La tua analisi è corretta fino al punto in cui le due velocità sono uguali. Questo è anche il punto in cui la velocità relativa è zero. Ma a questo punto le due sfere si deformano (elasticamente). La forza che agisce sulle due sfere durante l'avvicinamento è una forza elastica. Per quanto piccola sia la deformazione, c'è. Quindi quello che succede ora è che effettivamente i due corpi iniziano a separarsi (la distanza tra loro aumenta) e iniziano a espandersi fino alla forma originale. La forza di interazione inizia a diminuire (non scende a zero istantaneamente). Il lavoro svolto durante questa seconda parte del processo è lo stesso della prima parte, quindi le energie cinetiche e le velocità cambiano di un'altra metà. Questa è la differenza tra collisioni elastiche perfette e non elastiche. Nell'ultimo caso i due corpi non si espandono alla stessa forma (o non si espandono affatto), quindi lo scambio di velocità non è completo.

Potrebbe essere utile immaginare una molla tra i due corpi. Quando le velocità sono uguali, la molla è ancora compressa. In realtà ha la massima compressione. Quindi ovviamente la forza esercitata dalla molla non è nulla quando inizia ad espandersi.

Note: Un bell'esempio è quello di considerare una palla di gomma che rimbalza da un terreno (supponiamo perfettamente elasticamente), in quella situazione c'è anche un punto in cui la velocità relativa con il suolo è zero (quando la palla è momentaneamente ferma con il terra) ma comunque la palla si solleva a causa delle forze elastiche mentre guadagna energia cinetica a causa dell'energia immagazzinata attraverso la deformazione che aveva subito inizialmente.

Ti stai dimenticando della conservazione dell'energia.Devi imporlo

$$ mv = mv_1 + mv_2 $$ e $$ \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1} {2} mv_1 ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_2 ^ 2 $$

E questo viene risolto solo da $ v_1 = 0 $ e $ v_2 = v $.

Penso che quando visualizzi l'impatto, sia una cattiva idea pensare alle palle come oggetti completamente rigidi.Possiamo pensare all'impatto come se tra loro ci fosse una molla priva di massa.Anche quando raggiungono la stessa velocità, la molla continuerà a spingere le palline fino a quando la pallina in arrivo perde tutta la sua velocità e la velocità dell'altra pallina arriva al massimo.Quello sarà il momento in cui perderanno il contatto.

Srisposta breve: Durante la collisione, mentre la prima palla va più veloce della seconda, le palle si stanno comprimendo. Quando la seconda palla inizia a muoversi velocemente come la prima, le palle iniziano a non comprimersi, allontanandole. Una volta separati completamente, si muovono a velocità diverse.

M risposta media:

La prima metà della collisione spinge i billardi insieme e li deforma, e nella seconda metà della collisione, l'energia immagazzinata nella deformazione viene rilasciata di nuovo in energia meccanica, e i billardi si deformano e si allontanano, risultando in diversi velocità. I biliardi sono "elastici", o come le molle: quasi tutta l'energia che viene deformata viene immagazzinata e rilasciata meccanicamente.

Questa deformazione elastica è lo stesso motivo per cui quando lanci un biliardo contro un muro, non si attacca al muro; rimbalza indietro. I materiali anelastici, come una palla di Play-Doh, si attaccheranno al muro. (O altre palle di Play-Doh.)

Long risposta: Inoltre, le risposte precedenti, puoi raggiungere il risultato matematicamente con leggi fisiche e un presupposto.

