Sto cercando di capire come i numeri complessi siano entrati in QM. Possiamo avere una teoria della stessa fisica senza numeri complessi? In tal caso, la teoria che utilizza numeri complessi è più facile?
La natura dei numeri complessi in QM è emersa in una recente discussione e sono stato definito uno stupido hack per aver messo in dubbio la loro rilevanza. Principalmente per ragioni terapeutiche, ho scritto la mia opinione sulla questione:
È stato affermato che una delle caratteristiche distintive che separano il mondo quantistico da quello classico è l'uso di numeri complessi. È un dogma e c'è del vero, ma non è tutta la storia:
Anche se i numeri complessi si presentano necessariamente come cittadini di prima classe del mondo quantistico, sosterrò che il nostro vecchio amico i reali non dovrebbe essere sottovalutato.
Nella formulazione algebrica, abbiamo un insieme di osservabili di un sistema quantistico che viene fornito con la struttura di un reale spazio vettoriale. Gli stati del nostro sistema possono essere realizzati come funzionali lineari positivi (quindi necessariamente reali) normalizzati su quello spazio.
Nella formulazione della funzione d'onda, l'equazione di Schrödinger è manifestamente complessa e agisce su funzioni a valori complessi. Tuttavia, è scritto in termini di derivate parziali ordinarie di variabili reali e si separa in due equazioni reali accoppiate: l'equazione di continuità per l'ampiezza di probabilità e un'equazione di tipo Hamilton-Jacobi per l'angolo di fase.
Il modello manifestamente reale di sistemi quantistici a 2 stati è ben noto.
Diamo un'occhiata a come si finisce con i numeri complessi nella formulazione algebrica:
Complessiamo lo spazio delle osservabili e lo trasformiamo in un'algebra $ C ^ * $. Andiamo quindi avanti e lo rappresentiamo mediante operatori lineari su uno spazio di Hilbert complesso (costruzione GNS).
Gli stati puri finiscono come raggi complessi, quelli misti come operatori di densità.
Tuttavia, non è l'unico modo per farlo:
Possiamo lasciare che lo spazio reale sia reale e dotarlo della struttura di una Lie-Jordan-Algebra. Andiamo quindi avanti e lo rappresentiamo mediante operatori lineari su uno spazio di Hilbert reale (costruzione di Hilbert-Schmidt).
Sia gli stati puri che quelli misti finiranno come raggi reali. Mentre quelli puri sono necessariamente unici, quelli misti in generale non lo sono.
Anche nelle formulazioni manifestamente reali, la struttura complessa è ancora lì, ma sotto mentite spoglie :
Esiste una proprietà 2 su 3 che collega il gruppo unitario $ U (n) $ con il gruppo ortogonale $ O (2n) $, il gruppo simplettico $ Sp (2n, \ mathbb R ) $ e il gruppo lineare generale complesso $ GL (n, \ mathbb C) $: se due degli ultimi tre sono presenti e compatibili, riceverai il terzo gratuitamente.
Un esempio per questa è la parentesi di Lie e il prodotto Jordan: insieme a una condizione di compatibilità, sono sufficienti per ricostruire il prodotto associativo dell'algebra $ C ^ * $.
Un altro esempio di ciò è la struttura di Kähler di lo spazio di Hilbert complesso proiettivo preso come una varietà reale, che è ciò che si ottiene quando si rimuove la libertà di gauge dalla rappresentazione degli stati puri:
Viene fornito con un prodotto simplettico che specifica le dinamiche tramite hamiltoniano v ector e una metrica Riemanniana che ti dà probabilità. Rendili compatibili e otterrai una struttura quasi complessa definita implicitamente.
La meccanica quantistica è unitaria, con la struttura simplettica responsabile delle dinamiche, la struttura ortogonale responsabile delle probabilità e la struttura complessa che collega questi due. Può essere realizzata su spazi sia reali che complessi in modi ragionevolmente naturali, ma tutta la struttura è necessariamente presente, anche se non manifestamente.
La preferenza per gli spazi complessi è solo un incidente storico? Non proprio. La formulazione complessa è una semplificazione in quanto la struttura viene spinta negli scalari della nostra teoria, e c'è una certa eleganza nell'unificare due strutture reali in una singola complessa.
D'altra parte, si potrebbe sostenere che non ha senso mischiare strutture responsabili di caratteristiche distinte della nostra teoria (dinamiche e probabilità), o che l'introduzione di non osservabili nella nostra algebra sia un odore di progettazione poiché preferibilmente dovremmo usare solo operazioni interne.
