Domanda:
Perché pieghiamo un libro per mantenerlo dritto?
Krishnanand J
2019-04-16 13:11:33 UTC
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Ho notato che stavo piegando il mio libro per tutto il tempo, mentre lo leggevo con una mano.

book


Funziona anche per fogli piani flessibili di qualsiasi materiale.

Illustrazione utilizzando un foglio A4

Senza piegare il foglio: No bend


Con una curva lungo l'asse perpendicolare With bend


Come spieghi questa robustezza, che arriva solo quando l'oggetto è piegato lungo l'asse perpendicolare? Sento che questo è un problema legato alle proprietà elastiche dei piani sottili.Ma anche qualsiasi altra versione è benvenuta.

Numberphile ha risposto a una versione di questo con una pizza piuttosto che un libro: [The Remarkable Way We Eat Pizza - Numberphile] (https://www.youtube.com/watch?v=gi-TBlh44gY)
@MannyC: Qualunque vantaggio ottenuto guardando i video di Numberphile è più che superato dalla matematica sbagliata che li pervade.Triste a dirsi, ma vero.
La risposta di seguito è lunga, quindi suggerirò l'articolo di Wikipedia sul Teorema Egregium se hai già una buona conoscenza di come funzionano le superfici, poiché lo spiega in termini di geometria differenziale.Questa domanda era probabilmente quella che deve essere venuta in mente a Gauss a un certo punto quando aveva uno dei suoi taccuini in mano e si rese conto che lo stava tenendo dritto piegandolo.Fondamentalmente la rigidità viene creata perpendicolare alla direzione della piegatura, che può essere spiegata in modo rigoroso utilizzando la geometria differenziale sulle superfici.
Hai reinventato il ferro ondulato, che ti consente di regolare separatamente rigidità e resistenza.La rigidità è determinata dallo spessore della struttura, comprese le ondulazioni, mentre la resistenza dipende dallo spessore della lamiera.
Il teorema di Gauss può vedere un bel https://en.wikipedia.org/wiki/Theorema_Egregium
-1 per non usare la pizza
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Otto risposte:
#1
+231
tfb
2019-04-16 18:12:26 UTC
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La comprensione del motivo per cui funziona risulta essere piuttosto profonda. Questa risposta è un po 'una lunga storia, ma non c'è matematica. Alla fine ("Un approccio più formale") c'è uno schema di come funziona la matematica: salta a quello se non vuoi la storia.

Geometria degli insetti

Considera un piccolo insetto o qualcosa che vive sulla superficie della carta. Questo insetto non può vedere fuori dalla carta, ma può disegnare linee rette e misurare angoli sulla carta.

Come traccia linee rette? Ebbene, lo fa in due modi: o prende due punti, traccia delle linee tra di loro sulla carta e trova la linea più corta tra di loro, che chiama 'retta'; o in alternativa disegna una linea in modo tale che sia parallela a se stessa e chiama questo "dritto". C'è un trucco geometrico per costruire tali linee "parallele a se stesse" di cui non parlerò. E si scopre che questi due tipi di linee sono gli stessi.

Non sono sicuro di come misuri gli angoli: forse ha un piccolo goniometro.

Quindi ora il nostro insetto può fare la geometria. Può disegnare vari triangoli sulla carta e può misurare gli angoli agli angoli di questi triangoli. E scoprirà sempre che gli angoli si sommano a $ \ pi $ ( $ 180 ^ \ circ $ ), ovviamente. Puoi farlo anche tu e controllare i risultati dell'insetto, e molte persone lo fanno proprio a scuola. L'insetto (chiamiamolo "Euclide") può infatti sviluppare un intero sistema di geometria sul suo foglio di carta, infatti. Altri artisti di insetti ne faranno immagini e sculture, e il libro sulla geometria che scrive sarà utilizzato nelle scuole di insetti per migliaia di anni. In particolare l'insetto può costruire forme su linee rette e misurare le aree al loro interno e sviluppare un mucchio di regole per questo: i rettangoli hanno aree che sono uguali a $ w \ times h $ per esempio.

Non ho specificato qualcosa sopra: non ti ho detto se la carta era distesa su una scrivania o se era curva nella tua mano. Questo perché non ha importanza per l'insetto : l'insetto non può dire se pensiamo che la carta sia curva o se pensiamo che sia piatta: le linee e gli angoli le misure sono esattamente le stesse . E questo perché, in un senso reale, l'insetto ha ragione e noi abbiamo torto: la carta è piatta, anche quando pensiamo che sia curva . Ciò che intendo con questo è che non puoi effettuare alcuna misurazione, sulla superficie del foglio che ti dirà se è "curva" o "piatta".

