Domanda:
Domanda fondamentale sull'analisi dimensionale
Jubilee
2011-03-28 02:21:58 UTC
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Nell'analisi dimensionale, non ha senso, ad esempio, sommare insieme due numeri con unità diverse. Né ha senso esponenziare due numeri con unità diverse (o per quella materia, con unità del tutto) insieme; queste espressioni non hanno senso:

$$ (5 \: \ mathrm {m}) ^ {7 \: \ mathrm {s}} $$

$$ (14 \ : \ mathrm {A}) ^ {3 \: \ mathrm {A}} $$

Ora la mia domanda è chiaramente questa: perché non hanno senso? Perché ha senso solo moltiplicare insieme numeri per unità e non, ad esempio, esponerli insieme? Capisco che elevare un numero con un'unità alla potenza di un altro numero con un'unità non è abbastanza intuitivo, tuttavia, non è proprio una buona ragione, vero?

Potete confermare che tutti i valori considerati sono letti (piuttosto che complessi)?Ci sono alcune discussioni sottili da tenere se sono consentiti valori "complessi".
Cinque risposte:
#1
+42
dmckee --- ex-moderator kitten
2011-03-28 02:52:40 UTC
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Un argomento standard per negare la possibilità di inserire quantità dimensionali in funzioni trascendentali è la seguente espressione per l'espansione di Taylor di es. $ \ exp (\ cdot) $:

$$ e ^ x = \ sum_n \ frac {x ^ {n}} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} { 2} + \ dots \,. \ Tag1 $$

Qui aggiungeremmo quantità con dimensioni diverse, che hai già accettato non ha senso.

OTOH, c'è un argomento (carta protetta da paywall), che nell'espansione di Taylor in cui i derivati ​​sono presi "correttamente", si otterrebbe qualcosa di simile al seguente per una funzione $ f $:

\ begin {multline} f (x + \ delta x) = f (x) + \ delta x \ frac {df (x)} {dx} + \ frac {\ delta x ^ 2} 2 \ frac {d ^ 2f (x) } {dx ^ 2} + \ frac {\ delta x ^ 3} {3!} \ frac {d ^ 3f (x)} {dx ^ 3} + \ dots = \\ = f (x) + \ sum_ { n = 1} ^ \ infty \ frac {\ delta x ^ n} {n!} \ frac {d ^ nf (x)} {dx ^ n}, \ tag2 \ end {multline}

e le dimensioni delle derivate sono quelle di $ 1 / dx ^ n $, che annullano quelle di $ \ delta x ^ n $ termini, rendendo l'argomento sopra specioso.