Anche se probabilmente continueremo a fare meccanica quantistica in termini di realizzazioni complesse, si dovrebbe tenere a mente che la teoria può essere resa manifestamente reale. Questo fatto non dovrebbe davvero sorprendere nessuno che abbia visto dall'alto invece di limitarsi a guardare attraverso i paraocchi di specifici formalismi.
I numeri complessi nella meccanica quantistica sono per lo più falsi. Possono essere sostituiti ovunque da numeri reali, ma è necessario disporre di due funzioni d'onda per codificare le parti reale e immaginaria. Il motivo è solo perché gli autovalori dell'operatore di evoluzione temporale $ e ^ {iHt} $ sono complessi, quindi le parti reale e immaginaria sono coppie degenerative che si mescolano per rotazione, e puoi rietichettarle usando i.
Il motivo per cui sai che è falso è che non tutte le simmetrie fisiche rispettano la struttura complessa. L'inversione del tempo cambia il segno della "i". L'operazione di inversione temporale fa questo perché inverte il senso in cui le parti reale e immaginaria degli autovettori ruotano l'una nell'altra, ma senza invertire il segno dell'energia (poiché uno stato invertito nel tempo ha la stessa energia, non negativa del energia).
Questa proprietà significa che la "i" che vedi nella meccanica quantistica può essere considerata una scorciatoia per la matrice (0,1; -1,0), che è algebricamente equivalente, e quindi è possibile utilizzare funzioni d'onda di parti reali e immaginarie. Quindi l'inversione del tempo è semplice da capire --- è una trasformazione ortogonale che porta i a -i, quindi non commuta con i.
Il modo corretto per chiedere "perché i" è chiedere perché l'operatore i, considerato come una matrice, commuta con tutti gli osservabili fisici. In altre parole, perché gli stati sono raddoppiati nella meccanica quantistica in coppie indistinguibili. Il motivo per cui possiamo usarlo come unità immaginaria del numero c è perché ha questa proprietà. Per costruzione, faccio il pendolare con H, ma la domanda è perché deve fare il pendolare con tutto il resto.
Un modo per capirlo è considerare due sistemi a dimensione finita con Hamiltoniane isolate $ H_1 $ e $ H_2 $, con un'interazione Hamiltoniana $ f (t) H_i $. Questi devono interagire in modo tale che se blocchi l'interazione in qualsiasi momento, in modo che $ f (t) $ aumenti a una costante e rimanga lì, il risultato sarà un sistema quantistico significativo, con energia diversa da zero. Se c'è un punto in cui $ H_i (t) $ non commuta con l'operatore i, ci saranno stati energetici che non possono ruotare nel tempo, perché non hanno partner della stessa energia in cui ruotare. Tali stati devono essere necessariamente di energia zero. L'unico stato di energia zero è il vuoto, quindi questo non è possibile.
Concluderai che qualsiasi miscelazione attraverso un'interazione hamiltoniana tra due sistemi quantistici deve rispettare la struttura i, quindi intrecciare due sistemi per eseguire una misurazione su uno sarà ugualmente impigliato con i due stati che insieme formano lo stato complesso.
È possibile troncare la meccanica quantistica (almeno di sicuro in una teoria bosnica pura con una vera hamiltoniana, cioè PT simmetrica) in modo che lo stato fondamentale (e solo lo stato fondamentale) abbia energia esattamente zero e non abbia un partner. Per un sistema bosonico, la funzione d'onda dello stato fondamentale è reale e positiva, e se ha energia zero, non avrà mai bisogno del partner immaginario con cui mescolarsi. Tale troncamento si verifica naturalmente nella continuazione analitica dei sistemi SUSY QM con SUSY ininterrotto.
Se non ti piacciono i numeri complessi, puoi utilizzare coppie di numeri reali (x, y). Puoi "aggiungere" due coppie per (x, y) + (z, w) = (x + z, y + w), e puoi "moltiplicare" due coppie per (x, y) * (z, w) = (xz-yw, xw + yz). (Se non pensi che la moltiplicazione dovrebbe funzionare in questo modo, puoi invece chiamare questa operazione "shmultiplication".)