Quindi ora scuoti la carta e fai cadere uno degli insetti e atterri su un pomodoro. Questo insetto inizia a fare la sua geometria sulla superficie del pomodoro e trova qualcosa di abbastanza scioccante: su piccola scala tutto sembra a posto, ma quando inizia a provare a costruire grandi figure le cose vanno orribilmente male: gli angoli nei suoi triangoli si sommano più di $ \ pi $ . Le linee che iniziano parallele, si estendono abbastanza lontano, si incontrano due volte e in effetti non esiste affatto una nozione globale di parallelismo . E quando misura l'area all'interno delle forme, scopre che è sempre più di quello che pensa che dovrebbe essere: in qualche modo c'è più pomodoro all'interno delle forme che carta.

Il pomodoro, infatti, è ricurvo : senza mai lasciare la superficie del pomodoro l'insetto può sapere che la superficie è in qualche modo deformata. Alla fine può sviluppare un'intera teoria della geometria del pomodoro, e in seguito alcuni insetti davvero intelligenti con nomi come "Gauss" e "Riemann" svilupperanno una teoria che consente loro di descrivere la geometria delle superfici curve in generale: pomodori, pere e così via. .

Curvatura estrinseca di & intrinseca

Per essere veramente precisi, parliamo del foglio di carta che è "intrinsecamente piatto" e della superficie del pomodoro che è "intrinsecamente curva": ciò significa proprio che, misurando solo sulla superficie possiamo dire se le regole della geometria euclidea sono valide o meno.

Esiste un altro tipo di curvatura che è estrinseca : questo è il tipo di curvatura che puoi misurare solo considerando un oggetto incorporato in uno spazio di dimensioni superiori. Quindi, nel caso dei fogli di carta, le superfici di questi sono oggetti bidimensionali incorporati nello spazio tridimensionale in cui viviamo. E possiamo dire se queste superfici sono estrinsecamente curve costruendo vettori normali alle superfici e controllando se puntano tutte nella stessa direzione. Ma gli insetti non possono farlo: possono misurare solo la curvatura intrinseca.

E, in modo critico, qualcosa può essere curvato estrinsecamente pur essendo intrinsecamente piatto. (Il contrario non è vero, almeno nel caso della carta: se è intrinsecamente curva è anche estrinsecamente curva.)

Allungare la compressione di &

C'è una cosa fondamentale nella differenza tra superfici intrinsecamente piane e intrinsecamente curve che ho menzionato sopra: l'area all'interno delle forme è diversa . Ciò significa che la superficie è allungata o compressa: nel caso del pomodoro c'è più area all'interno dei triangoli rispetto a quella della carta piatta.

Ciò significa che, se vuoi prendere un oggetto intrinsecamente piatto e deformarlo in modo che sia intrinsecamente curvo, devi allungare o comprimere parti di esso: se volessimo prendere un foglio di carta e curvarlo sulla superficie di una sfera, allora dovremmo allungare & per comprimerlo: non c'è altro modo per farlo.

Questo non è vero per la curvatura estrinseca: se prendo un po 'di carta e lo arrotolo in un cilindro, diciamo, la superficie della carta non viene allungata o compressa affatto. (In effetti, è un po 'perché la carta è in realtà un sottile oggetto tridimensionale, ma la carta bidimensionale ideale non lo è.)

Perché la carta curva la rende rigida

Finalmente posso rispondere alla domanda. La carta è abbastanza resistente allo stiramento & comprimendo: se provi ad allungare un foglio di carta (asciutto) si strapperà prima che si sia allungato davvero, e se provi a comprimerlo si piegherà in qualche modo orribile ma non comprimerà .

Ma la carta è molto sottile, quindi non è molto resistente alla flessione (perché piegandola si allunga solo un pochino, e per la nostra carta bidimensionale ideale, non la allunga affatto).

Ciò significa che è facile curvare la carta estrinsecamente ma molto difficile curvarla intrinsecamente .

E ora agiterò un po 'le mani: se pieghi la carta a forma di "U" come hai fatto, la stai curvando solo estrinsecamente: è ancora intrinsecamente piatta. Quindi non gli importa affatto. Ma se inizia a curvare anche nell'altra direzione, allora dovrà curvare intrinsecamente : dovrà allungarsi o comprimersi. È facile vederlo semplicemente guardando la carta: quando è curva in una 'U', quindi curvarla nell'altra direzione o la parte superiore della 'U' dovrà allungarsi o la parte inferiore dovrà comprimere.

Ed è per questo che curvare la carta in questo modo la rende rigida: "esaurisce" la capacità di curvare estrinsecamente la carta in modo che ogni ulteriore curvatura estrinseca coinvolga anche una curvatura intrinseca , che alla carta non piace da fare.

Perché tutto questo è importante

Come ho detto all'inizio, questa è una domanda piuttosto profonda.

