all'altezza, penso che Physics.SE e Math.SE siano al loro meglio quando incoraggiano le persone a diversi livelli di raffinatezza a socializzare in modo stimolante e non intimidatorio.Dall'ultimo commento di David Z, sembra che sia successo qui!
Ho iniziato una bozza di articolo di Wikipedia sui blocchi conformi di Virasoro.Suggerimenti, feedback e contributi sono i benvenuti.https://en.wikipedia.org/wiki/Draft:Virasoro_conformal_block
Cinque risposte:
#1
+26
Scott Carnahan
2010-12-21 00:10:47 UTC
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Ora che abbiamo la prospettiva di un fisico, non mi sento male a delineare blocchi conformi dal punto di vista di un matematico. Presumibilmente c'è un dizionario che collega i due mondi, ma non capisco abbastanza bene la fisica per dire frasi coerenti al riguardo. Mi scuso in anticipo per qualsiasi confusione: questo non è un argomento molto pedonale.

Affronterò i blocchi conformi dal punto di vista delle algebre di vertice conformi, che tipicamente compaiono in matematica come strutture algebriche che puoi usare per dimostrare teoremi nella teoria della rappresentazione. Le algebre dei vertici sono spazi vettoriali $ V $ dotati di una "moltiplicazione con singolarità" $ V \ otimes V \ to V ((z)) $ che codifica uno sforzo migliore per moltiplicare i campi quantistici (che a volte sono chiamati "distribuzioni con valori di operatore" ). La moltiplicazione a sinistra per un elemento $ u $ produce una serie di potenze formali $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} u_n z ^ {- n-1} $ i cui coefficienti sono operatori. Per rendere conforme un'algebra di vertice si deve scegliere un vettore distinto $ \ omega $ i cui operatori corrispondenti generano un'azione dell'algebra di Virasoro, che è un'estensione centrale dell'algebra di Lie complessata dei campi vettoriali polinomiali sul cerchio. Concettualmente non si perde molto pensando a Virasoro come lo spazio tangente del gruppo $ Diff (S ^ 1) $ all'identità, ma c'è in gioco un'anomalia di "carica centrale diversa da zero" che può rendere necessaria l'estensione centrale. Il cerchio compare qui perché è il confine di una foratura dove inseriremo un campo.

La mia comprensione dell'interpretazione fisica è la seguente immagine incompleta e forse errata: all'interno di una teoria del campo conforme 2D, esiste un'algebra di simmetrie chirali (ad esempio, con movimento a sinistra), e questa è precisamente l'informazione catturata dal conformal algebra dei vertici. Lo spazio degli stati nella teoria si decompone in un insieme di "settori" che sono moduli dell'algebra dei vertici. Se scegliamo una superficie di Riemann (che è una sfera nella maggior parte dei libri di testo) e colleghiamo stati da vari settori a un insieme di punti distinti, dovremmo ottenere un insieme di ampiezze, che sono valori di funzioni di correlazione chirale attaccate a questi dati di input. Ho sentito che c'è un modo per passare dal materiale chirale alla teoria del campo conforme vera e propria, dove l'ambiguità nei correlatori scompare e si ottengono funzioni di correlazione oneste, ma non l'ho visto nella letteratura matematica. In ogni caso, i blocchi conformi vivono all'interno di questa macchina: dati i settori attaccati a punti su una superficie di Riemann, un blocco conforme è un gadget che mangia le scelte degli stati in quei settori e fornisce valori delle funzioni di correlazione in modo coerente con le simmetrie chirali .

Ecco uno schizzo della costruzione matematica, dovuta a Edward Frenkel (e descritta più dettagliatamente nel suo libro Vertex Algebras and Algebraic Curves con David Ben-Zvi): C'è una "metà positiva "dell'algebra di Virasoro, attraversata dai generatori $ -z ^ n \ frac {d} {dz} $ per $ n \ geq 0 $, e genera l'algebra di Lie delle derivazioni sul disco complesso infinitesimale, e agisce anche sul disco algebra conforme ai vertici $ V $. Possiamo usare questa azione per costruire un bundle vettoriale $ \ mathscr {V} $ con connessione piatta sulla nostra superficie di Riemann scelta dal metodo di "geometria formale" di Gelfand-Kazhdan (che non descriverò). Date le forature $ p_1, \ dots, p_n $, si costruisce, dal complesso di De Rham di $ \ mathscr {V} $, un'algebra di Lie $ L $ che agisce naturalmente su $ n $ -tuple di $ V $ -moduli. Dato $ V $ -modules $ M_i $ allegato ai punti $ p_i $, un blocco conforme è una mappa $ L $ -module da $ \ bigotimes M_i $ al modulo banale.