Ora puoi fare qualsiasi cosa nella meccanica quantistica. Le funzioni d'onda sono rappresentate da vettori in cui ogni voce è una coppia di numeri reali. (Oppure si può dire che le funzioni d'onda sono rappresentate da una coppia di vettori reali.) Gli operatori sono rappresentati da matrici in cui ogni voce è una coppia di numeri reali, o in alternativa gli operatori sono rappresentati da una coppia di matrici reali. Shmultiplication è utilizzato in molte formule. Etc. Etc.
Sono sicuro che vedi che questi sono esattamente gli stessi dei numeri complessi. (vedi il commento di Lubos: "una macchina artificiosa che imita numeri complessi") Sono "numeri complessi per persone che hanno problemi filosofici con numeri complessi". Ma avrebbe più senso superare quei problemi filosofici. :-)
Frank, suggerirei di acquistare o prendere in prestito una copia di QED: The Strange Theory of Light and Matter di Richard Feynman. Oppure puoi andare direttamente alla versione video online neozelandese delle lezioni che hanno dato origine al libro.
In QED vedrai come Feynman elimina completamente i numeri complessi e descrive invece le funzioni d'onda dei fotoni (particelle di luce) come nient'altro che quadranti simili a orologi che ruotano mentre si muovono nello spazio. In una nota a piè di pagina in versione libro menziona di sfuggita "oh, a proposito, i numeri complessi sono davvero buoni per rappresentare la situazione dei quadranti che ruotano mentre si muovono nello spazio", ma evita intenzionalmente equivalenza che è tacita o almeno implicita in molti libri di testo. Feynman è abbastanza chiaro su un punto: è la rotazione di fase mentre ti muovi nello spazio che è il concetto fisico più fondamentale per descrivere la meccanica quantistica, non i numeri complessi stessi. [1]
Vorrei subito sottolineare che Feynman non stava mancando di rispetto alla notevole utilità dei numeri complessi per descrivere i fenomeni fisici. Lontano da esso! Era affascinante, ad esempio, per l'equazione del piano complesso nota come identità di Eulero, $ e ^ {i \ pi} = -1 $ (o, equivalentemente, $ e ^ {i \ pi} + 1 = 0 $), e la considerava una delle equazioni più profonde di tutta la matematica: vedi il suo Volume 1, Capitolo 22 di "The Feynman Lectures in Physics.
È solo che Feynman in QED voleva enfatizzare la straordinaria semplicità concettuale di alcuni dei concetti fondamentali della fisica moderna. In QED , ad esempio, continua a usare i suoi piccoli quadranti dell'orologio per mostrare come principio il suo intero metodo per prevedere il comportamento dei campi e dei sistemi elettrodinamici potrebbe essere fatto utilizzando tali quadranti mobili.
Non è pratico, ovviamente, ma non è mai stato il punto di Feynman in primo luogo. Il suo messaggio in QED era più simile a questo: aggrappati alla semplicità quando la semplicità è disponibile! Costruisci sempre le cose più complicate da quella semplicità, piuttosto che sostituire la semplicità con la complessità. In questo modo, quando vedi qualcosa di orribile e apparentemente irrisolvibile, quella vocina può intervenire e dire "So che il semplice principio che ho imparato deve ancora essere in questo casino, da qualche parte! Quindi tutto quello che devo fare è trovarlo, e tutto questo appariscente razzamatazz soffiato dalla neve scomparirà! "
[1] Ironia della sorte, poiché i quadranti fisici hanno una forma particolarmente semplice di simmetria circolare in cui tutte le posizioni (fasi) del quadrante sono assolutamente identiche in tutto proprietà, si potrebbe sostenere che tali quadranti forniscono un modo più accurato per rappresentare la fase quantistica rispetto ai numeri complessi. Questo perché, come con i quadranti, una fase quantistica in un sistema reale sembra non avere assolutamente nulla di unico al riguardo: una "posizione del quadrante" è buona come qualsiasi altra, purché tutte le fasi mantengano la stessa posizioni l'una rispetto all'altra . Al contrario, se usi un numero complesso per rappresentare una fase quantistica, c'è una sottile asimmetria strutturale che si manifesta se esegui determinate operazioni come il quadrato del numero (fase). Se lo fai con un numero complesso, ad esempio la posizione dell'orologio rappresentata da $ 1 $ (chiamiamola 3pm) rimane a $ 1 $, mentre al contrario la posizione dell'orologio rappresentata da $ -1 $ (9pm) si trasforma in $ 1 $ ( 15:00). Questo non è un grosso problema in un'equazione impostata correttamente, ma quella piccola e curiosa asimmetria non fa sicuramente parte della fase quantistica rilevabile fisicamente. Quindi, in questo senso, rappresentare una fase del genere utilizzando un numero complesso aggiunge un po 'di "rumore" matematico che non è nel sistema fisico.
