Un tensore del secondo ordine può essere rappresentato da una matrice, proprio come un tensore del primo ordine può essere rappresentato da un array. Ma c'è di più nel tensore oltre alla sua semplice disposizione dei componenti; dobbiamo anche includere come si trasforma l'array al cambio di base. Quindi il tensore è un array n-dimensionale che soddisfa una particolare legge di trasformazione.

Quindi, sì, un tensore del terzo ordine può essere rappresentato come un array tridimensionale di numeri, insieme a una legge di trasformazione associata .

Le matrici vengono spesso introdotte per la prima volta agli studenti per rappresentare trasformazioni lineari prendendo vettori da $ \ mathbb {R} ^ n $ e mappandoli a vettori in $ \ mathbb {R} ^ m $. Una data trasformazione lineare può essere rappresentata da infinite matrici differenti a seconda dei vettori di base scelti per $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ \ mathbb {R} ^ m $, e una legge di trasformazione ben definita permette di riscrivere l'operazione lineare per ogni scelta di vettori di base.

I tensori di secondo rango sono abbastanza simili, ma c'è un'importante differenza che emerge per le applicazioni in cui sono considerate metriche di distanza non euclidee (non piatte), come la relatività generale. I tensori di 2 ° grado possono mappare non solo $ \ mathbb {R} ^ n $ a $ \ mathbb {R} ^ m $, ma possono anche mappare tra i doppi spazi di $ \ mathbb {R} ^ n $ o $ \ mathbb {R} ^ m $. La legge di trasformazione per i tensori è simile a quella appresa per la prima volta per gli operatori lineari, ma consente la flessibilità aggiuntiva di consentire al tensore di passare dall'agire su spazi doppi o meno.

Nota che per le metriche di distanza euclidee, lo spazio duale e lo spazio vettoriale originale sono gli stessi, quindi questa distinzione non ha importanza in quel caso.

Inoltre, i tensori di 2 ° rango possono non agiscono solo come mappe da uno spazio vettoriale a un altro. L'operazione di "contrazione" tensoriale (una generalizzazione del prodotto scalare per i vettori) consente ai tensori di 2 ° rango di agire su altri tensori di secondo rango per produrre uno scalare. Questo processo di contrazione è generalizzabile per tensori di dimensione superiore, consentendo contrazioni tra tensori di ranghi variabili per produrre prodotti di ranghi variabili.

Per riprendere un'altra risposta pubblicata qui, un tensore di 2 ° rango in qualsiasi momento può effettivamente essere rappresentato da una matrice, che significa semplicemente righe e colonne di numeri su una pagina. Quello che sto cercando di fare è offrire una distinzione tra matrici quando vengono introdotte per la prima volta per rappresentare operatori lineari da spazi vettoriali e matrici che rappresentano gli oggetti leggermente più flessibili che ho descritto

Una matrice è un caso speciale di un tensore di secondo rango con 1 indice superiore e 1 indice inferiore. Porta vettori a vettori, (contraendo l'indice superiore del vettore con l'indice inferiore del tensore), covettori a covettori (contraendo l'indice inferiore del covettore con l'indice superiore del tensore), e in generale, può portare un tensore m superiore / n-inferiore a m-superiore / n-inferiore agendo su uno degli indici su, a m-superiore / n-inferiore agendo su uno degli indici inferiori o su m-1 -upper / n-1-lower contraendo con un indice superiore e uno inferiore.

Non c'è alcun vantaggio nella notazione matriciale se conosci i tensori, è un caso speciale in cui l'operazione del prodotto tensoriale più una contrazione produce un oggetto dello stesso tipo. La notazione tensoriale generalizza correttamente il calcolo dei vettori e dell'algebra lineare per creare gli oggetti matematici giusti.

A rigor di termini, le matrici e i tensori di rango 2 non sono esattamente la stessa cosa, ma c'è una stretta corrispondenza che funziona per la maggior parte degli scopi pratici che i fisici incontrano.

Una matrice è una matrice bidimensionale di numeri (o valori da un campo o anello). Un tensore a 2 ranghi è una mappa lineare da due spazi vettoriali, su un campo come i numeri reali, a quel campo. Se gli spazi vettoriali sono di dimensione finita, è possibile selezionare una base per ciascuno e formare una matrice di componenti. Questa corrispondenza tra matrici e tensori di rango 2 è uno a uno, quindi puoi considerarli la stessa cosa, ma in senso stretto sono solo equivalenti.