In generale è abbastanza difficile eseguire calcoli espliciti con blocchi conformi, a causa della quantità di geometria coinvolta. Se la tua superficie Riemann ha maniglie, dovrai fare i conti con una scelta di struttura complessa, e se ha molte forature, dovrai fare i conti con un complicato spazio di configurazione dei punti. Di solito vedi diagrammi a livello di albero con 4 ingressi, perché:

  1. È qui che appare il minimo indispensabile della geometria - poiché il gruppo automorfismo della complessa linea proiettiva è triplicamente transitivo, lo spazio di configurazione di quattro punti è una linea punteggiata tre volte (con cui intendo una sfera).
  2. A seconda del livello di dettaglio che cerchi, spesso è tutto ciò di cui hai bisogno: gli spazi dei blocchi possono essere assemblati incollando insieme le superfici dai pantaloni e prendendo somme sui settori in cui avviene la cucitura. Nella complessa immagine algebro-geometrica, questa cucitura significa attaccare delle sfere insieme trasversalmente in punti per ottenere una curva nodale. Si deforma quindi per ottenere una curva complessa liscia e si effettua un trasporto parallelo lungo il percorso corrispondente nello spazio dei moduli delle curve contrassegnate. La configurazione a quattro punti è una situazione in cui hai esattamente un'operazione di cucito (e l'altra situazione è un toro perforato, che è importante per ottenere i caratteri).

Infatti, quando il la teoria del campo conforme è adeguatamente ben comportata (leggi: razionale), si ottengono le dimensioni degli spazi di tutti i blocchi conformi dalle sole dimensioni dei blocchi di genere zero a tre punti, noti anche come costanti di struttura dell'algebra di fusione. Si vede questo nella formula di Verlinde, per esempio.

Penso che gli esempi di blocchi conformi abbiano una certa complessità necessaria, ma ecco una panoramica di un caso ragionevolmente semplice che è motivato dal modello WZW. Scegli un semplice gruppo di Lie, come $ SU (2) $, e un livello $ \ ell $ (che possiamo vedere come un numero intero positivo). Si costruisce l'algebra dei vertici ed i suoi moduli come rappresentazioni integrabili di livello $ \ ell $ dell'algebra affine di Kac-Moody Lie $ \ hat {\ mathfrak {sl} _2} $, che è un'estensione centrale dell'algebra ad anello della complessificazione di l'algebra di Lie $ \ mathfrak {su} _2 $. Se scegliamo una superficie di Riemann (come una sfera) e decoriamo i punti con il solo modulo del vuoto, otteniamo uno spazio di blocchi conformi che è lo spazio delle sezioni globali di un certo fascio di linee $ L_G ^ {\ otimes \ ell} $ sullo spazio dei moduli di $ SU (2) $ fasci sulla superficie. Qui $ L_G $ è l'ampio generatore del gruppo Picard dello spazio dei moduli.

