Il percorso spazialmente chiuso e simile alla luce che sorge nello spaziotempo non Minkowskiano è già stato affrontato in modo molto dettagliato dalla risposta di Bob Bee e dalla risposta di Martin Ueding, quindi sono concentrarsi su una risposta basata interamente sulle equazioni di Maxwell per i mezzi dielettrici senza perdita nello spaziotempo piatto, Minkowskiano .
In questo caso, la risposta è decisamente sì - è fondamentalmente l'idea di un loop in fibra ottica e, inoltre, può teoricamente essere fatto in un perfettamente lossless modo. Non è così strano o meraviglioso come l'idea sembra a prima vista; in effetti, è semplicemente un caso particolare di una modalità cavità risonante chiamata modalità galleria sussurrata. Ho abbozzato due strutture dielettriche bidimensionali ( ie di estensione infinita nella direzione $ z $ fuori dalla pagina e con $ z $-simmetria di invarianza traslazionale) di seguito e le analizzeremo in coordinate polari cilindriche di seguito; discussioni analoghe valgono per una fibra ottica a sezione trasversale circolare piegata in un toro e analizzata con coordinate toroidali, ma il problema molto più fattibile di seguito illustra bene i principi fisici.
La struttura a sinistra è un anello ad alto indice di rifrazione di raggio finito circondato da regioni a basso indice di rifrazione. Quella a destra è una regione dielettrica circondata da un conduttore perfetto. Dovrei pensare che un'interpretazione ragionevole della tua domanda sia "possiamo impostare un campo con il vettore di Poynting $ \ mathbf {S} $ tangente all'anello, o sostanzialmente nella direzione dell'aumento dell'angolo polare, come mostrato sotto?".
La risposta (ho abbozzato come mostrarlo più in basso) è decisamente sì. Quello che si finisce con sono sussurrare modalità galleria delle strutture, cioè nella struttura a sinistra, il vettore Poynting punta tangente al canale dell'anello (nel limite della struttura grande) e in entrambe le strutture il campo la fase varia ovunque come $ e ^ {i \, \ nu \, \ varphi} $, dove $ \ nu $ è un numero intero, molto grande se l'anello è largo molte lunghezze d'onda per le velocità di fase corrette.
Il punto è che queste modalità sono soluzioni esatte delle equazioni di Maxwell, quindi come funziona questo quadrato con il fatto ben noto che quando pieghi una fibra ottica, perderà luce, in particolare nel caso del dispositivo a sinistra in alto ?
In primo luogo, questi non sono dispositivi pratici da usare: non c'è modo di far entrare o uscire la luce da essi. In secondo luogo, le perdite derivano effettivamente dalle curve, ma in queste strutture idealizzate ci sono condizioni di risonanza (che si manifestano come le equazioni agli autovalori che abbozzo di seguito) in cui la radiazione viene accoppiata di nuovo nella struttura di guida d'onda vicino a dove parte, e con il risultato netto di zero perdita e zero trasferimento di potenza in direzione radiale, grazie alla forma precisa del dispositivo e alla sintonizzazione di questa forma sulla frequenza di risonanza. È noto che una curva a curvatura costante ha modalità come quelle descritte, ma se si cerca di sfruttarle per curve a perdita zero, è necessario disporre di regioni di transizione lungo la fibra in cui la curvatura cambia in modo da poter accedere alla curva e alla radiazione si perde in questi punti in cui cambia la curvatura. Vedi:
William L Kath & G. A Kriegsmann, "Tunneling ottico: perdite di radiazioni nelle guide d'onda in fibra ottica piegate", App IMA J.. Matematica. 41 (2): 85-103 · gennaio 1988
Il dispositivo a destra è meno misterioso, poiché una barriera perfettamente conduttrice non lascia chiaramente la luce per lasciare questa struttura. La luce può rimbalzare indefinitamente sul conduttore perfetto e, se il raggio del dispositivo è grande rispetto alla lunghezza d'onda, il vettore di Poynting è ovunque quasi esattamente nella direzione dell'aumento dell'angolo polare.