  • La matematica alla base di questo è assolutamente affascinante e bella, pur essendo relativamente facile da capire una volta che l'hai vista. Se lo capisci, ottieni una sorta di intuizione su come funzionavano le menti di persone come Gauss, il che è semplicemente adorabile.
  • La matematica e la fisica alla base di esso risultano essere alcuni dei calcoli di cui hai bisogno per comprendere la Relatività Generale, che è una teoria incentrata sulla curvatura. Quindi, comprendendolo correttamente, stai iniziando il percorso per comprendere la teoria più bella e profonda della fisica moderna (stavo per scrivere "una delle più ..." ma no: c'è GR e c'è tutto il resto).
  • La matematica e la fisica alla base sono importanti anche in cose come l'ingegneria: se vuoi capire perché le travi sono forti o perché i pannelli delle auto sono rigidi, devi capire queste cose.
  • E infine è la stessa matematica : la matematica di cui hai bisogno per capire le varie strutture ingegnerizzate è abbastanza vicina alla matematica di cui hai bisogno per capire GR: quanto è bello?

Un approccio più formale: un notevole teorema

L'ultima sezione sopra ha coinvolto un po 'di handwavy: il modo per renderlo meno handwavy è dovuto al meraviglioso Theorema Egregium ("teorema notevole") dovuto a Gauss. Non voglio entrare nei dettagli completi di questo (in effetti, probabilmente non sono più all'altezza), ma il trucco che fai è che per una superficie bidimensionale puoi costruire il vettore normale $ \ vec {n} $ in tre dimensioni (il vettore che punta fuori dalla superficie), e puoi considerare come questo vettore cambia direzione (in tre dimensioni) mentre lo muovi varie curve sulla superficie. In qualsiasi punto della superficie ci sono due curve che la attraversano: una su cui il vettore cambia direzione più velocemente lungo la curva e una lungo la quale cambia direzione più lentamente (questo segue fondamentalmente per continuità).

Possiamo costruire un numero, $ r $ che descrive la velocità con cui il vettore cambia direzione lungo una curva (ho completamente dimenticato come farlo, ma Penso che sia semplice) e per queste due curve minime di & massime possiamo chiamare le due tariffe $ r_1 $ e $ r_2 $ . $ r_1 $ & $ r_2 $ sono chiamate le due curvature principali del superficie.

Quindi la quantità $ K = r_1r_2 $ è chiamata curvatura gaussiana della superficie e teorema egregium dice che questa quantità è intrinseca alla superficie: puoi misurarla semplicemente misurando gli angoli eccetera sulla superficie. Il motivo per cui il teorema è notevole è che l'intera definizione di $ K $ comprendeva cose estrinseche in superficie, in particolare le due principali curvature. Poiché $ K $ è intrinseco, i nostri insetti possono misurarlo !

La geometria euclidea è vera (in particolare il postulato parallelo è vero) per le superfici in cui solo $ K = 0 $ .

E ora possiamo essere un po 'più precisi sull'intera cosa di "stretching & compressing" di cui ho parlato sopra. Se non ci è permesso allungare & comprimere il foglio di carta, allora tutte le cose che ci è permesso di fare non alterano alcuna misura che gli insetti possono fare: lunghezze o angoli che sono intrinseci, cioè misurati interamente sulla superficie della carta, non può cambiare a meno che non allunghi o comprimi la carta. Le modifiche alla carta che preservano queste proprietà intrinseche sono chiamate isometrie . E poiché $ K $ è intrinseco, non viene alterato dalle isometrie.

Consideriamo ora un foglio di carta piatto in tre dimensioni. È ovvio che $ r_1 = r_2 = 0 $ (il vettore normale punta sempre nella stessa direzione). Quindi $ K = 0 $ .

Ora piega il foglio a forma di "U": ora è chiaro che $ r_1 \ ne 0 $ - se disegni una curva attraverso la valle nella carta quindi il vettore normale da quella curva cambia direzione. Ma questa piegatura è un'isometria: non abbiamo allungato o compresso la carta. Quindi $ K $ deve essere ancora $ 0 $ : la carta è ancora intrinsecamente piatta. Ma poiché $ K = r_1r_2 $ e $ r_1 \ ne 0 $ questo significa che $ r_2 = 0 $ .

E ciò che questo significa è che l'altra curvatura principale deve essere zero. Questa curvatura principale è lungo la linea che scende a valle della "U". In altre parole, la carta non può piegarsi nell'altra direzione senza diventare intrinsecamente curva ( $ K \ ne 0 $ ), il che significa che deve allungarsi.

(Ho ancora ondeggiato un po 'qui: non ho definito come si calcola $ r $ e non ho mostrato che non ci sia un'altra curva puoi disegnare lungo il foglio che ha $ r = 0 $ oltre a quello ovvio.)

Uno dei motivi per cui tutto questo è piuttosto interessante è che questa matematica è l'inizio della matematica di cui hai bisogno per comprendere la Relatività Generale, che riguarda anche la curvatura.