"questo non è un argomento molto pedonale" - LOL
Finalmente una risposta posso votare! E vorrei poter spendere tre voti ora :-)
mi avevi alle "algebre dei vertici conformi"
Bello. Sono curioso di sapere perché i matematici non sono riusciti a "passare dal materiale chirale al CFT". Penso che ci sia qualche bella matematica lì, ed è cruciale per la fisica. Inoltre, le D-branes entrano nella storia quando inizi a pensare a come incollare insieme i bit chirali che si muovono a sinistra e a destra. La classificazione delle D-branes (aka stati al contorno) in RCFT sembra un problema che i matematici vorrebbero e sarebbe naturale per le persone che studiano i VOA ma in qualche modo non ha preso piede. Non è noto o è noto ma considerato poco interessante?
Credo che ci sia più di un gruppo che lavora sul passaggio a CFT, e più di un gruppo che lavora sulla questione degli stati di confine. Il mio problema principale per comprendere lo stato attuale della letteratura è che non so quanto bene la definizione dei matematici di CFT corrisponda agli oggetti che i fisici usano effettivamente. Fuchs, Runkel, Schweigert e collaboratori hanno scritto una grande raccolta di articoli su RCFT, ma non so se lavorano con le brane in senso fisico.
Secondo il commento di Jeff, la combinazione di settori che si spostano a sinistra e a destra è già presente nella necessità di costruire una funzione di partizione. Questa combinazione è probabilmente il motivo per cui la matematica è in ritardo: l'insufficiente incorporazione del comportamento antiolomorfico nella teoria (e in modo simile per i TFT). Cercherò di indicare BZ in questo modo e di farlo pesare.
@Scott: Posso più o meno seguire la risposta ma in certi punti mi sono perso. Potresti per favore spiegare (o fornire solo riferimenti sarebbe fantastico) * geometria formale *, $ L_G ^ {\ otimes \ ell} $ e * ampio generatore *? Inoltre, quale background è necessario per capirlo un po 'meglio? Mi dispiace se queste domande non hanno molto senso ma mi piacerebbe sapere almeno un po 'di queste cose e non so da dove cominciare. Inoltre, mi chiedo se questo sarebbe una domanda MO abbastanza buona, ma credo di essere troppo confuso per chiedere qualcosa di significativo in questo momento.
Se qualcun altro vorrebbe sapere cos'è un * ampio generatore *: è solo un generatore del gruppo Picard (quindi questo presume che sia ciclico; o almeno monogenico) che è anche un ampio fascio di linee. Per maggiori dettagli, vedere [questa risposta su MO] (http://mathoverflow.net/questions/50006/what-is-ample-generator-of-a-picard-group/50009#50009). Sono rimasto piacevolmente sorpreso che la mia domanda confusa abbia effettivamente ottenuto una bella risposta :-)
@ScottCarnahan È possibile ottenere i blocchi conformi per una superficie di Riemann iperbolica incollando i blocchi conformi?Mi aspetto che il risultato dipenda dalle coordinate Fenchel-Nielsen attraverso l'incollaggio.C'è una tale costruzione?Sarebbe fantastico se tu potessi fornire un riferimento se esiste.
@QGravity La risposta è più o meno "sì", ma è delicata.Al momento non ci sono riferimenti affidabili.
#2
+24
David Z
2010-12-20 15:34:47 UTC
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Ho letto un po 'di questo e si è scoperto che i blocchi conformi sono in realtà abbastanza rilevanti per la mia ricerca! Quindi ho pensato che valesse la pena di indagare in modo più dettagliato. Non ho mai studiato formalmente la teoria dei campi conformi, ma spero di non scrivere nulla di completamente sbagliato qui. (Ho perso la mia prima bozza e ho dovuto ricostruirla, motivo per cui ci è voluto così tanto tempo)


Nella teoria dei campi conforme, è comune rappresentare coordinate su uno spazio bidimensionale utilizzando numeri complessi , quindi $ \ vec {r} = (x, y) $ diventa $ \ rho = x + iy $. In questa notazione, la teoria è invariante rispetto all'azione di una trasformazione di Möbius (nota anche come trasformazione conforme),

$$ \ rho \ to \ frac {a \ rho + b} {c \ rho + d} $$

in cui $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ sono costanti complesse che soddisfano $ ad - bc \ neq 0 $. La trasformazione ha tre gradi di libertà complessi: in altre parole, se specifichi tre punti iniziali e tre punti finali sul piano complesso, c'è una trasformazione di Möbius unica che mappa quei tre punti iniziali sui tre punti finali.