Parla il vecchio maestro Dirac:
"Si potrebbe pensare di poter misurare una variabile dinamica complessa misurando separatamente le sue parti reali e pure immaginarie. Ma ciò comporterebbe due misurazioni o due osservazioni , che andrebbe bene nella meccanica classica, ma non nella meccanica quantistica, dove due osservazioni in generale interferiscono l'una con l'altra - non è in generale lecito considerare che due osservazioni possono essere fatte esattamente simultaneamente, e se sono fatte in la rapida successione del primo di solito disturberà lo stato del sistema e introdurrà un'indeterminatezza che influenzerà il secondo. " (PAM Dirac, I principi della meccanica quantistica, §10, p.35)
Quindi, se interpreto Dirac correttamente, l'uso di numeri complessi aiuta a distinguere tra quantità che possono essere misurate contemporaneamente e quello che non può. Perderesti questa caratteristica, se formulassi QM esclusivamente con numeri reali.
I numeri complessi "compaiono" in molte aree come, ad esempio, l'analisi AC nell'ingegneria elettrica e l'analisi di Fourier di funzioni reali.
Il complesso esponenziale, $ e ^ {st}, \ s = \ sigma + i \ omega $ compare nelle equazioni differenziali, trasformate di Laplace, ecc.
In realtà, non dovrebbe essere poi così sorprendente che i numeri complessi siano usati in QM; sono onnipresenti in altre aree della fisica e dell'ingegneria.
E sì, l'uso di numeri complessi rende molti problemi molto più facili da risolvere e da capire.
Mi è piaciuto particolarmente questo libro (scritto da un EE) che fornisce molti esempi illuminanti sull'uso di numeri complessi per semplificare notevolmente i problemi.
Non sono molto esperto di storia, ma credo che le persone che si occupano di fisica classica delle onde avessero notato da tempo la stretta corrispondenza tra i molti $ \ sin \ theta $ se $ \ cos \ theta $ s che volavano intorno al loro equazioni e il comportamento di $ e ^ {i \ theta} $. In effetti la maggior parte dei calcoli relativi alle onde può essere eseguita con meno problemi in forma esponenziale.
Quindi nella storia primordiale della meccanica quantistica troviamo le cose descritte in termini di onde di materia di de Broglie.
E funziona, che è davvero l'ultima parola in materia.
Infine, tutta la matematica che coinvolge numeri complessi può essere scomposta in operazioni composte su numeri reali, quindi puoi ovviamente riformulare la teoria in quei termini. Non c'è motivo di pensare che otterrai qualcosa in termini di facilità o intuizione.
Sì, possiamo avere una teoria della stessa fisica senza numeri complessi (senza usare coppie di funzioni reali invece di funzioni complesse), almeno in alcune delle più importanti teorie quantistiche generali. Ad esempio, Schrödinger (Nature (London) 169, 538 (1952)) ha osservato che si può rendere reale una funzione d'onda scalare mediante una trasformata di gauge. Inoltre, sorprendentemente, l'equazione di Dirac in campo elettromagnetico è generalmente equivalente a un'equazione differenziale parziale del quarto ordine per un solo componente complesso, componente che può anche essere reso reale da una trasformata di gauge (http://akhmeteli.org/wp-content /uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (un articolo pubblicato nel Journal of Mathematical Physics) o http://arxiv.org/abs/1008.4828).
I numeri complessi vengono utilizzati solo per motivi pratici: QM include eliche e funzioni simili. La formula di Eulero
$$ {e ^ {i \ alpha}} = \ sin \ alpha + i \ cos \ alpha $$
descrive le eliche tridimensionali in un modo molto semplice, ma se vuoi usarlo devi sostituire un asse reale con un asse immaginario. Questo è il motivo per cui QM generalmente funziona con un asse immaginario. Per la stessa ragione per cui in ingegneria vengono utilizzati numeri complessi: in ogni caso è necessario descrivere un processo simile a un'elica.
