Domanda:
Perché la curvatura dello spaziotempo dovrebbe causare la gravità?
user1648764
2014-03-11 03:26:10 UTC
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Va ​​bene dire che per un oggetto che vola oltre un oggetto massiccio, lo spaziotempo è curvato dall'oggetto massiccio, quindi l'oggetto che vola oltre segue il percorso curvo della geodetica, quindi "sembra" che stia vivendo una gravità gravitazionale accelerazione. Diciamo anche, insieme ad esso, che l'oggetto che vola oltre in realtà NON esercita alcuna forza di attrazione verso l'oggetto massiccio? Sta semplicemente seguendo la curva geodetica dello spaziotempo senza sperimentare alcuna forza attrattiva?

Ora arriviamo all'altra questione: supponiamo che due oggetti siano a riposo l'uno rispetto all'altro, cioè che non stiano seguendo alcuna geodetica spaziotemporale. Allora perché sperimenteranno l'attrazione gravitazionale l'uno verso l'altro? Per esempio. perché una mela cadrà a terra? Perché non si siede lì nella sua posizione originale in alto sopra la terra? In che modo la curvatura dello spaziotempo gli fa provare una forza di attrazione verso la terra, e perché dovremmo esercitare una forza in direzione inversa per evitare che cada? Come la causa la curvatura dello spaziotempo?

Quando la mela è stata staccata dal ramo dell'albero, era stazionaria, quindi non doveva seguire alcuna curva geodetica. Quindi non possiamo semplicemente dire che è caduto a terra perché la sua curva geodetica è passata attraverso la terra. Perché la curvatura dello spaziotempo ha fatto sì che iniziasse a muoversi?

Mi sono sempre chiesto su questo (e su questo). Questo viene _so_ messo da parte nelle spiegazioni populiste!
Questa domanda esatta mi stava sconcertando durante il viaggio di ritorno a casa ieri, ei miei figli si chiedevano perché stavo tracciando curve nell'aria sopra il volante :)
La curvatura spazio-temporale non "causa" la gravità.La curvatura spazio-temporale è la gravità.
Cinque risposte:
#1
+125
mpv
2014-03-11 04:19:26 UTC
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Per capirlo veramente dovresti studiare la geometria differenziale delle geodetiche in spazi temporali curvi. Cercherò di fornire una spiegazione semplificata.

Anche gli oggetti "a riposo" (in un dato sistema di riferimento) si muovono effettivamente nello spaziotempo, perché lo spaziotempo non è solo spazio, ma anche tempo: la mela è " invecchiando "- muovendosi nel tempo. La "velocità" attraverso lo spaziotempo è chiamata quattro velocità ed è sempre uguale alla velocità della luce. Lo spaziotempo nel campo gravitazionale è curvo, quindi l'asse del tempo (in termini semplici) non è più ortogonale agli assi spaziali. La mela che si muove per prima solo nella direzione del tempo (cioè a riposo nello spazio) inizia ad accelerare nello spazio grazie alla curvatura (il "mescolamento" degli assi spazio-temporale) - la velocità nel tempo diventa velocità nello spazio. L'accelerazione avviene perché il tempo scorre più lentamente quando il potenziale gravitazionale diminuisce. Apple si sta muovendo più in profondità nel campo graviational, quindi la sua velocità nella "direzione del tempo" sta cambiando (man mano che il tempo diventa sempre più lento). La velocità a quattro viene conservata (sempre uguale alla velocità della luce), quindi l'oggetto deve accelerare nello spazio. Questa accelerazione ha la direzione della diminuzione del gradiente gravitazionale.

Modifica - in base ai commenti ho deciso di chiarire cos'è la quattro velocità:

4 velocità è un quadrivettore, cioè un vettore con 4 componenti. La prima componente è la "velocità nel tempo" (quanto tempo delle coordinate trascorre per 1 unità di tempo proprio). Le restanti 3 componenti sono il classico vettore velocità (velocità nelle 3 direzioni spaziali).

$$ U = \ left (c \ frac {dt} {d \ tau}, \ frac {dx} { d \ tau}, \ frac {dy} {d \ tau}, \ frac {dz} {d \ tau} \ right) $$

Quando osservi la mela nella sua cornice di riposo (la mela è a riposo - velocità spaziale zero), l'intera 4 velocità è nella "velocità nel tempo". È perché nel frame di riposo il tempo delle coordinate è uguale al tempo corretto, quindi $ \ frac {dt} {d \ tau} = 1 $.