Solo un'aggiunta banale: una potenza generale $ x ^ y $ può essere scritta come $ \ exp (y \ ln x) $ quindi ha lo stesso problema se $ y $ non è adimensionale. ... In modo simile, gli esponenti dovrebbero essere sempre Grassmann-pari (non "fermionici"), e così via.
Ho ricevuto un voto negativo oggi, che suppongo sia ragionevole dato lo stato miserabile di questa [email protected], potresti almeno non accettarlo?In modo che in alto possa apparire qualcosa di realmente difendibile.
@dmckee Sono confuso.Questa risposta è sbagliata?Se è così, perché non lo elimini?Spero che questo non sia scortese.
@dmckee Perché non presentare la parte principale del documento nella risposta?L'errore di espansione di Taylor è un fatto piuttosto interessante (sebbene abbia anche alcuni problemi).Stavo cercando se qualcuno avesse già scritto una spiegazione del genere (e l'avrei fatto io stesso in caso contrario), ma dal momento che l'hai trovata, sarebbe molto utile se la mettessi nella tua risposta.
@Ruslan Avevo sperato che alancalvitti scrivesse una risposta basata sulla carta poiché è lui che l'ha portata alla mia attenzione.Poi il tempo è passato e mi sono dimenticato di questa faccenda.* Dovrei * portare i risultati del documento, ma non so quando potrei arrivarci.Quindi sto creando la risposta Community Wiki e chiunque si preoccupi abbastanza può farlo.
@dmckee Ho cambiato la tua risposta quasi completamente (usando la tua licenza Community Wiki), per favore dai un'occhiata.
@Ruslan e dmckee, non è una cattiva idea cambiare una risposta "quasi completamente" dopo che 32 persone l'hanno votata ed è stata accettata?
@pentane Generalmente sì, ma poiché Jubilee non è tornato, sembra che questa risposta rimarrà accettata a meno che non eserciti i poteri di moderatore per eliminarla completamente.Lo avrei fatto se alancalcitti avesse scritto una risposta basata sulla carta.
Penso che sia disonesto cambiare completamente una risposta e mantenere i 30 voti positivi che la comunità ha attribuito alla risposta precedente allegati alla nuova risposta.Non rappresenta le opinioni della comunità.Perché non cancelliamo questa risposta e chiediamo a Ruslan di pubblicarla come nuova risposta affinché la comunità possa votare da zero?Chiaramente * puoi * cancellarlo, come hai già fatto una volta.
@pentane Se ti senti fortemente a riguardo, perché non portarlo a meta in modo che possiamo vedere come si sente la base di utenti al riguardo?A parte questo, l'eliminazione / annullamento dell'eliminazione è stato un test quando ho notato che avevo pensato che non potessi eliminare la risposta a causa dell'accettazione (che è il caso normale) ma ignorava il mio stato di moderatore (che dovrebbe potenziareme per cancellare qualsiasi cosa).
Non prenderla sul personale;Penso che tu sia una delle persone più interessanti su questo sito.Ma come mod credo di aspettarmi che tu sia un modello.Se qualcuno pubblica una domanda altamente votata che si rende conto che è sbagliata, dovrebbe eliminarla e pubblicare la risposta giusta.Non dovrebbero modificare la risposta già votata in modo che sia "giusta".Non è giusto per le persone che non hanno avuto la possibilità di leggere qualunque cosa stessero mettendo il loro timbro di approvazione.O mi sbaglio secondo te?
@dmckee: non è un argomento non valido e l'articolo [è disponibile sul Dropbox di un autore] (http://www.cmatta.ca/journal-articles/).In effetti, l'argomento è uno standard utilizzato anche per trattare, ad es.$ \ exp (\ hat A) $ dove $ \ hat A $ è una matrice: ** poiché non abbiamo un significato letterale per questa espressione, la * definiamo * dall'espansione di Taylor della funzione pura **.L'espansione di Taylor, si scopre, viola l'analisi dimensionale e non c'è modo migliore per farlo.Il controfattuale dell'autore "se l'argomento * fosse * dimensionato, questa espansione * sarebbe * corretta" è una falsa pista.
@ChrisDrost in realtà sì, stavo pensando che la controargomentazione è difettosa.Dice che è possibile definire la funzione coerentemente con l'analisi dimensionale.Ma per incoerenza della definizione $ (1) $, quella coerente non sarebbe una continuazione analitica in alcun senso.Potrebbe anche non essere continuo a $ 0 $ (che è dimensionale e adimensionale allo stesso tempo).Ma in quel caso potremmo semplicemente chiamare la funzione qualsiasi cosa, non ad es.$ \ exp $ o $ \ sin $ com'era originariamente.Se hai voglia di migliorare la risposta, sentiti libero di farlo - è Community Wiki :)
-1
Il commento sul giornale Matta non è corretto.Gli autori non concludono che il valore dimensionato possa essere utilizzato con funzioni trascendentali.Stanno semplicemente criticando l'argomento dell'espansione di Taylor da Wikipedia, non negando la conclusione.Citando: "Se scriviamo l'espansione formale di Taylor, [l'equazione] mostra che, * dovrebbe essere quotato $ f (x) $ *, allora ogni termine nell'espansione ha le stesse dimensioni di $ f (x) $, perché ildimensioni di $ (\ partial x ^ n / 1) \ times (1 / \ partial x ^ n) $ cancel. "(Enfasi mia).
Continuando nello stesso paragrafo: "La ragione per la necessità di includere solo numeri reali adimensionali negli argomenti della funzione trascendentale non è dovuta alla non omogeneità dimensionale dell'espansione di Taylor, ma piuttosto alla mancanza di significato fisico dell'inclusione di dimensioni e unità ingli argomenti di queste funzioni. "
@MarkH Proprio così.Non avevo notato che il testo fosse stato aggiunto.L'ho rimesso a qualcosa di simile all'ultima versione che ho scritto prima di creare l'intera Community Wiki.
@dmckee Personalmente, trovo convincente l'argomento dell'espansione di Taylor perché alcune funzioni non possono assumere valori dimensionati come * input *.L'argomento dell'articolo mostra solo che le espansioni di Taylor sono valide per funzioni il cui * output * è adimensionale.La funzione deve ancora essere in grado di ricevere input dimensionati in primo luogo, che è ciò che l'argomento dell'espansione di Taylor pretende di mostrare come impossibile per le funzioni trascendentali e di altro tipo.
#2
+23
Roan
2014-10-05 12:47:38 UTC
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(So di rispondere a una vecchia domanda, ma penso che quanto segue sia un bel modo per spiegare ai giovani studenti.)