Il gruppo di rotazione, le sue rappresentazioni e i loro spazi portanti sono parti fondamentali della meccanica quantistica. Ogni oggetto nell'universo è uno spin = 0, 1/2, 1, 3/2, 2,… oggetto. Per gli oggetti di spin interi, il gruppo di rotazione è O (3) e le matrici di rotazione contengono solo numeri reali.Tuttavia, nel mondo ci sono particelle di spin semi-interi e per ruotarle sono necessarie matrici con numeri complessi. Il gruppo che copre tutte le rotazioni è SU (2) che ha un array 2 x 2 di generatori $ J $. I 3 angoli di rotazione devono essere codificati nella matrice 2 x 2 dei parametri del gruppo di menzogne $ \ Theta $. L'elemento gruppo (cioè: la matrice di rotazione) è quindi $$ R = e ^ {\ Theta ^ {mn} J ^ {nm}} $$ La "S" speciale in SU (2) significa $ det (R) = 1 $ che implica $ Trace (\ Theta) = 0 $. R è unitario che rende $ (\ Theta ^ {nm}) ^ * + \ Theta ^ {mn} = 0 $. Se gli elementi in $ \ Theta $ sono reali, $ \ Theta $ è antisimmetrico. Quindi $$ \ Theta = \ begin {bmatrix} a & b \\ -b & -a \ end {bmatrix} $$ Notate che non c'è modo di inserire un terzo angolo c in $ \ Theta $ senza usare $ i $. Quindi usando $ i $ le 3 rotazioni possono essere inserite in $ \ Theta $. $$ \ Theta = (i / 2) \ begin {bmatrix} - \ theta_z & \ theta_x + i \ theta_y \\ \ theta_x - i \ theta_y & \ theta_z \ end {bmatrix} $$
Pertanto, una ragione per cui i numeri complessi sono necessari nella meccanica quantistica è perché esistono particelle di spin semi-intero.
Esempio esplicito di equazione di Schrodinger "senza" numeri complessi
Solo per dare un'equazione completamente esplicita del caso di una particella in base di posizione formulata solo con numeri reali (ma due funzioni d'onda invece di una $ \ Psi_ {real} $ span> e $ \ Psi_ {img} $ ):
$$ \ begin {align} - \ frac {\ partial \ Psi_ {img} (t, x, y, z)} {\ partial t} & = - \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi_ {real} (t, x, y, z)} {\ partial ^ 2 x} - \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi_ {real} (t, x, y, z)} {\ partial ^ 2 y} - \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi_ {real} (t, x, y, z)} {\ partial ^ 2 z} \\ & + V (t, x, y, z) \ Psi_ {real} (t, x, y, z) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ Psi_ {real} (t, x, y, z)} {\ partial t} & = - \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi_ {img} (t, x, y, z)} {\ partial ^ 2 x} - \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi_ {img} (t, x, y, z)} {\ partial ^ 2 y} - \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi_ {img} (t, x, y, z)} {\ partial ^ 2 z} \\ & + V (t, x, y, z) \ Psi_ {img} (t, x, y, z) \\ \ end {align} $$
dove $ \ Psi_ {real} $ e $ \ Psi_ {img} $ sono entrambi reali funzioni valutate $ \ mathbb {R} ^ 4 \ to \ mathbb {R} $ e rappresentano ovviamente le parti separate reali e immaginarie dell'equazione di Schrodinger più standard equivalente:
$$ i \ frac {\ partial \ Psi (t, x, y, z)} {\ partial t} = - \ nabla ^ 2 \ Psi (t, x, y, z) + V (t, x, y, z) \ Psi (t, x, y, z) $$
Nota che l'equivalenza vale perché il potenziale $ V $ deve essere a valori reali, altrimenti la conservazione della probabilità non viene osservata.
Anche se non ho ragioni filosofiche super profonde per spiegare perché il numero immaginario appare (forse la "deduzione" intuitiva di alto livello dell'equazione fornirà gli indizi migliori?), la forma esplicita del numero reale rende la seguente intuizione più chiaro per me:
la PDE con cui abbiamo a che fare è in realtà un sistema di PDE con due equazioni e due funzioni sconosciute
sebbene l'equazione originale assomigli a una equazione del calore a causa della derivata temporale del primo ordine, sappiamo che l'equazione di Schrodinger mostra un comportamento oscillatorio simile a un'onda, che è più simile al equazione delle onde
Con la forma reale esplicita, questo diventa molto più credibile, perché $ \ partial \ Psi_ {img} / \ partial t $ dipende da $ \ Psi_ {real} $ , e a sua volta $ \ partial \ Psi_ {real} / \ partial t $ kind di dipende da $ \ partial \ Psi_ {img} $ . Quindi, per "analogia" con la riduzione a un sistema del primo ordine nelle ODE, questo sembra effettivamente un derivato secondo.