Quando osservi la mela da un altro sistema di riferimento, dove la mela si muove a una certa velocità, il tempo delle coordinate non è più uguale al tempo corretto. La dilatazione del tempo fa sì che il tempo misurato dalla mela sia inferiore al tempo della coordinata trascorso (il tempo della mela è più lento del tempo nel sistema di riferimento dal quale stiamo osservando la mela). Quindi, in questo frame, la "velocità nel tempo" della mela è maggiore della velocità della luce ($ \ frac {dt} {d \ tau} > 1 $), ma anche la velocità nello spazio è in aumento.

L'ampiezza della 4 velocità è sempre uguale a c, perché è un invariante (non dipende dalla scelta del sistema di riferimento). È definito come:

$$ \ left \ | U \ right \ | = \ sqrt [2] {c ^ 2 \ sinistra (\ frac {dt} {d \ tau} \ destra) ^ 2- \ sinistra (\ frac {dx} {d \ tau} \ destra) ^ 2- \ sinistra (\ frac {dy} {d \ tau} \ right) ^ 2- \ left (\ frac {dz} {d \ tau} \ right) ^ 2} $$

Notare i segni meno in l'espressione - questi provengono dalla metrica Minkowski. Le componenti della velocità a 4 velocità possono cambiare quando si passa da un sistema di riferimento a un altro, ma la grandezza rimane invariata (tutte le modifiche nelle componenti "si annullano" nella grandezza).