Fallimento e ripiegamento

Ovviamente, se prendi il pezzo di carta a forma di U e cerchi di piegarlo nell'altra direzione a un certo punto, fallirà improvvisamente e si piegherà in un modo complicato.Penso che ci sia un'intera area di studio che pensa a questo.Ho il sospetto che quando questo accade (durante il guasto improvviso, non dopo di esso, credo) debba esserci, localmente, una curvatura intrinseca diversa da zero in punti sulla carta.Sono sicuro che ci sono molti calcoli matematici interessanti su questo (a parte qualsiasi altra cosa deve essere molto interessante per le strutture ingegnerizzate), ma non lo so.

Um, penso che tu abbia commesso un errore.Se pieghi la carta, hai $ r_1 ≠ 0 $ in ** qualche ** punto, e quindi $ r_2 = 0 $ in ** quel ** punto.Ma da solo non puoi concludere di avere $ r_2 = 0 $ lungo una linea retta.Penso che possa essere risolto, osservando che $ r_1 ≠ 0 $ in qualche regione aperta intorno a quel punto e quindi $ r_2 = 0 $ ovunque in quella regione, e quindi mostrare che si estende indefinitamente, ma so molto poco in quest'areae non posso dire se la mia idea può essere facilmente realizzata per funzionare.
@user21820 La mia comprensione è che, ovunque la carta sia piegata (ha una curvatura estrinseca), puoi mostrare che $ r_1 \ neq 0 $.Pertanto $ r_2 = 0 $ in tutti questi punti.Quindi puoi dimostrare con continuità che è vero in tutto l'intervallo.
@user21820 Nota che la carta è curva a forma di "U", non a "V": qualsiasi linea che attraversa la valle della "U" ha $ r \ ne 0 $ per gran parte della sua lunghezza.Trova la linea che massimizza $ r $ tra queste (per simmetria questa è la linea che attraversa la valle ad angolo retto).Questa riga definisce $ r_1 $.Trasla questa linea su e giù per la linea della valle ed è ora chiaro che $ r_1 \ ne 0 $ ovunque nella parte curva della "U".Penso che tu abbia dato per scontato che stavo piegando il foglio a "V": $ r $ è orribilmente discontinuo (zero quasi ovunque, non finito in un singolo punto) per quella forma.
I commenti non sono per discussioni estese;questa conversazione è stata [spostata in chat] (https://chat.stackexchange.com/rooms/92620/discussion-on-answer-by-tfb-why-do-we-bend-a-book-to-keep-dritto).
@tfb: Sembra che tu non abbia capito il punto.Se ** presumi ** l'intero foglio ha la forma a U con una valle diritta, stai già assumendo la conclusione che rivendichi.Se vuoi rivendicare una ** spiegazione ** per l'effetto in questione, ovvero che curvare la carta in un unico punto è sufficiente per 'tenerla dritta', allora la tua risposta fallisce, e ho già abbozzatocome potrebbe essere possibile farlo correttamente nel mio primo commento.Non è sufficiente partire dal presupposto che $ r_1 ≠ 0 $ ovunque sulla carta, poiché ciò non spiega perché sia ** stabile **.
In altre parole, non hai spiegato perché questa tecnica di curvatura ** mantiene ** la carta "dritta".Non è a priori impossibile che lo stato desiderato non sia stabile e possa andare da "$ r_1 ≠ 0 $ ovunque" a "$ r_1 ≠ 0 $ solo in alcuni punti".Risulta essere vero per la carta (intrinsecamente piatta), ma perché?Per dirla in un altro modo, perché una configurazione a forma di U è un equilibrio ** stabile **?
@user21820: non può essere il caso che $ r_1 \ ne 0 $ solo in punti isolati a meno che non sia finito in quei punti, o la carta sarebbe estrinsecamente piatta.Nel caso in cui non sia finito la carta è sgualcita e non sono sicuro che tu possa affrontarlo usando la curvatura gaussiana, ma forse puoi: deve almeno essere facile usare tecniche globali per mostrare che le pieghe devono essere linee (se sono punti allora sono singolarità di curvatura).In generale, stavo cercando di fornire una risposta che fosse appropriata in tono alla domanda: se vuoi fornirne una completamente formale, per favore fallo!
Penso che sia meglio rendere le affermazioni nel tuo post più precise, sulla falsariga del tuo ultimo commento, se puoi.Se ci sono avvertimenti, menzionarli avvertirebbe i lettori profani del fatto che è molto più difficile da dimostrare di quanto il post sembra fare, anche se non si forniscono patch rigorose per tali avvertimenti.Dare una risposta rigorosa a questa domanda sembra al di là della mia portata attuale, ma ne so abbastanza per sapere che qualsiasi risposta rigorosa deve essere piuttosto complicata.Grazie!
* Ho completamente dimenticato come farlo, ma penso che sia semplice *: sei come quasi * tutti * i miei professori.
Cosa significa "& c" in * "misurando gli angoli & c sulla superficie." *?
@PeterMortensen "& c" è talvolta usato per "etc" / "et cetera": l'ho espanso a quest'ultimo.Scusate!
Non capisco completamente questa risposta.Sì, puoi etichettare le geometrie come "intrinseche" o "estrinseche", ma alla fine la carta è un mucchio di particelle che vengono spinte da forze.Una spiegazione dovrebbe richiedere un qualche tipo di linguaggio che si riferisca a un certo punto alle forze delle particelle lungo la carta.Mi sembra che tutto ciò che chi risponde stia facendo è etichettare le cose che vengono trattenute quando curve come aventi "proprietà A" e le cose che non hanno "proprietà B".
Mi sembra che questa risposta possa essere riassunta in un linguaggio comune come: le cose piegate in forme con una forma a U non possono essere piegate di più senza essere allungate o schiacciate.(Che per me non è molto utile)
#2
+26
James
2019-04-16 21:41:14 UTC
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Hai essenzialmente scoperto i principi alla base dei momenti flettenti e dell'ingegneria strutturale.