Non è necessario conoscere le espansioni di Taylor. Ricorda semplicemente la definizione di esponenziale. Soddisfa l'equazione differenziale

$$ \ frac {\ text dy} {\ text dx} = y (x) $$

Secondo questo, la derivata di $ \ text e ^ x $ ha la stessa dimensione di $ \ text e ^ x $. Pertanto, $ x $ dovrebbe essere adimensionale, poiché la derivata di $ \ text e ^ x $ ha la dimensione di $ \ text e ^ x $ divisa per $ x $. (Questa asserzione deriva dalla definizione della derivata come limite ed è suggerita anche dalla notazione $ \ text d / \ text d x $.)

A differenza dell'argomento di espansione di Taylor che non è corretto, penso che il tuo sia quello corretto, si potrebbe generalizzare ad altre funzioni come $ \ sin (x), \ cos (x), \ log (x) $ soddisfacente $ \ dfrac {d ^ 2y (x)} {dx ^ 2} = - y (x), \ dfrac {dy (x)} {dx} = \ dfrac {1} {x} $ rispettivamente.
#3
+11
Manu
2011-03-28 02:28:14 UTC
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A causa del modo in cui viene definito un esponenziale. Con un'espressione come $ a ^ b $ intendiamo dire che la quantità $ a $ viene moltiplicata $ b $ volte con se stessa. Quindi un'espressione come $ (5 m) ^ {7s} $ significherebbe $ 5 m $ moltiplicati per "7 secondi" volte con se stessa, il che non ha senso.

Una visione matematicamente ingenua dell'esponenziazione, ma va bene.
@MarkEichenlaub Puoi spiegare brevemente l'elevazione a potenza nel modo in cui intendi?
@Marc C L'esponenziazione è un processo limitante. È fondamentalmente un'idea dall'analisi. A meno che il tuo esponente non sia un numero intero, non ha senso dire che stai solo moltiplicando una cosa per se stessa un certo numero di volte. Non sono sicuro del motivo per cui ho fatto il commento sei mesi fa, però. Non era molto importante questa domanda.
Come ha detto @Mark, è un modo molto ingenuo di guardare all'esponente. La stessa logica (imperfetta) potrebbe essere usata per dire che solo i numeri naturali (0,1,2, ...) possono essere esponenti. Anche MATRICE possono essere esponenti, così come clif.
#4
+11
Roy Simpson
2011-03-28 03:24:54 UTC
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Un ulteriore punto da notare è che strettamente si sta solo dicendo che l'esponente è adimensionale, non che non contenga espressioni con dimensione. Quindi, ad esempio, potremmo avere un'espressione come $ X = a ^ {(E / E_0)} $ dove l'esponente per a è un rapporto di energie.