Puoi commentare perché la quattro velocità è sempre la velocità della luce?
@GreenAsJade: La quattro velocità è comunemente definita come $ u ^ i = \ frac {dx ^ i} {d \ tau} $. Scritto come quattro vettori, sembra $ \ vec {u} = \ gamma (c, \ mathbf {v}) $, con $ \ gamma = (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ {- 1 / 2} $. La sua lunghezza al quadrato è quindi $ \ gamma ^ 2 (c ^ 2-v ^ 2) $, che è uguale a $ c ^ 2 $.
Potrei chiedere chiarimenti se la velocità a cui si fa riferimento in questa risposta è velocità corretta oppure no? Inizialmente a t = 0, la mela è a riposo, e credo che una misura di velocità sarà uguale a c, mentre l'altra no. In quest'ultimo caso, sembrerebbe che la quattro velocità, in effetti, * non * sia uguale a c. Forse dovrei presentare una domanda separata, poiché è più dettagliata delle intenzioni del PO.
Questo significa che le particelle che attraversano lo spazio alla velocità della luce non attraversano il tempo? Gli elettroni non hanno un'età?
@PålGD: Esatto, le particelle che si muovono alla velocità della luce non invecchiano. Da qui la "delazione del tempo" menzionata nelle cose dei viaggi nello spazio, dove viaggiano molto ma non passa molto tempo.
@AlanSE: la velocità "corretta" è tridimensionale, questo post si occupa quasi interamente di (quella che lui chiamava) "quattro velocità". La "quattro velocità" _è_ sempre uguale alla velocità della luce. A "t = 0", la mela si sta muovendo "alla velocità della luce" nel tempo.
@MooingDuck Quando dici che si sta muovendo nel tempo alla velocità della luce, qual è il sistema di riferimento secondo questo? Qualunque? Non sarebbe coerente con la dilatazione del tempo. Quindi questo non è ancora risolto.
A quanto ho capito, la luce si muove alla "velocità della luce" in _tutti_ i frame di riferimento, il che fa parte del motivo per cui la relatività (generale? Speciale?) È così strana. Infrange le normali regole. Tuttavia, questo è al limite della mia comprensione della fisica, quindi potrebbe benissimo essere errato al 100%.
@AlanSE La mela si muove nel tempo alla velocità della luce solo nel sistema di riferimento in cui la mela è a riposo (spazialmente). In qualche altro sistema di riferimento (dove la mela ha una certa velocità spaziale) la sua velocità nel tempo è più lenta. La quattro velocità è un vettore che ha 4 componenti. Tutti questi componenti possono variare tra i fotogrammi, ma la grandezza di questo 4-vettore rimane invariata (sempre uguale a c).
@PålGD Le particelle che si muovono alla velocità della luce (nello spazio) infatti non invecchiano, perché il loro tempo proprio è zero (a causa della dilatazione temporale). Ma questo non si applica agli elettroni (che hai menzionato nel tuo commento), perché gli elettroni non si muovono alla velocità della luce. Si applica ai fotoni.
@mpv Affermate che la velocità a 4 velocità ha una grandezza c in tutti i sistemi di riferimento. Se la componente temporale non è uguale a c, significa che una componente spaziale deve essere diversa da zero. Nel caso della mela, quale? Non tutti i sistemi di riferimento concordano sul fatto che sia a riposo (usando la metrica schwarzschild per l'osservatore lontano)?
@AlanSE Non sono sicuro di aver compreso il problema. Questa è la trasformazione di base. Se la componente temporale è minore di c, le componenti spaziali la compenseranno per rendere la grandezza esattamente c. Quali componenti particolari? Dipende dal piano di riferimento scelto. In un fotogramma che si muove in c / 2 lungo l'asse y, la componente y della 4-velocità della mela sarà -c / 2. In un altro frame ci saranno altri componenti. La mela non è ferma in tutti i quadri di riferimento. Ci sono molti fotogrammi in cui la mela si muove in varie direzioni a varie velocità.
Sicuramente devi avere $ \ frac {dt} {d \ tau}> 1 $ in un frame in cui la mela ha una velocità diversa da zero? Quindi il tempo corretto misurato dalla mela è * inferiore * al tempo coordinato trascorso.
@mpv Ora hai stabilito che un osservatore in r = infinito in coordinate schwarzschild percepisce che la mela ha una velocità. Ma questi non sono quadri di riferimento * in movimento *. Diciamo che abbiamo A, B, C, che sono Newton, la mela e gli alieni. Gli alieni sono stazionari rispetto alla Terra e Newton. A t = 0, B è stazionario rispetto ad A. Quindi se accetto la tua posizione, B deve essere non stazionario rispetto a C, ma questo è chiaramente sbagliato. Anche se la superficie della Terra non fosse stazionaria per un osservatore lontano, c'è una certa velocità verso l'alto / verso il basso dove * è * sia stazionaria che gravitazionalmente dilatata nel tempo
@AlanSE Non sono sicuro di come arrivi a tali conclusioni. Se A, B, C sono tutti fermi l'uno rispetto all'altro, non si muovono l'uno rispetto all'altro. Questo è elementare. In che modo la mia risposta suggerisce qualcos'altro? Tutto quello che sto dicendo è che se stabilisci un sistema di riferimento che si muove rispetto alla mela, allora la mela ha una velocità spaziale in tale cornice. Questo è ancora elementare. Non sto parlando di osservatori all'infinito, ma solo di sistemi di riferimento. Ti suggerisco di inserirla come domanda a parte, perché mi sembra difficile chiarirla in un commento.
@SimonWoods Hai ragione. Ho modificato la risposta per riflettere questo. Grazie per la cattura!
@mpv In effetti, posso sottoporre una domanda del genere. Capisco il punto sullo spostamento degli osservatori e sono d'accordo che il 4-vettore ha sempre una lunghezza di c in quel senso di relatività speciale. Il mio problema è che un oggetto che cade nella parte superiore della sua traiettoria parabolica sembra non avere la stessa proprietà. In questo momento, la mia impressione è che la risoluzione sia più profonda di quella di cui abbiamo discusso qui ed è contenuta nella non ortogonalità dell'asse temporale che hai discusso - il che porta gli osservatori a non essere d'accordo su ciò che costituisce la parte superiore dell'arco della mela. Ma questo ancora non risolve l'altra obiezione che ho menzionato.
Se sto spiegando ai bambini, è corretto dire che ci sono 4 dimensioni e la gravità fa sì che il movimento lungo la 4a (tempo) venga trasferito alle altre tre, conservando la velocità complessiva.Nella gravità infinita, il movimento nel tempo si ferma e la velocità di caduta è la velocità della luce.
Ottima risposta +1.L'unica cosa da aggiungere forse è che ciò che chiamiamo "velocità della luce" è in realtà la velocità del tempo.Questo rende facile capire perché ci muoviamo sempre nello spaziotempo con la velocità del tempo - perché ci muoviamo nel tempo nel nostro frame di riposo.Questo dà anche l'intuizione della dilatazione del tempo della velocità in SR: più ci avviciniamo alla velocità del tempo, più lentamente ci muoviamo rispetto al movimento del tempo.
#2
+46
answerman
2014-03-11 17:51:46 UTC
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Quando la mela è stata staccata dal ramo dell'albero, era ferma, quindi non doveva seguire alcuna curva geodetica.

