Per capirlo veramente dovresti studiare la geometria differenziale delle geodetiche in spazi temporali curvi. Cercherò di fornire una spiegazione semplificata.

Anche gli oggetti "a riposo" (in un dato sistema di riferimento) si muovono effettivamente nello spaziotempo, perché lo spaziotempo non è solo spazio, ma anche tempo: la mela è " invecchiando "- muovendosi nel tempo. La "velocità" attraverso lo spaziotempo è chiamata quattro velocità ed è sempre uguale alla velocità della luce. Lo spaziotempo nel campo gravitazionale è curvo, quindi l'asse del tempo (in termini semplici) non è più ortogonale agli assi spaziali. La mela che si muove per prima solo nella direzione del tempo (cioè a riposo nello spazio) inizia ad accelerare nello spazio grazie alla curvatura (il "mescolamento" degli assi spazio-temporale) - la velocità nel tempo diventa velocità nello spazio. L'accelerazione avviene perché il tempo scorre più lentamente quando il potenziale gravitazionale diminuisce. Apple si sta muovendo più in profondità nel campo graviational, quindi la sua velocità nella "direzione del tempo" sta cambiando (man mano che il tempo diventa sempre più lento). La velocità a quattro viene conservata (sempre uguale alla velocità della luce), quindi l'oggetto deve accelerare nello spazio. Questa accelerazione ha la direzione della diminuzione del gradiente gravitazionale.

Modifica - in base ai commenti ho deciso di chiarire cos'è la quattro velocità:

4 velocità è un quadrivettore, cioè un vettore con 4 componenti. La prima componente è la "velocità nel tempo" (quanto tempo delle coordinate trascorre per 1 unità di tempo proprio). Le restanti 3 componenti sono il classico vettore velocità (velocità nelle 3 direzioni spaziali).

$$ U = \ left (c \ frac {dt} {d \ tau}, \ frac {dx} { d \ tau}, \ frac {dy} {d \ tau}, \ frac {dz} {d \ tau} \ right) $$

Quando osservi la mela nella sua cornice di riposo (la mela è a riposo - velocità spaziale zero), l'intera 4 velocità è nella "velocità nel tempo". È perché nel frame di riposo il tempo delle coordinate è uguale al tempo corretto, quindi $ \ frac {dt} {d \ tau} = 1 $.

Quando osservi la mela da un altro sistema di riferimento, dove la mela si muove a una certa velocità, il tempo delle coordinate non è più uguale al tempo corretto. La dilatazione del tempo fa sì che il tempo misurato dalla mela sia inferiore al tempo della coordinata trascorso (il tempo della mela è più lento del tempo nel sistema di riferimento dal quale stiamo osservando la mela). Quindi, in questo frame, la "velocità nel tempo" della mela è maggiore della velocità della luce ($ \ frac {dt} {d \ tau} > 1 $), ma anche la velocità nello spazio è in aumento.

L'ampiezza della 4 velocità è sempre uguale a c, perché è un invariante (non dipende dalla scelta del sistema di riferimento). È definito come:

$$ \ left \ | U \ right \ | = \ sqrt [2] {c ^ 2 \ sinistra (\ frac {dt} {d \ tau} \ destra) ^ 2- \ sinistra (\ frac {dx} {d \ tau} \ destra) ^ 2- \ sinistra (\ frac {dy} {d \ tau} \ right) ^ 2- \ left (\ frac {dz} {d \ tau} \ right) ^ 2} $$

Notare i segni meno in l'espressione - questi provengono dalla metrica Minkowski. Le componenti della velocità a 4 velocità possono cambiare quando si passa da un sistema di riferimento a un altro, ma la grandezza rimane invariata (tutte le modifiche nelle componenti "si annullano" nella grandezza).

Quando la mela è stata staccata dal ramo dell'albero, era ferma, quindi non doveva seguire alcuna curva geodetica.

Anche a riposo nello spazio , la mela avanza ancora nello spazio-tempo. Ecco una visualizzazione della mela che cade nello spazio-tempo distorto:

http://www.youtube.com/watch?v=DdC0QN6f3G4

Per quanto riguarda il primo paragrafo, la gravità si presenta come deviazione geodetica ; inizialmente le geodetiche parallele non rimangono parallele.

Poiché, per una particella in caduta libera, l'accelerazione corretta (la lettura di un accelerometro attaccato alla particella) è zero , è corretta per dire che una particella la cui linea del mondo è una geodetica non ha un'accelerazione adeguata.

Ma non è corretto dire che una particella che cade liberamente non ha coordinate accelerazione.

Riguardo al secondo paragrafo, se la wordline di una particella non è una geodetica, la particella avrà un'accelerazione adeguata, l'accelerometro non legge zero. Due particelle che impediscono la caduta l'una verso l'altra avranno peso.

Per quanto riguarda il terzo paragrafo, penso che tu debba affinare la tua concezione di worldines e geodetiche. Se una particella esiste , ha una linea del mondo e la linea del mondo di una particella che è libera di cadere è una geodetica anche se la particella è momentaneamente stazionaria.

Non tutto deve seguire la curvatura geodetica dello spaziotempo a sua disposizione. Con la forza esterna, puoi impedire a una particella di seguire la curvatura dello spaziotempo. Solo le particelle in caduta "libera" seguono la curvatura dello spaziotempo a loro disposizione. Quindi, quando vedi un oggetto fermo che non segue la curvatura dello spaziotempo, è perché una forza esterna gli impedisce di raggiungere la sua traiettoria inerziale ... Significa che non è in "caduta libera".

Vieni in Apple : In termini di spaziotempo, niente è a riposo. Anche una mela, se attaccata all'albero, è in movimento. Ma il movimento esiste completamente nel tempo con una componente spaziale nulla. Questo movimento NON è conforme alla curvatura dello spaziotempo a sua disposizione perché le forze esterne che tengono la radice di Apple si oppongono a livello microscopico. Quando queste forze esterne smettono di funzionare, Apple inizia a seguire la curvatura dello spaziotempo che converte la componente temporale del movimento in componente spaziale. Ecco perché l'accelerazione di Apple è semplicemente un movimento inerziale. Puoi vedere la rimozione della componente temporale del movimento in Dilatazione del tempo gravitazionale .

Immagina di essere nell'emisfero settentrionale della Terra (supponendo che sia una sfera perfetta).

Ora vai a nord a velocità costante: puoi semplicemente andare dritto a nord non è necessario sterzare.

Ora vai a est con velocità costante: questo è qualcosa di diverso ora, per rimanere sullo stesso cerchio di latitudine devi sterzare costantemente verso nord. Se non vedi perché, immagina di farlo sul cerchio di latitudine 89 °. Se smetti di sterzare, inizi ad andare "dritto" lungo una geodetica e "cadere" verso l'equatore.

Questa forza di correzione dipende da dove ti trovi e dalla direzione in cui stai andando (e desideri rimanere su un percorso "coordinato-rettilineo"), è una mappa lineare che mappa la tua velocità in vigore. Si chiama simboli di Christoffel. È una proprietà del sistema di coordinate scelto e della geometria dello spazio-tempo.

Ora in realtà sulla Terra sei in un sistema di coordinate dove le coordinate sono date dalla latitudine, longitudine, altitudine e ora. La tua velocità a 4 velocità nello spazio-tempo è costante $ c $. Se stai fermo, vai dritto nella direzione del tempo. Ma per mantenere queste quattro velocità, senti una forza verso l'alto dal pavimento, questo è l'effetto dei simboli di Christoffel. Se perdi il pavimento la tua traiettoria nello spazio-tempo sarà una geodetica e cadrai.