Un risultato delle leggi di Newton è la conservazione della quantità di moto

$$ m_a \ mathbf {v_ {a1}} + m_b \ mathbf {v_ {b1}} = m_a \ mathbf {v_ {a2}} + m_b \ mathbf {v_ {b2}} $$

In questo caso, $ \ mathbf {v_ {b1}} = \ mathbf {0} $ e $ m_a = m_b $ , quindi

$$ \ mathbf {v_ {a1}} = \ mathbf {v_ {a2}} + \ mathbf {v_ {b2}} $$

Ovviamente, ci sono molti valori che soddisfano questa equazione. Quindi dobbiamo aggiungere un'altra legge fisica: la Legge di Conservazione dell'Energia. (Presupposto: la rotazione delle palline è trascurabile.)

$$ \ frac {m_a \ mathbf {v_ {a1}} ^ 2} {2} + \ frac {m_b \ mathbf {v_ {a1}} ^ 2} { 2} = \ frac {m_a \ mathbf {v_ {a2}} ^ 2} {2} + \ frac {m_b \ mathbf {v_ {b2}} ^ 2} {2} + \ Delta H $$ $$ \ mathbf {v_ {a1}} ^ 2 = \ mathbf {v_ {a2}} ^ 2+ \ mathbf {v_ {b2}} ^ 2 + \ frac {2 \ Delta H} m $$

Poiché i billardi sono elastici, nessuna energia viene convertita in calore (questo infatti è ciò che si intende per elastico ... potresti approfondire la scienza dei materiali e scoprire esattamente di cosa la chimica dei biliardi causa questa proprietà, ma alla fine della giornata, i biliardi sono elastici, come palle o molle rimbalzanti), e

$$ \ mathbf {v_ {a1}} ^ 2 = \ mathbf {v_ {a2}} ^ 2+ \ mathbf {v_ {b2}} ^ 2 $$ $$ \ mathbf {v_ {a1}} ^ 2 = (\ mathbf {v_ {a1}} - \ mathbf {v_ {b2}}) ^ 2+ \ mathbf {v_ { b2}} ^ 2 $$ $$ \ mathbf {v_ {a1}} ^ 2 = \ mathbf {v_ {a1}} ^ 2 - 2 \ mathbf {v_ {a1}} \ mathbf {v_ {b2} } + \ mathbf {v_ {b2}} ^ 2 + \ mathbf {v_ {b2}} ^ 2 $$ $$ \ mathbf {v_ {a1}} \ mathbf {v_ {b2}} = \ mathbf {v_ {b2}} ^ 2 $$

Per una collisione diretta, $ \ mathbf {v_ {a1}} $ e $ \ mathbf {v_ {b2}} $ sono paralleli, quindi

$$ | \ mathbf {v_ {a1}} || \ mathbf {v_ {b2}} | = | \ mathbf {v_ {b2}} | ^ 2 $$

Poiché i billard non possono attraversarsi l'un l'altro $ \ mathbf {v_ {b2}} \ neq 0 $ , e quindi $ \ mathbf {v_ {b2}} = \ mathbf {v_ {a1}} $ .

Notare che questo risultato dipende dal presupposto $ \ Delta H = 0 $ ; cioè la deformazione delle sfere ha convertito il 100% dell'energia dalla deformazione in energia meccanica. Cioè una collisione elastica .,

Vediamolo da un diverso quadro di riferimento e utilizziamo un semplice modo di pensare relativistico:

Considera un sistema di riferimento che ha l'origine $ (0,0) $ nel punto medio tra le 2 palline e si muove con velocità $ \ frac {v} {2} $ nella stessa direzione della prima palla.

Quindi, in questo sistema di riferimento, entrambe le palline si muovono con velocità $ \ frac {v} {2} $ .In questo quadro di riferimento la situazione è simmetrica, quindi anche il risultato deve essere simmetrico: entrambe le palline rimbalzeranno e retrocederanno con la stessa velocità (o passeranno l'una attraverso l'altra, cosa non possibile) per conservare lo slancio.

Quando torniamo al quadro di riferimento originale, questo ci dà la palla che si muoveva inizialmente mentre ora rimaneva a riposo, e la palla che prima era a riposo si muoveva con velocità $v $ .