Come ha affermato un altro poster, fisicamente la struttura che hai realizzato è più forte, perché per piegare qualcosa (ad esempio, una trave caricata in alto) gli strati in alto vengono compressi mentre gli strati in basso sono allungati. Ciò è semplicemente dovuto alla geometria e alla natura fisica dei materiali. In breve, il carico (forza) viene trasformato da una direzione normale alla trave, in una forza interna, una sollecitazione longitudinale. Più specificamente, il carico applicato (dal peso, gravità, qualunque cosa) si traduce in un momento flettente nell'elemento, questo momento flettente si manifesta come sollecitazioni interne (forze di trazione e compressione) all'interno dell'elemento che resiste alla flessione di uguale entità.

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Alcuni primer sulle forze: compressione e tensione sono la stessa cosa, solo "direzioni" diverse cioè: se la compressione è -1 o -2, la tensione sarà 1 o 2. Sapendo questo e sapendo che la parte superiore del il membro è in compressione e il fondo è in tensione, possiamo pensare che vi sia una distribuzione della forza attraverso il membro. E penso che la parte più importante della tua domanda sia che poiché la distribuzione della forza va da -x a + x attraverso il membro, deve esserci un punto in cui x = 0 (la superficie neutra). Nella foto sotto lo stress (frecce verdi) ad un certo punto incrocia lo 0.

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Pertanto, possiamo osservare che le sollecitazioni massime si verificano ai bordi, nella parte superiore e inferiore della trave nel nostro esempio. Questo principio è precisamente come e perché funzionano le travi a I La forza dell'elemento deriva dalle proprietà del materiale del materiale (la sua capacità di resistere alla compressione o alla tensione (allungamento)). Ciò significa che qualcosa come una trave in acciaio sarà limitata nella sua capacità di resistere alla flessione dal calcolo del carico di trazione sulla superficie. Fisicamente quell'equazione è (per la direzione $ x $ ):

$ \ sigma_ {x} = - \ frac {y} {c} \ sigma_ {m} $

Dove $ c $ è la superficie neutra (il piano immaginario dove $ \ sigma_ {x} = 0 $ ) e $ y $ è la distanza dalla superficie neutra e $ \ sigma_ {m} $ span> è il valore assoluto massimo dello stress nel membro.

In parole povere, l'altezza del raggio è il fattore trainante della sua forza, non lo spessore. Ma nell'aereo che sta subendo i carichi massimi (tensione e compressione) lo spessore ti darà più forza. Ciò si traduce nella classica forma a I-beam.

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Cosa c'entra tutto questo con la carta?

Quando l'OP orienta la carta orizzontalmente (piatta), l'altezza della carta rispetto alla superficie neutra è fondamentalmente 0. Ad esempio, possiamo considerare che l'intera carta È una superficie neutra. Ciò significa che letteralmente non può resistere a qualsiasi flessione. Capovolgi la carta di 90 gradi e ora tutta la carta è alta e tutta la carta può resistere alla flessione e non può essere piegata. Di solito si deforma o si strappa prima di piegarsi.

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La forma curva che OP crea sfrutta tutti i concetti che abbiamo trattato qui. Invece di creare una forma a I, OP crea una forma a C che porta all'idea di sfruttare materiali sottili usando l'ondulazione per aggiungere una forza incredibile mantenendo il peso basso. Ad esempio, gli strati interni di una scatola di cartone vengono ondulati o piegati in piccole forme curve per resistere alla flessione. Quindi possiamo utilizzare meno materiale per ottenere punti di forza molto più elevati.