Quindi qualsiasi funzione di quattro coordinate sul piano, ad esempio una funzione di correlazione a quattro punti di campi quantistici,

$$ G_4 = \ langle \ phi_1 (\ rho_1, \ rho_1 ^ *) \ phi_2 (\ rho_2, \ rho_2 ^ *) \ phi_3 (\ rho_3, \ rho_3 ^ *) \ phi_4 (\ rho_4, \ rho_4 ^ *) \ rangle $$

ha un solo grado di libertà reale , dopo aver scomposto le libertà di misura corrispondenti alla trasformazione di Möbius. In altre parole, puoi mappare tre qualsiasi di queste coordinate su tre punti di riferimento fissi (ad esempio $ 0 $, $ 1 $ e $ \ infty $) e ti rimane una funzione di una sola variabile, qualcosa come

$$ x = \ frac {(\ rho_4 - \ rho_2) (\ rho_3 - \ rho_1)} {(\ rho_4 - \ rho_1) (\ rho_3 - \ rho_2)} $$

Questo apre la porta a scrivere $ G_4 $ come una semplice funzione di questo rapporto (almeno, più semplice di una funzione di quattro coordinate indipendenti).

La parte particolare di CFT in cui vengono applicati i blocchi conformi (per quanto ne so, sto cominciando a uscire un po 'dalla mia profondità qui) ha a che fare con le algebre di Virasoro. In particolare, il modo in cui i singoli campi $ \ phi_i $ si trasformano in una trasformazione conforme è descritto dal gruppo definito dall'algebra di Virasoro. La funzione a quattro punti $ G_4 $ può essere scritta come somma di contributi da diverse rappresentazioni del gruppo,

$$ G_4 (\ rho_1, \ rho_2, \ rho_3, \ rho_4) = \ sum_l G_l f (D_l, d_i, C, x) f (D_l, d_i, C, x ^ *) $$

Qui $ l $ indicizza le diverse rappresentazioni; $ C $ è una costante (la "carica centrale" dell'algebra di Virasoro); e $ d_i $ e $ D_l $ sono rispettivamente dimensioni anomale dei campi esterni e del campo interno. La funzione $ f $ è chiamata blocco conforme.

Feynman diagram

$ f $ è utile perché può essere calcolato (in linea di principio o in pratica, non sono sicuro di quale) utilizzando solo le informazioni su una singola rappresentazione del Gruppo Virasoro. Può essere espresso come una serie in $ x $ di una forma nota, i cui coefficienti dipendono dalla struttura del gruppo.

Ulteriori letture

  1. Belavin A. Simmetria conforme infinita nella teoria quantistica dei campi bidimensionale. Fisica nucleare B . 1984; 241 (2): 333-380. Disponibile su: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X.
  2. Zamolodchikov AB. Simmetria conforme in due dimensioni: una formula di ricorrenza esplicita per l'ampiezza dell'onda parziale conforme. Communications in Mathematical Physics (1965-1997) . 1984; 96 (3): 419-422. Disponibile su: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103941860.
  3. Zamolodchikov AB. Simmetria conforme nello spazio bidimensionale: rappresentazione ricorsiva del blocco conforme . Fisica teorica e matematica . 1987; 73 (1): 1088-1093. Disponibile su: http://www.springerlink.com/content/khq7730604681676/.

e naturalmente il libro di DiFrancesco et al.