Puoi inventare casi di spazi vettoriali a dimensione infinita dove nessuna rappresentazione significativa in termini di matrici per i corrispondenti tensori è possibile anche quando il campo è i numeri reali e le matrici possono avere un'infinità di componenti. Alcuni di questi esempi sono rilevanti per la fisica, ad es. quando gli spazi vettoriali sono funzionali la cui dimensione è (in parole povere) innegabilmente infinita. Per questo motivo è una buona idea tenere a mente la distinzione tra ciò che sono realmente i tensori e le matrici degli array, anche se sei solo un fisico.

Questa è una delle mie preoccupazioni.Essendo stato nella prima parte della mia carriera un geometra.Gran parte della discussione prima è corretta.Un tensore di vari ranghi sono trasformazioni lineari.Tuttavia, un tensore è un invariante rispetto ai sistemi di coordinate selezionati.

Il modo più semplice per pensarlo è che un vettore è una grandezza e una direzione e solo può essere espresso come un array una volta scelto un sistema di coordinate.Allo stesso modo un tensore di rango 2 può essere solo espresso come matrice quando viene scelto un sistema di coordinate.

Questo è il motivo per cui viene utilizzato in fisica come il tensore dell'energia dello stress o il tensore dell'indice di rifrazione dei cristalli anistropici.È questa invarianza delle coordinate che lo rende utile per descrivere le proprietà fisiche.

No.Una matrice può significare un numero qualsiasi di cose, un elenco di numeri, simboli o il nome di un film.Ma non può mai essere un tensore.Le matrici possono essere utilizzate solo come determinate rappresentazioni di tensori, ma come tali oscurano tutte le proprietà geometriche dei tensori che sono semplicemente funzioni multilineari sui vettori.

$$ \ def \ cR # 1 {\ color {rosso} {# 1}} \ def \ cG # 1 {\ color {green} {# 1}} $$

Sembrano così simili, ma ...

C'è spesso confusione riguardo agli indici quando trasformiamo un tensore di rango 2, $ T_ {ij} $ . Poiché le matrici possono rappresentare tensori di rango 2, si è tentati di iniziare a moltiplicare. Ma l'ordine dell'indice è fondamentale.

Ora, la moltiplicazione di matrici regolare, $ C = AB $ somma il secondo indice di A e il primo indice di B: $ C_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B _ {\ cR {c} b} $ , dove $ \ cR {c} $ è l'indice di somma ("indice fittizio").

Se usiamo il secondo indice di B, $ D_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B_ {b \ cR {c}} $ , allora ciò che otteniamo è $ D = AB ^ T $ .

Abbiamo letto in un libro di testo che "T si trasforma come un tensore sotto rotazione R" significa questo $ T_ {ab} \ rightarrow T '_ {ab} = R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ . Nota in modo cruciale che una R opera sul primo indice e l'altra R opera sul secondo indice.

Quindi questo non significa $ T \ rightarrow T '= RRT $ in notazione matriciale. Sbagliato!

La notazione di matrice corretta è $ T \ rightarrow T '= RTR ^ T $ .

Vedere la corrispondenza può essere complicato, perdersi negli indici. Utilizza l'intermediario $ D_ {bc} = R_ {b \ cR {d}} T_ {c \ cR {d}} $ (analogo a sopra è $ D = RT ^ T $ ) in modo che $ R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ diventa $ R_ {a \ cR {c}} D_ {b \ cR {c}} $ . Questo somma anche il secondo indice di D quindi è uguale a $ RD ^ ​​T $ . Sostituisci il valore di $ D: RD ^ ​​T = R (RT ^ T) ^ T = R (T ^ T) ^ T (R) ^ T = RTR ^ T. $

1. Tutti gli scalari non sono tensori, sebbene tutti i tensori di rango 0 siano scalari (vedi sotto).
2. Tutti i vettori non sono tensori, sebbene tutti i tensori di rango 1 siano vettori (vedi sotto).
3. Tutte le matrici non sono tensori, sebbene tutti i tensori di rango 2 siano matrici.

Esempio per 3: Matrice M (m11 = x, m12 = -y, m21 = x ^ 2, m22 = -y ^ 2). Questa matrice non è di rango tensoriale 2. Prova la matrice M sulla matrice di rotazione.