Le collisioni tra le palle da biliardo sono essenzialmente collisioni elastiche. Sebbene le palle da biliardo sembrino rigide, sono più o meno elastiche: il materiale risponde alla sollecitazione di compressione (pressione) con una certa quantità di tensione elastica (deformazione). Quella varietà immagazzina energia; si lavora per deformare il materiale, che viene rilasciato quando lo stress viene rimosso e il materiale ripristina la sua forma originale. La tensione è minima, ma è diversa da zero e, ad eccezione di materiali forse esotici o teorici, nessun materiale è perfettamente elastico, quindi un po 'di energia andrà persa dalla collisione. Tuttavia, le palle da biliardo sono una buona approssimazione della collisione elastica.

Sia la quantità di moto che l'energia devono essere conservate nella collisione. L'energia della collisione proviene dalla velocità relativa tra le due sfere; conservazione di questa energia significa che l'entità di questa velocità relativa deve essere la stessa dopo la collisione di prima. L'unico modo per soddisfare questa condizione e la conservazione della quantità di moto è che tutta la velocità della palla che colpisce viene trasferita alla palla colpita, la palla che colpisce si ferma.

Le collisioni tra vere palle da biliardo su una vera superficie di gioco sono più complicate per tutti i motivi. Eccone solo alcuni:

• Una palla che rotola ha sia il momento lineare del suo movimento lungo il tavolo che il momento angolare del suo tiro, quindi la palla che colpisce può "seguire" la palla colpita. La collisione trasferisce principalmente il momento lineare, quindi mentre la palla che colpisce dovrebbe inizialmente fermarsi dopo la collisione, il suo momento angolare può farla ricominciare a rotolare in avanti mentre "guida" contro la superficie di gioco.
• Il "clic" della collisione è l'energia acustica irradiata dalle sfere in collisione;quell'energia proveniva dall'energia cinetica della palla in movimento ed è scomparsa dal "sistema" (le due sfere in collisione).Nel mondo reale, è minuscolo e praticamente irrilevante, ma è solo un esempio dei molti modi in cui la collisione elastica è imperfetta.
• La superficie di gioco impone la resistenza a qualsiasi palla in movimento.Se la palla sta scivolando, l'attrito fa sì che la palla rallenti e inizi a rotolare.Se la palla sta rotolando, resiste al rotolamento.Se una palla gira in un punto, inizierà a muoversi in una certa direzione (a seconda dell'orientamento del suo asse di rotazione).Se così non fosse, il movimento delle palle non si fermerebbe mai.

L'arresto della palla che colpisce un'altra palla dipende dall'elasticità delle palle o anche di una delle due palle. Se le palline sono molto dure come se fossero di legno o di metallo, quando una pallina ne colpisce un'altra non c'è "tempo di attesa" per il trasferimento di energia cinetica dall'una all'altra. È quasi istantaneo e quindi una palla trasferisce quasi tutta la sua energia cinetica alla palla che colpisce. Quindi la palla "quasi" si ferma.

Ad es. Culla di Newton

Questo non è il caso delle sfere elastiche.

Considera due palline di gomma uguali,

Quando la palla A colpisce B, la forma di A cambia a causa dell'inerzia della palla B e anche per la sua stessa elasticità. Quando la palla A si rilassa, trasferisce la sua energia cinetica alla palla B meno l'attrito interno nella palla A dovuto al cambiamento di forma e ad altre perdite di attrito esterne. Ora la palla B si deforma un po 'a causa della spinta della palla A (ulteriore spreco di energia) e avanza spingendo sulla palla A quando si rilassa + l'energia impartita dall'urto stesso.

Ora il destino della palla A è che può spostarsi in avanti utilizzando la poca energia rimasta dopo la collisione o rotolare all'indietro a seconda della forza con cui ha colpito l'altra palla.

E sembra ancora più impossibile che la palla 1 si fermi completamente e la palla 2 esca alla velocità originale della palla 1.

Cosa mi manca?

Se le palline A e B nella foto sopra erano rigide,

La palla B non si spegne nella "velocità originale", può essere vicina alla velocità originale ma mai alla velocità della palla A stessa.

E la palla A si ferma a causa del trasferimento quasi totale di energia cinetica.

Spero che questo aiuti.