Ottimo lavoro!
Risposta abbastanza carina, anche se in realtà non parla affatto dei blocchi :-)
Se elaborassi il tipo di oggetti che sono i blocchi e / o aggiungessi un'applicazione di esempio, darei +1.
Quindi le funzioni di correlazione per meno di 4 campi sono zero? E $ f (D_l) $ (il "blocco conforme") è fondamentalmente un propagatore? Inoltre, la variabile $ x $ è nota come "rapporto incrociato" dei quattro punti $ (\ rho_1, \ rho_2, \ rho_3, \ rho_4) $. Ottimo lavoro, @david!
@space_cadet: bene, per meno di quattro campi il valore di una funzione di correlazione dovrebbe essere completamente determinato da pochi punti fissi. Immagino che questo renderebbe zero l'unico valore "normalizzabile" possibile. Ma come ho detto, non ho davvero studiato CFT in dettaglio, quindi non potrei dirtelo con certezza. Inoltre, il riferimento 2 suggerisce che $ f $ è un propagatore attaccato a due vertici, ma per una scelta specifica della dimensione anomala del campo interno.
@Marek: hai ragione, non ho davvero parlato dei blocchi perché non riuscivo a dare un senso alla maggior parte di ciò che ho letto su di loro ;-) Ho pensato che non potesse far male pubblicare semplicemente quello che ho inventato piuttosto che ritardare ulteriormente. Tornerò e modificherò questa risposta quando ne saprò di più.
@David: abbastanza giusto. Devo dire per me stesso che sono stato bloccato dai blocchi allo stesso modo. L'unica cosa che aveva un senso era il trattamento matematico (link a cui si può trovare nei miei commenti sopra) ma era ancora piuttosto difficile e, cosa più importante, non vedevo più alcuna fisica in esso. Quindi alla fine non sono arrivato da nessuna parte.
Per la domanda sulle funzioni di correlazione di meno di 4 operatori: le funzioni a 2 punti sono determinate solo dalla dimensione $ \ Delta $ dell'operatore $ {\ cal O} $, $ \ left <{\ cal O} (x) { \ cal O} (y) \ right> = | xy | ^ {- 2 \ Delta} $. (In particolare, le funzioni a 2 punti di operatori di diversa dimensione sono zero.)
Le funzioni a tre punti sono determinate dalla simmetria conforme fino a una costante, $ \ left <{\ cal O} _i (x_1) {\ cal O} _j (x_2) {\ cal O} _k (x_3) \ right> = c_ {ijk} | x_1 - x_2 | ^ {\ Delta_k - \ Delta_i - \ Delta_j} | x_2 - x_3 | ^ {\ Delta_i - \ Delta_j - \ Delta_k} | x_1 - x_3 | ^ {\ Delta_j - \ Delta_i - \ Delta_k } $. I coefficienti $ c_ {ijk} $ nella funzione a 3 punti sono gli stessi che compaiono nell'espansione del prodotto dell'operatore.
L'unico altro commento generale che vorrei fare è che le nozioni di simmetria conforme e blocchi conformi hanno senso in qualsiasi numero di dimensioni, mentre la maggior parte di queste risposte sembra specializzarsi in due dimensioni. (La simmetria conforme in due dimensioni si allarga a un gruppo a dimensione infinita, motivo per cui è molto vincolante e ben compresa. Ma i blocchi conformi si applicano anche alle teorie dei campi di dimensioni superiori e non necessitano di questa struttura aggiuntiva.)
@matt se potessi elaborare un po 'come il gruppo conforme si presenta in più di due dimensioni, sarebbe fantastico! Forse potresti renderlo una risposta.
@Matt sei decisamente più qualificato per rispondere a questa domanda di me.
@DavidZ Quali sono i possibili modi / formalismi per determinare i blocchi conformi di un CFT con una simmetria affine?Diciamo che voglio calcolare i blocchi conformi di un CFT con simmetria Kac-Moody su una sfera con quattro forature e scriverli esplicitamente in termini di coordinata $ z $ sulla sfera.Quali sono i possibili modi / formalismi per farlo?Penso che se si conosce la realizzazione in campo libero dell'attuale algebra, si può usare il formalismo del gas di Coulomb.Tuttavia, mi interessa conoscere altri metodi / formalismi.
@QGravity Suggerirei di pubblicarlo come una nuova domanda.
#3
+20
David Ben-Zvi
2010-12-21 04:13:20 UTC
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Ci sono già belle risposte sia da una prospettiva fisica che matematica, spiegando l'idea di base - data l'algebra degli operatori olomorfi (o equivalentemente l'algebra di simmetria) di un CFT, possiamo scrivere una raccolta di equazioni (le identità di Ward ) che la funzione di partizione della teoria deve soddisfare su qualsiasi superficie di Riemann. Lo spazio delle soluzioni di queste equazioni è lo spazio dei blocchi conformi. Se abbiamo effettivamente un CFT completo, la funzione di partizione sarà un particolare blocco conforme. Ma dato qualsiasi blocco conforme possiamo ancora dare un senso alle funzioni di correlazione sulla superficie di Riemann, quindi possiamo eseguire gran parte della teoria dei campi.