Se dimentichiamo per un momento la parte laplaciana e assumiamo un potenziale costante, abbiamo un sistema di ODE del primo ordine lineare super classico che può avere soluzioni sin / cos / exp.
Infine, se stavi cercando di risolvere numericamente l'equazione, probabilmente sceglieresti la forma reale esplicita, poiché non ci sono davvero operazioni intrinsecamente complesse da fare. In un certo senso, i numeri complessi dell'equazione di Schrödinger possono essere completamente suddivisi in due equazioni reali / immaginarie separate senza problemi, poiché non c'è nulla di fondamentale come la differenziazione complessa da affrontare.
Aggiornamento: questa risposta è stata sostituita dalla mia seconda. Lo lascio così com'è per ora poiché è più concreto in alcuni punti. Se un moderatore pensa che debba essere cancellato, sentiti libero di farlo.
Non conosco nessuna risposta semplice alla tua domanda, nessuna risposta semplice che ho finora incontrato non è stato davvero convincente.
Prendiamo l'equazione di Schrödinger, che contiene esplicitamente l'unità immaginaria. Tuttavia, se scrivi la funzione d'onda in forma polare, arriverai a un sistema (per lo più) equivalente di due equazioni reali: l'equazione di continuità insieme a un'altra che assomiglia notevolmente a un'equazione di Hamilton-Jacobi.
Poi c'è l'argomento che il commutatore di due osservabili è anti-ermitiano. Tuttavia, le osservabili formano un'algebra di Lie reale con parentesi $ -i [\ cdot, \ cdot] $, che Dirac chiama parentesi di Poisson quantistica.
Tutti i valori di aspettativa sono ovviamente reale, e qualsiasi stato $ \ psi $ può essere caratterizzato dalla funzione a valore reale $$ P_ \ psi (·) = | \ langle \ psi, · \ rangle | ^ 2 $$
Ad esempio, il qubit ha una descrizione reale, ma non so se questo può essere generalizzato ad altri sistemi quantistici.
Credevo che avessimo bisogno di spazi di Hilbert complessi per ottenere una caratterizzazione univoca degli operatori nella tua algebra osservabile in base ai loro valori di aspettativa.
In particolare, $$ \ langle \ psi, A \ psi \ rangle = \ langle \ psi, B \ psi \ rangle \ ; \; \ forall \ psi \ Rightarrow A = B $$ vale solo per spazi vettoriali complessi.
Ovviamente, imponi la restrizione aggiuntiva che i valori delle aspettative dovrebbero essere reali e quindi finiscono con operatori aggiunti.
Per gli spazi dei vettori reali, quest'ultimo vale automaticamente. Tuttavia, se imponi la prima condizione, ti ritroverai anche con operatori autoaggiunti; se le tue condizioni sono valori reali delle aspettative e una rappresentazione unica di osservabili, non è necessario preferire spazi complessi a quelli reali.
L'argomento più convincente che ho sentito finora è che la sovrapposizione lineare degli stati quantistici non dipende solo dal quoziente dei valori assoluti dei coefficienti $ | α | / | β | $, ma anche dalla loro differenza di fase $ \ arg (α) - \ arg (β) $.
Aggiornamento: C'è un altro argomento geometrico che mi sono imbattuto di recente e che trovo ragionevolmente convincente: la descrizione degli stati quantistici come i vettori in uno spazio di Hilbert sono ridondanti: dobbiamo andare nello spazio proiettivo per sbarazzarci di questa libertà di gauge. Le parti reale e immaginaria del prodotto hermitiano inducono una struttura metrica e simplettica sullo spazio proiettivo - in effetti, gli spazi di Hilbert complessi proiettivi sono varietà di Kähler. Mentre la struttura metrica è responsabile delle probabilità, quella simplettica fornisce le dinamiche tramite le equazioni di Hamilton. A causa della proprietà 2 su 3, richiedere che le strutture metriche e simplettiche siano compatibili ci fornirà una struttura quasi complessa gratuitamente.
Giusto per chiarire, sembra che puoi.