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Per me, questo in realtà non spiega nulla sul perché questo, _o_ I-beam funzionano.Perché una distribuzione della forza attraverso il foglio consente di ridurre i momenti flettenti in una direzione diversa?Hai spiegato cosa sono i momenti di flessione;ma non hai spiegato perché piegare la carta aggiunge stabilità in un'altra direzione, o come questo si collega alle travi a I.La tua spiegazione su come "funzionano" I-beam è seriamente carente.Tutto quello che hai detto è che stai piegando la parte superiore e comprimendo la parte inferiore.Direi che questo rende la trave a I _ più debole_ rispetto alla trave a I non accentata, in senso generale.
Il punto non è che il momento sia ridotto, tanto quanto la forza (stress).In parole povere, i momenti sono $ r \ volte F $, quindi aumentare $ r $ da "spessore della carta" ad "altezza della curva nella carta" riduce la forza nella carta necessaria per contrastare il proprio peso.https://engineering.stackexchange.com/questions/68/how-does-width-and-thickness-affect-the-stiffness-of-steel-plate è lo stesso principio.
@patstew Non credo che l '"altezza della curva" sia realmente _that_ rilevante.È davvero più geometrico, come mostrato nella risposta di TFB.Considera che potresti ottenere la stessa altezza inserendo due pezzi di cartone con pezzi di cartone dritti in mezzo e ottenere comunque lo stesso $ r $.È importante come l'ondulazione influenzi la stabilità anche in altre direzioni.
Stavo per fare +1 su questa risposta mentre la leggevo, finché non ho notato che non hai spiegato perché le ondulazioni danno maggiore forza, che è l'essenza della domanda OP.Se puoi modificare la tua risposta con quella spiegazione, ottieni il +1.
@JMac Sono abbastanza sicuro che le ondulazioni nel cartone siano ondulate perché questo è il modo più semplice per fabbricarlo da carta piatta.La plastica ondulata utilizza pezzi diritti http://www.vortex-rc.com/product/3mm-coro-10-sheet-pack/ Non fa molta differenza per la forza (in entrambi i casi è molto più forteperpendicolarmente).Probabilmente si potrebbe concludere da questo argomento geometrico che qualsiasi curvatura $ r_1 $ necessita di $ r_2 == 0 $, ed è quindi equivalente, mentre la prospettiva più meccanica / ingegneristica mostra come si fa effettivamente a realizzare un forte cantilever.
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1606/1606.02709.pdf - documento pertinente
@patstew L'ondulazione è importante per la sua struttura.La plastica "ondulata" di cui parli introduce un'altra modalità di guasto.È molto più suscettibile alla deformazione nei membri verticali perché non hanno alcuna curvatura.È abbastanza facile far deformare i quadrati rispetto all'ondulazione effettiva.
Ho aggiunto dettagli e illustrazioni significativi.Sono d'accordo, la bozza mancava delle informazioni necessarie per rispondere alla domanda del PO.
Questo aiuta a spiegare la logica, ma non credo che questa sia un'ottima descrizione del motivo per cui la carta curva può facilmente sostenersi.Un componente chiave del cartone ondulato sono gli strati di rilegatura su entrambi i lati del cartone.Anche questo non spiega davvero perché userebbero l'ondulazione invece dei soli tubi quadrati (che assomigliano a una serie di i-beam).Potrebbe darti la stessa altezza, per materiale _anche meno_;ma ha implicazioni strutturali.
@JMac Credo che le tue preoccupazioni siano considerazioni ingegneristiche (ottimizzazione, perché usare "I" invece di "C" e colla del tipo di materiale rispetto al membro solido), non fisiche.Alla domanda sul "perché" le opere di curvatura rispondono i momenti flettenti, che sono regolati dalle proprietà dei materiali e dal raggio di curvatura (fenomeni fisici).
@James Ma il motivo per cui piegare la carta è vantaggioso ha più a che fare con le sollecitazioni interne che stai già applicando alla carta e come la geometria planare non consente un modo semplice per supportare più sollecitazioni lungo una diversa direzione radiale.I momenti flettenti sono rilevanti;ma ha meno a che fare con il modo in cui cambia il braccio del momento, e più con il modo in cui induce già sollecitazioni nella carta, che agiscono per opporsi a sollecitazioni aggiuntive in nuove direzioni radiali, perché la carta è planare e ha una curvatura gaussiana pari a 0.
#3
+20
Daddyo
2019-04-16 19:08:16 UTC
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Quando pieghi un pezzo di materiale, la resistenza viene fornita allungando il materiale sulla parte esterna della curva e comprimendo il materiale all'interno della curva.

Un foglio piatto sottile si piega facilmente perché, fisicamente, non si verifica molto allungamento o compressione quando si piega.

Quando pieghi il tuo libro, come un abbeveratoio, quella forma non può piegarsi fisicamente senza un grande allungamento lungo i bordi superiori e molta compressione lungo la parte inferiore del canale.Una curva molto piccola creerebbe molto allungamento e compressione, quindi la forma ha molta resistenza alla flessione.

#4
+10
Stilez
2019-04-17 13:23:08 UTC
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Le altre risposte finora sono tecnicamente corrette, ma nessuna di esse sembra davvero dare una risposta semplice / intuitiva e di buon senso. Quindi ci provo.