Esiste una discreta quantità di lavoro matematico sull'estensione di un'algebra chirale a un CFT, soprattutto nel caso razionale (come ha sottolineato Scott, questo è un punto centrale dell'opera estesa di Fuchs, Schweigert, Runkel e collaboratori). Ciò comporta la ricerca di una combinazione invariante modulare di moduli per l'algebra chirale e può essere ridotta alla ricerca di moduli speciali (oggetti algebrici di Frobenius nella categoria dei moduli intrecciati con alcune condizioni). Nel caso irrazionale questa teoria è davvero agli inizi: c'è un'idea di cosa dovrebbero essere le brane, ma non esiste una teoria della struttura completa ..

Penso che un punto di vista molto illuminante sul conformal Blocks deriva dall'idea che un CFT chirale è più simile a una teoria quantistica tridimensionale [topologica] dei campi che a un CFT onesto (e questo può essere precisato nel caso razionale, vedi ad esempio il libro di Bakalov-Kirillov). Da questo punto di vista, abbiamo una QFT 3d che ha senso su sfondi curvi (di fatto topologicamente invarianti), quindi possiamo assegnare uno spazio di stati di Hilbert quantizzando la teoria su una superficie di Riemann volte R. Questo spazio di stati è il spazio dei blocchi conformi. Più in generale possiamo considerare operatori di linea in questa teoria tridimensionale, il che significa che possiamo inserire operatori in punti della superficie di Riemann volte R. Questi operatori corrispondono a moduli per l'algebra chirale, e lo spazio di Hilbert risultante è lo spazio dei blocchi conformi con inserimenti di moduli. Se abbiamo una CFT non razionale non otteniamo una QFT topologica 3d completa ma possiamo comunque assegnare spazi di Hilbert a superfici di Riemann o superfici con inserimenti di moduli, quindi blocchi conformi. (In una teoria a tutti gli effetti questi spazi vettoriali sarebbero costretti a dimensione finita dalla ben definizione della traccia dell'Hamiltoniano, che è zero in una teoria topologica).

#4
+14
Sylvain Ribault
2015-03-11 14:45:24 UTC
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Una teoria dei campi conforme è una teoria quantistica dei campi invariante rispetto alle trasformazioni conformi. A causa di questa invarianza, le funzioni di correlazione devono obbedire alle equazioni lineari chiamate identità di reparto conforme. I blocchi conformi non sono solo soluzioni delle identità di reparto conforme, ma in realtà elementi di una base particolare di soluzioni. Concentriamoci sulla CFT bidimensionale. In due dimensioni le trasformazioni conformi sono descritte da due algebre di Virasoro, chiamate movimento a sinistra (o olomorfo) e movimento a destra (o antiholomorphic).

La domanda è stata formulata in termini di blocchi conformi a $ n $ punti sul piano complesso, ma è tecnicamente più semplice considerare prima i blocchi conformi a punto zero sul toro . Questi sono solo caratteri di rappresentazioni dell'algebra di Virasoro. Supponiamo infatti di voler calcolare una funzione punto zero toro (funzione di partizione), $$ Z = \ mathrm {Tr} _S q ^ {E} \ bar {q} ^ {\ bar {E}} $$ dove $ q $ è il modulo (esponenziato) del toro, $ E $ e $ \ bar {E} $ sono gli operatori energetici associati rispettivamente alle algebre di Virasoro che si muovono a sinistra ea destra, e $ S $ è lo spazio degli stati di il tuo CFT. Lo spazio degli stati può essere scomposto in rappresentazioni delle algebre di Virasoro, $$ S = \ bigoplus_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} R \ otimes \ bar {R} $$ dove $ R, \ bar {R} $ sono rappresentazioni delle nostre due algebre di Virasoro, e gli interi $ m_ {R, \ bar {R}} $ sono le loro molteplicità. Quindi il calcolo della traccia su $ S $ si riduce alla somma degli stati in ciascuna rappresentazione $ R $ o $ \ bar {R} $, e tale somma è per definizione un carattere $$ \ chi_R (q) = \ mathrm {Tr} _R q ^ {E} = \ sum_L q ^ {E (L)} $$ dove $ L $ etichetta una base ortonormale di $ R $, composta da autovettori di $ E $. Quindi otteniamo $$ Z = \ sum_ { R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} \ chi_R (q) \ chi _ {\ bar {R}} (\ bar {q}) $$ Questa è la scomposizione del blocco conforme di $ Z $: i blocchi conformi $ \ chi_R (q) $, $ \ chi _ {\ bar {R}} (\ bar {q}) $ sono localmente olomorfi funzioni di $ q $ e $ \ bar {q} $, sono completamente determinate dalla simmetria conforme , e sono parametrizzate dalle rappresentazioni dell'algebra di simmetria. D'altra parte, le molteplicità $ m_ {R, \ bar {R}} $ sono lasciate indeterminate dalla simmetria.