Sketch of Solutions
Userò la notazione di Riemann-Silberstein per il campo elettromagnetico (fondamentalmente perché posso sollevare tutte le equazioni di cui ho bisogno dal lavoro precedente!); in questa notazione, le variabili di campo sono le parti di frequenza positive delle entità $ \ mathbf {F} _ \ pm = \ mathbf {E} \ pm i \, c \, \ mathbf {B} $. Le equazioni di Maxwell curl diventano quindi le due equazioni disaccoppiate:
$$ i \, \ partial_t \ mathbf {F} _ \ pm = \ pm c \, \ nabla \ times \ mathbf {F} _ \ pm \ tag {1} $$
Con un po 'di lavoro, puoi risolverli con una soluzione nella forma $ \ mathbf {F} = e ^ {i \, \ nu \, \ varphi-i \, \ omega \, t} \, ( F_r (r), \, F_ \ varphi (r), \, F_z (r)) $ dove usiamo coordinate polari cilindriche, $ \ nu $ deve essere un numero intero per rendere il campo a valore singolo e:
$$ F_r (r) = \ frac {1} {r} \ left (a \, H_ \ nu ^ + (k \, r) + b \, H_ \ nu ^ - (k \, r) \ right) \ tag {2a} $$
$$ F_ \ varphi (r) = \ frac {i} {\ nu} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \, r} (r \, F_r (r)) \ tag {2b } $$
$$ F_z (r) = - \ frac {i \, k} {\ nu} r \, F_r (r) \ tag {2c} $$
dove $ H_ \ nu ^ \ pm (k \, r) = J_ \ nu (k \, r) \ pm i \, Y_ \ nu (k \, r) $ sono le funzioni di Hankel (mi piace chiamatele funzioni di Hankel "verso l'interno" e "verso l'esterno" a causa del loro comportamento asintotico di $ e ^ {\ pm i \, k \, r} $, ie il loro approccio alle onde propaganti verso l'interno e verso l'esterno) . Escludiamo anche il caso $ \ nu = 0 $ perché in questo caso la fase non varia con $ \ phi $, i.e. questa non è una soluzione dove l'onda gira intorno all'anello. Otteniamo una soluzione polarizzata circolarmente sinistra / destra $ \ mathbf {F} _ + $ / $ \ mathbf {F} _- $ all'alternativa $ + $ / $ - $ in (1) rendendo $ k $ positivo o negativo , rispettivamente, in (2).
Per il dispositivo a sinistra, procediamo come segue.
La continuità delle componenti del campo tangenziale alle interfacce è equivalente alla continuità delle funzioni $ G (r) = r \, F_r (r) $ e $ \ mathrm {d} _r (G (r)) $ attraverso interfacce.
Nella regione centrale all'interno dell'anello, le costanti di integrazione $ a $ e $ b $ sono uguali per annullare il punto di diramazione logaritmica di Neumann (funzione di Bessel di secondo tipo) all'origine in modo che la nostra soluzione sia fisicamente ragionevole. Assumiamo quindi una soluzione della forma $ J_ \ nu (k \, r) $ nella regione interna. Nella regione ad alto indice di rifrazione e nella regione esterna, assumiamo soluzioni della forma $ G (r) = a_ {co} \, H_ \ nu ^ + (k_ {co} \, r) + b_ {co} \, H_ \ nu ^ - (k_ {co} \, r) $ nella regione dell'alto indice di rifrazione ("core") e $ G (r) = a_ {cl} \, H_ \ nu ^ + (k_ {cl} \, r) + b_ {cl} \, H_ \ nu ^ - (k_ {cl} \, r) $ nella regione "cladding".
La condizione di continuità di entrambi $ G (r) $ e $ \ mathrm {d} _r G (r) $ in ciascuna delle due interfacce produce quattro equazioni per le costanti di integrazione $ a_ {co} $ e $ b_ {co} $ nel nucleo $ a_ {cl} $ e $ b_ {cl} $ nel rivestimento.
Queste equazioni sono semplici, anche se complicate, da risolvere.
Ora si può dimostrare che se $ | a_ {cl} | = | b_ {cl} | $, la componente radiale del vettore Poynting (che è $ \ mathrm {Re} \ left (-i \ sqrt {\ frac {\ epsilon} {\ mu}} (\ mathbf {F} _ + \ times \ mathbf {F} _ + ^ * - \ mathbf {F} _- \ times \ mathbf {F} _- ^ *) \ right) $ in notazione di Riemann-Silberstein) quindi la componente radiale della potenza svanisce e abbiamo una modalità a galleria sussurrante della struttura: nessun potere viene trasferito dentro o fuori dalla struttura da molto lontano. Questa condizione, imposta alle espressioni per $ a_ {cl} $ e $ b_ {cl} $ sopra, definisce un'equazione agli autovalori per $ k $: ci sono solo alcune frequenze dove esistono queste modalità di galleria sussurrata. A queste frequenze, il vettore di Poynting è tangente al canale ad alto indice di rifrazione. Anche a queste frequenze, il vettore di Poynting integrato sul piano trasversale non è nulla.
Inoltre, esiste solo un numero finito di tali risonanze.
Esistono sempre soluzioni per le costanti di integrazione, e la soluzione delle equazioni di Maxwell in questo caso rappresenta il caso in cui si verifica un trasferimento di potenza continuo attraverso la struttura da lontano: la guida d'onda è semplicemente immersa in un campo la cui fonte di alimentazione è lontana.
Il dispositivo a destra è più facile da analizzare. Qui le componenti del campo elettrico radiale devono svanire al conduttore, che fornisce l'equazione degli autovalori per $ k $ come $ J_ \ nu (k \, R) = 0 $, dove $ R $ è il raggio della guida d'onda. Se scegliamo un valore molto grande di $ \ nu $, il campo è concentrato vicino al conduttore esterno, e il vettore di Poynting è infatti quasi perfettamente tangenziale al conduttore nella regione del campo alto. È facile risolvere numericamente questa equazione degli autovalori in qualcosa di simile a Mathematica. Ad esempio, l'equazione degli autovalori $ J_ {500} (k \, R) = 0 $ ha la soluzione $ k \, R = 514.859311690494 $; il lettore è invitato a tracciare grafici del vettore Poynting del modo definito da $ F_r (r) = \ frac {1} {r} J_ {500} \ left (k \, \ frac {r} {R} \ right ) $ in (2).