Immagina di piegare leggermente un tipo di oggetto verso il basso a un'estremità, tenendo l'altra estremità saldamente orizzontale. (Potrebbe essere quasi qualsiasi oggetto, potrebbe essere carta, un ramo di un albero, un tubo di plastica, un blocco di gomma lungo e sottile, persino un blocco di cemento!) Ma piegando solo leggermente l'oggetto da un'estremità, quindi non sei ' t romperlo o fratturarlo.

Per piegarsi, la parte superiore dell'oggetto deve allungarsi di più rispetto alla parte inferiore, perché si trova "all'esterno" della "curva" che si forma quando si piega l'oggetto.

(Anche la parte inferiore è schiacciata, o "compressa", ma è più facile da visualizzare se la ignoriamo e ci concentriamo su ciò che accade nella parte superiore dell'oggetto)

Quasi tutti i materiali e gli oggetti resisteranno allo stiramento e alla compressione, almeno entro alcuni piccoli limiti. Alcuni resistono in modo massiccio (prova ad allungare una barra d'acciaio). Altri non resistono molto (prova a tirare un cavo di nylon o un elastico o una molla). Alcuni si rompono o si strappano rapidamente (il cemento e la carta non si allungano affatto bene, invece si rompono o si strappano rapidamente). Altri materiali si allungheranno per un bel po '(l'acciaio è uno, motivo per cui viene utilizzato per rinforzare le strutture in calcestruzzo, a differenza del cemento continuerà a resistere a un'azione di allungamento).

La differenza tra quanto deve piegarsi la "parte superiore" e la "parte inferiore" e il fatto che se l'oggetto è piegato anche leggermente, devono piegarsi both e le loro curve avranno raggi diversi, è ciò che determina il risultato, se l'oggetto è il tuo pezzo di carta, un intero blocco note di carta, un ramo di un albero o una trave d'acciaio.

Torna alla tua carta.

Se la carta è piatta, le superfici superiore e inferiore del foglio sono estremamente vicine verticalmente. Quindi può piegarsi o cadere, quasi senza allungare la parte superiore. La superficie superiore in realtà si allunga un po ', motivo per cui anche il foglio floppato si piega in una forma curva: arriva un punto in cui se si piegasse di più, la superficie superiore dovrebbe allungarsi abbastanza di più della superficie inferiore, che le fibre di la carta resiste, quindi non si piega più facilmente (senza che tu la sgualcisca o qualcosa del genere).

Ma ora supponiamo di piegare il foglio lungo la sua lunghezza, anche leggermente. Ora la "cima" e la "parte inferiore della curva non sono le due superfici del foglio, a una piccola distanza l'una dall'altra. Sono la" valle "del foglio piegato e i due bordi più alti (i due lati del foglio che si piegano verso l'alto). Sono * molto * più distanti verticalmente rispetto alle due superfici. Quindi il foglio di carta cerca ancora di floppare, ma non può affatto (o solo microscopicamente o agli angoli) perché il " top "ora dovrebbe allungarsi molto, solo per far piegare un po 'il foglio. Le fibre di carta non si allungano bene (sono legate l'una all'altra e resistono allo stiramento oltre una piccola quantità; alla fine si strappano invece). Gravità inoltre, non è sufficiente tirare verso il basso l'estremità del foglio per forzare l'estremità verso il basso anche a "costo" di strappare alcune fibre.

Il risultato finale è che ora, le fibre sui bordi "superiori" dovrebbero allungarsi molto per consentire alla carta di "cadere" - quindi non possono allungarsi abbastanza per cadere - e inoltre non vengono tirato verso il basso abbastanza da strapparsi (o piegarsi in altri modi). Quindi il foglio rimane semplicemente dov'è. Quindi ora il foglio agisce in modo molto più rigido.

Puoi vederlo immaginando di provare la stessa cosa, ma con un foglio di silicone, o qualcos'altro di veramente floscio e flessibile, invece della carta. Ora piegare il foglio lungo la sua lunghezza non funziona bene, perché il materiale stesso non resiste affatto alla sua superficie "superiore" o ai bordi che si allungano molto, quindi può ancora trovare un modo per cadere.

(** Ho semplificato un po '. Le aree principali che ho semplificato sono: se l'oggetto è abbastanza lungo e sottile, potrebbe finire per trovare altri modi per piegarsi, come curvare in diagonale con una diagonale verso l'alto e l'altra verso il basso. Quindi se provi a tenere un metro a nastro di metallo troppo lontano, questo è quello che succede. Accadrà anche al tuo foglio di carta, se può. Quindi ci sono altri modi di piegatura. In ingegneria, dove la piegatura di una trave o di una colonna è solitamente un guasto, vengono chiamate "modalità di rottura", quindi le acciaierie devono essere progettate tenendo a mente la loro forma 3D, per prevenire questo genere di cose. complessi o non sono "elastici" oltre una piccola quantità, ad esempio la tua carta è composta da fibre legate insieme e anche il modo in cui tale legame influisce sulle fibre gioca un ruolo importante. Il legno vivo degli alberi è composto da parti diverse e anche queste interagiscono quindi si scheggia dopo un po ', ma non si rompe completamente. Ma questo dovrebbe darti una buona idea di cosa sta succedendo. Stai solo attento e è una versione semplificata)

#5
+5
insys
2019-04-17 22:49:56 UTC
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"Curvare" la carta aumenta il secondo momento dell'area, perché aumenta effettivamente la distanza dell'area della sezione trasversale della carta dal centroide della sezione.