Le stesse idee si applicano alla funzione sfera quattro punti . Una funzione a quattro punti può essere scomposta in prodotti di funzioni a tre punti inserendo un operatore di identità e otteniamo schematicamente $$ \ left< \ prod_ {i = 1} ^ 4 V_i (z_i, \ bar {z} _i) \ right> = \ sum_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} \ sum_ {L, \ bar {L}} \ left< V_1V_2 \ middle | (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ right> \ left< (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ middle | V_3V_4 \ right> $$ Ora risulta che una funzione a tre punti $ \ left< V_1 V_2 \ middle | (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ right> $, è determinato dalla simmetria conforme fino a un fattore $ C_ {1,2, (R, \ bar {R})} $ , che non dipende né da $ z_i, \ bar {z} _i $ né da $ L, \ bar {L} $, e abbiamo $$ \ left< \ prod_ {i = 1} ^ 4 V_i (z_i, \ bar { z} _i) \ right> = \ sum_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} C_ {1,2, (R, \ bar {R})} C _ {(R, \ bar {R}), 3,4} F_R (z_i) F _ {\ bar {R}} (\ bar {z} _i) $$ Il blocco conforme a quattro punti $ F_R (z_i) = \ sum_L \ cdots $ è completamente determinato dalla simmetria conforme. Dipende da tutti i parametri che si spostano a sinistra: le posizioni $ z_i $, la rappresentazione $ s $ del canale $ R $ e le rappresentazioni che si spostano a sinistra che corrispondono ai campi $ V_i $. Fino a fattori banali, un blocco conforme a quattro punti è in realtà una funzione del rapporto incrociato $ z = \ frac {(z_1-z_2) (z_3-z_4)} {(z_1-z_3) (z_2-z_4)} $: questa è una semplice conseguenza delle identità di Ward, che vale sia che tu abbia una simmetria conforme locale o globale. Un blocco conforme generalmente non obbedisce ad alcuna equazione differenziale in $ z $. Obbedisce a un'equazione di Belavin-Polyakov-Zamolodchikov solo se almeno uno dei campi $ V_i $ è un cosiddetto campo degenere.

I blocchi conformi sono utili perché sono quantità universali , nel senso che sono determinate dalla simmetria conforme. Per determinare le funzioni di correlazione in un modello specifico, tutto ciò che resta da fare è calcolare quantità dipendenti dal modello come le molteplicità $ m_ {R, \ bar {R}} $ e i fattori $ C_ {1,2, (R, \ bar {R})} $. Queste quantità dipendenti dal modello sono più semplici delle funzioni di correlazione: in particolare, dipendono tipicamente da un minor numero di parametri.

Per ulteriori dettagli in questo senso, vedere il mio articolo di revisione.

Salve Prof. Ribault, mi piacciono la sua risposta dettagliata e il suo profondo articolo di revisione.Posso farti una domanda veloce qui: ci sono casi di CFT con c≥1 sulla linea dei numeri reali che non sono la teoria di Liouville?
Per ogni $ c $ complesso hai, oltre alla teoria di Liouville, un modello minimo generalizzato.Il suo spettro è diagonale e contiene tutti i campi degeneri.
#5
+13
Eric Zaslow
2010-12-20 19:39:57 UTC
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La teoria del campo conforme è la teoria dell'invarianza di scala (o comportamento di grande ordine) in due dimensioni. Scalare significa dipendenza solo dagli angoli. In 2d, il gruppo di trasformazioni di conservazione dell'angolo (conforme) è infinito-dimensionale, e in effetti c'è solo un numero finito di gradi di libertà in una metrica 2d dopo trasformazioni conformi e diffeomorfismi. (I gradi di libertà sono lo spazio dei moduli delle superfici di Riemann.)