Ci sono diverse restrizioni sullo spazio (a volte visualizzate come spazio vettoriale) di quantità dimensionali: ad esempio le unità vengono elevate a valori razionali, ma non irrazionali. Ciò consente la formazione di un teorema: The Buckingham $ \ Pi $ Theorem.

#5
+2
user4552
2016-10-31 20:59:58 UTC
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La risposta del wiki della community sembra essere diventata un miscuglio inconcludente di opinioni, seguito da un lungo thread di commenti difficile da interpretare. Il documento a cui si fa riferimento è Matta et al., http://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/ed1000476. L'articolo di Matta afferma di correggere "idee sbagliate ed errori comuni", ma in realtà gran parte del loro ragionamento è specioso.

Come sottolinea Matta, non c'è ragione per cui una funzione trascendentale debba prendere un input senza unità e fornire un output senza unità. Ad esempio, sia f (t) = (1 metro) exp [t / (1 secondo)]. Questa è una funzione trascendentale perfettamente sensata e richiede un input senza unità e fornisce un output senza unità. Se prendi la sua serie di Taylor, scoprirai che i coefficienti della serie hanno le giuste unità in modo che f possa essere definita, se lo desideri, in termini della sua serie di Taylor.

Tutto quello che puoi dire in questo senso è che molte delle funzioni standard richiedono input senza unità e forniscono output senza unità se li definisci dalla loro serie Taylor. Questo è non è affatto un argomento conclusivo in tutti i casi, sia perché possiamo avere funzioni diverse da quelle standard (come la f definita sopra) sia perché non tutte le funzioni devono essere o addirittura possono essere definite in termini di serie di Taylor.

Un buon esempio è la funzione radice quadrata. Non vorremmo definirlo in termini della sua serie di Taylor circa x = 0, perché non ha una serie di Taylor del genere. Se volessimo essere perversi, potremmo definirlo nei termini della sua serie di Taylor su un punto b> 0. Allora tutto ciò che accadrebbe sarebbe che se b avesse unità, lo sarebbero anche i coefficienti nella serie di Taylor.

Quando si ha a che fare con log ed esponenti, non è ovvio che non abbia senso fare cose come prendere log di quantità unitarie. Ad esempio, puoi dire che ln (5 metri) = ln (5) + ln (metri).

Matta si lamenta del fatto che log (metri) non ha senso, perché a quale potenza aumenteresti e per ottenere i metri? Tutto ciò che hanno realmente dimostrato qui è che y non è una quantità che rientra nell'algebra delle quantità unitarie. Questo è un argomento debole, poiché introducendo quantità unitarie, abbiamo già esteso l'algebra dei reali. Ad esempio, se abbiamo tre unità di base (m, kg, s), l'algebra delle quantità unitarie è isomorfa al prodotto diretto RxQxQxQ. Ad esempio, 7 newton sarebbero rappresentati dalla 4-tupla (7,1,1, -2), dove le voci dalla seconda alla quarta sono gli esponenti delle unità di base e l'operazione di gruppo per la moltiplicazione è definita in termini di moltiplicazione la prima voce e aggiungendo le altre. Quindi è perfettamente ragionevole immaginare di estendere questa algebra per includere cose come ln (metri). Un'obiezione più convincente sarebbe che questa algebra non ha buone proprietà, ad esempio non è un campo.

Matta fa notare correttamente che esistono alternative perfettamente valide alla scrittura di cose come ln (5 metri). Ad esempio, si può scrivere ln [(5 metri) / (1 metro)], e questo è lo stile preferito dalla rivista in cui è stato pubblicato l'articolo. Ma questa è solo una questione di stile, non di logica.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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