La rigidità di una sezione trasversale è proporzionale al quadrato della distanza dal centroide (vedi anche teorema dell'asse parallelo), quindi curvando la carta in modo efficace moltiplica la sua rigidità per diversi ordini di grandezza, quindi il la carta curva presenta uno spostamento minimo (= rimane diritta).

Ecco un altro esempio dello stesso principio. Una carta tenuta orizzontalmente si piega sotto il proprio peso. Una carta perfettamente piatta tenuta perfettamente verticalmente è perfettamente in grado di sostenere il proprio peso con uno spostamento minimo. È lo stesso principio, aumento radicale della rigidità lungo la direzione di piegatura attraverso l'aumento della distanza dal centroide.

Nota: qui sto usando "curvatura" come verbo anche se probabilmente non è corretto, in modo da non confondere l'azione con l'effetto di piegatura della carta dovuta alla gravità.

Non capisco i tuoi commenti sulla piegatura della carta.Una carta tenuta sia orizzontalmente che verticalmente si piegherà molto facilmente, letteralmente con la stessa quantità di forza.Devi assolutamente essere più chiaro su ciò che stai cercando di ottenere.Ancora più importante ... questo sembra ripetere ciò di cui parlano molte altre risposte, ma in realtà omette la maggior parte delle parti complesse e interessanti del motivo per cui funziona davvero.
Ho chiarito la parte verticale della carta.Spero che sia d'aiuto.Mi dispiace non avere una "storia" da raccontare qui, ma questo è un argomento molto basilare nella meccanica strutturale e questa è la risposta scientifica corretta.
Immagino di avere questo approccio, penso solo che lo semplifichi eccessivamente al centro rispetto a quanto sia interessante.Penso ancora che la carta verticale non sia un buon esempio, poiché strutturalmente continuerà a fallire sotto il suo stesso peso in qualsiasi circostanza realistica.Ad ogni modo, ho ritirato il voto negativo da quando ho capito cosa stavi ottenendo con l'esempio cartaceo.
#6
+3
apocalysque
2019-04-19 08:22:37 UTC
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Tutte queste altre risposte sono troppo lunghe e complicate (anche se probabilmente più tecnicamente corrette della mia risposta).Quando pieghi la carta, stai essenzialmente creando un ponte sospeso a un'estremità.Pensa a un ponte sospeso che non attraversa completamente una valle / canyon / fiume, cioè un'estremità è sospesa in aria.Mentre pieghi il foglio di carta, i lati più verticali diventano la sospensione che sostiene il "mazzo".Togli le sospensioni e il ponte non ha forza sufficiente per sostenere il proprio peso.

#7
+2
levitopher
2019-05-10 21:57:43 UTC
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Proverò un'altra risposta intuitiva, poiché sembra che qui abbiamo alcune risposte tecniche. Come dici tu, è tutta una questione di proprietà elastiche.

Quando si tiene la carta senza pieghe, si dà una condizione limite alla superficie: orizzontale, in questo caso. Ogni punto sul resto del foglio sente una forza di gravità verso il basso, così come forze di contatto parallele (elettrostatiche) sulla superficie. Tuttavia, queste forze sono interamente nella direzione della curva, perché la condizione al contorno che hai impostato non include alcun componente lungo la direzione di traslazione del cilindro (vedi la figura).

Tuttavia, quando induci questi componenti, modificando le condizioni al contorno, crei forze in tutte le direzioni (parallele alla superficie) in ogni punto. Queste forze sono essenzialmente presenti perché la carta non può essere modificata in modo discontinuo (questo fa parte delle proprietà elastiche che hai menzionato). Se la carta è abbastanza lunga, la forza gravitazionale potrebbe alla fine vincere e la carta potrebbe cadere (o strapparsi o piegarsi).

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#8
-8
Michalina
2019-04-17 16:04:08 UTC
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Penso che sia a causa della struttura della carta.Le fibre nella polpa da cui è costruita sono allineate in una direzione. Questo è anche il motivo per cui è molto più facile strappare il foglio in una direzione (con le fibre), poi nell'altra (attraverso di esse).

L'orientamento delle fibre non ha molto effetto su questo.Succede a prescindere.
Ciò predice erroneamente che la rotazione del foglio di 90 gradi impedirebbe la flessione.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 4.0 con cui è distribuito.
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