Oggi si insegnano ancora i numeri complessi università e ancora sostenuto da alcuni. Si soffermano su fisica e ingegneria dove sono le onde o il movimento sinusoidale coinvolto, anche se anche qui c'è (quasi) sempre un approccio alternativo pubblicato che è privo di numeri immaginari.
Una famosa area della fisica era complessa i metodi hanno ancora una morsa virtuale meccanica quantistica.Sebbene il vettore esistono alternative che non vengono promosse fortemente al momento e l'approccio dominante è usare numeri immaginari.Alcuni addirittura affermano questo è essenziale ma non può essere vero. Hamilton ha dimostrato, molto tempo fa, che un sistema di l'algebra con lo stesso comportamento esteriore può essere definito che manca di riferimenti a $$ .
In effetti esiste un modo naturale di pensare alla meccanica quantistica senza utilizzare numeri complessi. Questo è strettamente correlato alla formulazione Hamiltoniana-Jacobi (HJ) della meccanica classica e offre una prospettiva interessante sul legame tra meccanica classica e quantistica!
Il formalismo HJ è del primo ordine (!) nel tempo, dove la velocità è data da $$ \ dot {\ boldsymbol x} (t) = \ frac {\ boldsymbol {\ nabla} S (\ boldsymbol x (t), t)} {m} $$ dove $ S $ è chiamata funzione principale di Hamilton, soddisfacente $$ \ boxed {\ partial_t S (\ boldsymbol x, t) = - \ frac {| \ boldsymbol \ nabla S (\ boldsymbol x, t) | ^ 2} {2m} + V (\ boldsymbol x)} \ ;. $$ Controllo di integrità: se il potenziale $ V = 0 $ , possiamo risolvere quest'ultima equazione con $ S ( \ boldsymbol x, t) = \ boldsymbol {k \ cdot x} - \ frac {| \ boldsymbol k | ^ 2} {2m} t $ , con l'equazione del moto che ci da $ \ dot {\ boldsymbol x} (t) = \ frac {\ boldsymbol k} {m} $ .
Prima di generalizzare questo al caso quantistico, è utile osservare che possiamo riscrivere l'equazione del moto in termini di densità $ \ rho (\ boldsymbol x, t) $ come $$ \ boxed {\ partial_t \ rho + \ boldsymbol {\ nabla \ cdot} \ left (\ rho \ boldsymbol v \ right) = 0 \ qquad \ textrm {con} \ boldsymbol v (\ boldsymbol x, t) = \ frac {\ boldsymbol {\ nabla} S (\ boldsymbol x, t)} {m}} \; . $$ Il caso speciale di $ \ rho (\ boldsymbol x, t) = \ delta (\ boldsymbol x - \ boldsymbol x (t)) $ recupera l'equazione precedente. Le due equazioni in scatola precedenti catturano la fisica newtoniana classica.
L'affermazione è che la meccanica quantistica è data dalla stessa equazione di continuità sopra (cioè, la seconda equazione in scatola), ma ora aggiungiamo semplicemente un nuovo termine all'equazione per $ S $ : $$ \ boxed {\ partial_t S (\ boldsymbol x, t) = - \ frac {| \ boldsymbol \ nabla S (\ boldsymbol x, t) | ^ 2} {2m} + V (\ boldsymbol x) + Q (\ boldsymbol x) \ qquad \ textrm {dove} Q (\ boldsymbol x): = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ nabla ^ 2 \ left (\ sqrt {\ rho} \ right)} {\ sqrt {\ rho}}}. $$ Questo nuovo termine è talvolta chiamato "potenziale quantistico". Nota che nel limite $ \ hbar \ to 0 $ , scompare e recuperiamo la fisica classica.
La connessione con l'equazione di Schroedinger? Definisci semplicemente $ \ Psi (\ boldsymbol x, t) = \ sqrt {\ rho} e ^ {i S / \ hbar} $ e puoi controllare che obbedisca l'equazione di Schroedinger. Questa formulazione della meccanica quantistica è quindi anche piuttosto utile per generare approssimazioni semi-classiche. Nel caso fossi curioso di sapere quale sia il caso speciale $ \ rho (\ boldsymbol x, t) = \ delta (\ boldsymbol x - \ boldsymbol x (t)) $ a in questo set-up: descrivono i percorsi delle "variabili nascoste" della rappresentazione di de Broglie-Bohm / onda pilota della meccanica quantistica.