Anche a riposo nello spazio , la mela avanza ancora nello spazio-tempo. Ecco una visualizzazione della mela che cade nello spazio-tempo distorto:

http://www.youtube.com/watch?v=DdC0QN6f3G4

L'ho sempre visualizzato come la mela tenuta dal gambo in cima a una valle, il cui fondo è il pozzo di gravità terrestre / centro di massa. Il gambo si rompe e la mela rotola giù per la collina nella gravità della "valle". L'animazione è molto buona, ma mi chiedo perché lo spazio-tempo si stia curvando dalla direzione della gravità terrestre. (Penso di interpretarlo correttamente perché le frecce della forza del ramo / ramo puntano opposto al centro della terra e quella direzione è indicata come il centro della curva del grafico dello spaziotempo.)
Questo è un bel video ...
@PatrickM È perché sei stato ingannato.L'immagine del pozzo gravitazionale è utile per mostrare il potenziale gravitazionale (classico) e le geodetiche.Non rappresenta la curvatura dello spaziotempo che sarebbe difficile da mostrare per qualsiasi dimensione spaziale> 1. Quindi il video della mela è l'unico esempio legittimo che ho visto di cosa significhi realmente curvatura.Si noti qui che la dimensione spaziale non è affatto curva, ma la dimensione temporale è - che è vicina a come è in realtà sotto GR.
#3
+14
Alfred Centauri
2014-03-11 04:54:43 UTC
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Per quanto riguarda il primo paragrafo, la gravità si presenta come deviazione geodetica ; inizialmente le geodetiche parallele non rimangono parallele.

Poiché, per una particella in caduta libera, l'accelerazione corretta (la lettura di un accelerometro attaccato alla particella) è zero , è corretta per dire che una particella la cui linea del mondo è una geodetica non ha un'accelerazione adeguata.

Ma non è corretto dire che una particella che cade liberamente non ha coordinate accelerazione.

Riguardo al secondo paragrafo, se la wordline di una particella non è una geodetica, la particella avrà un'accelerazione adeguata, l'accelerometro non legge zero. Due particelle che impediscono la caduta l'una verso l'altra avranno peso.

Per quanto riguarda il terzo paragrafo, penso che tu debba affinare la tua concezione di worldines e geodetiche. Se una particella esiste , ha una linea del mondo e la linea del mondo di una particella che è libera di cadere è una geodetica anche se la particella è momentaneamente stazionaria.

#4
+11
Schrödinger's Cat
2014-03-11 05:50:41 UTC
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Non tutto deve seguire la curvatura geodetica dello spaziotempo a sua disposizione. Con la forza esterna, puoi impedire a una particella di seguire la curvatura dello spaziotempo. Solo le particelle in caduta "libera" seguono la curvatura dello spaziotempo a loro disposizione. Quindi, quando vedi un oggetto fermo che non segue la curvatura dello spaziotempo, è perché una forza esterna gli impedisce di raggiungere la sua traiettoria inerziale ... Significa che non è in "caduta libera".

Vieni in Apple : In termini di spaziotempo, niente è a riposo. Anche una mela, se attaccata all'albero, è in movimento. Ma il movimento esiste completamente nel tempo con una componente spaziale nulla. Questo movimento NON è conforme alla curvatura dello spaziotempo a sua disposizione perché le forze esterne che tengono la radice di Apple si oppongono a livello microscopico. Quando queste forze esterne smettono di funzionare, Apple inizia a seguire la curvatura dello spaziotempo che converte la componente temporale del movimento in componente spaziale. Ecco perché l'accelerazione di Apple è semplicemente un movimento inerziale. Puoi vedere la rimozione della componente temporale del movimento in Dilatazione del tempo gravitazionale .

#5
+4
Calmarius
2015-05-04 21:43:02 UTC
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Immagina di essere nell'emisfero settentrionale della Terra (supponendo che sia una sfera perfetta).

Ora vai a nord a velocità costante: puoi semplicemente andare dritto a nord non è necessario sterzare.

Ora vai a est con velocità costante: questo è qualcosa di diverso ora, per rimanere sullo stesso cerchio di latitudine devi sterzare costantemente verso nord. Se non vedi perché, immagina di farlo sul cerchio di latitudine 89 °. Se smetti di sterzare, inizi ad andare "dritto" lungo una geodetica e "cadere" verso l'equatore.

Questa forza di correzione dipende da dove ti trovi e dalla direzione in cui stai andando (e desideri rimanere su un percorso "coordinato-rettilineo"), è una mappa lineare che mappa la tua velocità in vigore. Si chiama simboli di Christoffel. È una proprietà del sistema di coordinate scelto e della geometria dello spazio-tempo.

Ora in realtà sulla Terra sei in un sistema di coordinate dove le coordinate sono date dalla latitudine, longitudine, altitudine e ora. La tua velocità a 4 velocità nello spazio-tempo è costante $ c $. Se stai fermo, vai dritto nella direzione del tempo. Ma per mantenere queste quattro velocità, senti una forza verso l'alto dal pavimento, questo è l'effetto dei simboli di Christoffel. Se perdi il pavimento la tua traiettoria nello spazio-tempo sarà una geodetica e cadrai.

Questo è un bell'esempio!


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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