I campi in una teoria con simmetria conforme devono fornire rappresentazioni di questa algebra di simmetria, e tali rappresentazioni sono etichettate da un numero quantistico chiamato dimensione conforme o peso . Le trasformazioni stesse sono cambiamenti olomorfi di coordinate ($ z \ rightarrow f (z) $ e sono generate dall'algebra di Lie dei campi vettoriali olomorfi $ L_n: = -z ^ {n + 1} \ partial_z $ e dai loro coniugati complessi. Puoi calcolare questa algebra: $ [L_n, L_m] = (nm) L_ {m + n} $ che è chiamata algebra di Virasoro (ce ne sono due, uno con ze uno con z-bar). , questa algebra può essere corretta dall ' anomalia conforme parametrizzata dalla carica centrale ("centrale" perché il termine extra commuta con tutti gli altri).

Ora, proprio come in una teoria invariante di rotazione, se vuoi sapere come una soluzione gestisce una rotazione devi solo sapere in quale rappresentazione si trova lo stato, in una teoria conforme se vuoi cambiare le coordinate all'infinito devi solo sapere i pesi conformi dei campi. Ma tali trasformazioni sono cambiamenti di coordinate infinitesimali, quindi questo fornisce un'equazione differenziale che il correlatore deve osservare ey. Tutto nella teoria può essere scritto in termini di soluzioni a queste equazioni differenziali: queste sono chiamate blocchi conformi . (Ci sono soluzioni anche in $ \ bar {z} $.)

Questo metodo è dettagliato nel lavoro classico di Belavin, Polyakov e Zamolodchikov (NPB 241 (1988) p. 333) (un altro pioniere è Knizhnik).

p.s. La teoria delle stringhe riguarda le teorie dei campi 2d e la loro dipendenza dai moduli delle superfici di Riemann. La condizione che la teoria conforme sia priva di anomalie è il modo più comune per derivare formule dimensionali nella teoria delle stringhe.

Come la risposta di David, questa è una panoramica molto bella di CFT, ma ancora una volta non ci sono discorsi tecnici sulla natura e / o le proprietà dei blocchi conformi e / o alcuni semplici esempi che illustrino la loro utilità. Che è ciò che la domanda dell'OP chiede in realtà se l'ho capito correttamente.
Questa risposta combinata con la risposta di @david's, insieme formano un ottimo corso accelerato per CFT. Se riassunti come questi fossero presenti nell'introduzione dei capitoli, diciamo, nel libro di Polchinski, la vita sarebbe molto più semplice! :-)
Penso che tu abbia capito la natura dei blocchi meglio di me, almeno.
A Marek, la domanda chiedeva una spiegazione di "cosa sono i blocchi conformi e come vengono utilizzati nella teoria del campo conforme" e di "spiegare le nozioni coinvolte in un modo più semplice e intuitivo". Tutto questo può essere fatto senza equazioni. Ma più in generale, le persone tendono a contribuire con ciò che sono in grado di contribuire, dati i limiti della loro esperienza e il tempo / energia che mettono nella loro risposta.
@Eric: hai ragione, pensavo che la domanda riguardasse solo i blocchi conformi ma, leggendola di nuovo, può essere interpretata in questo modo. In ogni caso, non volevo offenderti. È solo che ho sempre la sensazione che tu abbia molto di più da dire e apprezzerei molto se potessi elaborare. Ovviamente capisco che il tuo tempo e / o energia a tua disposizione non è infinito.
@Marek: sì, di solito è una questione di tempo. Se non hai ancora figli, ecco una formula che di solito uso. Il primo figlio riduce il tuo tempo libero a un fattore epsilon. Il secondo bambino riduce all'epsilon del tempo rimanente, cioè epsilon al quadrato (questo diventa meno vero con l'avanzare dell'età).
@Eric: so [epsilon] (http://www.desipad.com/literature-poetry/1030-paul-erdos-mathematician-his-language.html) riduce il tuo tempo a epsilon - ha senso :-)


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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