Poiché molte persone sembrano avere idee molto strane al riguardo, affrontiamo il problema da un punto di vista molto più semplice.
Supponiamo che tu abbia un amico che conosce solo la matematica a livello di aritmetica degli interi positivi. Cerchi di parlargli dell'esistenza di numeri negativi e lui ti dice,
È stupido, ovviamente non esistono numeri "negativi", come posso misurare qualcosa di così stupido? Puoi avere una mela negativa? No, non puoi. Posso esserti debitore di una mela positiva, ma chiaramente non esistono mele negative.
Come puoi iniziare a sostenere che esistono i numeri negativi?
Un primo passo molto potente è la coerenza matematica. Puoi elencare tutte le proprietà astratte che ritieni caratterizzino tutto ciò che riguarda l'aritmetica dei numeri interi positivi:
- Per tutti $ a, b, c $, $ a (b + c) = ab + ac $
- Per tutti $ a, b $, $ a + b = b + a $, $ ab = ba $
- Esiste un numero, chiamato $ 0 $, tale che, per all $ a $, $ a + 0 = 0 + a = a $, $ a0 = 0a = 0 $
- Esiste un numero, chiamato $ 1 $, tale che, per tutti $ a $, $ 1 a = a1 = a $
(si noti che, in netto contrasto con il caso dei numeri reali, la prima proprietà può essere dimostrata per induzione e non è necessario che sia un assioma. Allo stesso modo, altre le proprietà elencate possono essere dimostrate da altre designate come più basilari se lo si desidera, cosa che non può essere eseguita nel caso dei reali.)
Quindi, una volta che entrambi siete d'accordo che questi assiomi caratterizzano gli interi positivi completamente, puoi mostrare che questi ipotetici numeri negativi, in base alle loro proprietà formali, sono coerenti con gli assiomi di cui sopra. Cosa mostra questo?
Gli interi positivi, con l'aggiunta degli interi negativi, possono fare da soli almeno quanto gli interi positivi.
( STOP A questo punto, fermati per capire quanto potente sia questo vincolo !! In quanti altri modi si potrebbe generalizzare l'aritmetica, a questo livello , a qualcos'altro che sia coerente con le proprietà che desideri? Zero. Non c'è assolutamente nessun altro modo per farlo. Questo è incredibilmente suggestivo, e dovresti tenerlo a mente per il resto dell'argomento del cartone animato e vedere come ogni argomento che segue è segretamente un aspetto di questo!)
Il tuo amico risponde:
Certo, puoi scrivere modelli di giocattoli in questo modo, e potrebbero essere coerenti , ma non corrispondono alla realtà.
Cos'altro devi dimostrare al tuo amico per convincerlo della validità dei numeri negativi?
Trovi qualcos'altro che possono fare che non puoi fare solo con i numeri positivi. Semplicemente, puoi affermare che ogni equazione algebrica con valori interi positivi non ha una soluzione:
$$ x + 1 = 0 $$
non ha una soluzione.
Ma è un fatto banale che l'estensione ai numeri negativi ti permetta di risolvere tali equazioni. Quindi, tutto ciò che resta per convincere il tuo amico della validità dei numeri negativi è dimostrare che ciò equivale a risolvere un problema diverso ("a priori") che coinvolgeva solo l'aritmetica dei numeri interi positivi:
$$ x + 1 = 0 \ iff y + 1 = 1 $$
Quindi, $ y = 0 $ e $ y = x + 1 $ è equivalente all'altro problema .
Per essere completi, dobbiamo anche considerare i problemi che sono "unici" per i negativi, come $ (- 1) (- 1) = 1 $, ma nel regno degli interi, questi sono questioni banali riducibili a quanto sopra. Anche nel caso dei reali, date le altre cose che abbiamo mostrato, queste conseguenze sono quasi "garantite" per funzionare in modo intuitivo ovviamente.
Ora, supponendo che il tuo amico sia una persona ragionevole e logica, lui deve ora credere nella validità dei numeri negativi.
Cosa abbiamo dimostrato?
- Coerenza, sia con i modelli precedenti che con se stessa
- La capacità di risolvere nuovi problemi
- La riduzione di alcuni problemi nella nuova lingua a problemi nella vecchia lingua
Ora, per decidere se questo è un buon modello per un particolare sistema, devi guardare al sottoinsieme di problemi che prima non avevano una soluzione e vedere se il nuovo le proprietà caratterizzano quel sistema. In questo caso, è banale, perché le proprietà dei numeri negativi sono così ovvie. Nel caso di applicare cose più complicate per descrivere i dettagli di situazioni fisiche, è meno ovvio, perché la struttura della teoria e degli esperimenti non è così semplice.
Come si applica alla teoria delle stringhe ? Cosa dobbiamo mostrare per convincere una persona ragionevole della sua validità? Seguendo l'argomento di cui sopra, sostengo:
- La teoria delle stringhe riproduce (per costruzione) la relatività generale
- La teoria delle stringhe riproduce (per costruzione) la meccanica quantistica (e per quanto sopra, quantum teoria dei campi)
Quindi la teoria delle stringhe è valida almeno quanto il resto dei fondamenti della fisica. Fermati di nuovo a meravigliarti di quanto sia potente questa affermazione! Realisticamente, quanti modi ci sono per scrivere in modo coerente e non banale una teoria che si riduce a GR e QFT? Forse più di uno, ma sicuramente non molti!
Ora la domanda è: che novità impariamo? Quali ulteriori vincoli otteniamo dalla teoria delle stringhe? Quali problemi in GR e QFT possono essere utilmente scritti come problemi equivalenti nella teoria delle stringhe? Quali problemi può risolvere la teoria delle stringhe che sono totalmente al di fuori del regno di GR e QFT?
Solo l'ultimo di questi è oltre la portata degli esperimenti attuali. Il regno "naturale" in cui la teoria delle stringhe domina il comportamento di un esperimento è è a energie molto elevate o, equivalentemente, a distanze molto brevi. Semplici calcoli mostrano che queste regioni ingenue sono ben al di fuori del rilevamento diretto da parte degli esperimenti attuali. (Nota che nell'esempio sopra di numeri negativi, la validità della "teoria" strettamente nel regno corrispondente non ha bisogno di essere indirizzata direttamente per fare un argomento molto convincente; fermati a riflettere sul perché!)
Tuttavia, i "problemi" teorici con le teorie precedenti, come la perdita di informazioni da un buco nero, possono essere risolti con la teoria delle stringhe. Sebbene questi non possano essere verificati sperimentalmente, è molto suggestivo che ammettano la soluzione attesa oltre a riprodurre le giuste teorie nei giusti limiti.
Ci sono due principali successi della teoria delle stringhe che soddisfano gli altri due requisiti.
AdS / CFT ci consente di risolvere puramente problemi di teoria dei campi in termini di teoria delle stringhe. In altre parole, abbiamo risolto un problema nella nuova lingua che potevamo già risolvere nella vecchia lingua. Un vantaggio qui è che ci consente di risolvere il problema precisamente in un dominio in cui la vecchia lingua era difficile da trattare.
La teoria delle stringhe inoltre vincola e specifica lo spettro e le proprietà delle particelle a basse energie . In linea di principio (e nei calcoli dei giocattoli), ci dice tutti gli accoppiamenti, generazioni di particelle, specie di particelle, ecc. Non conosciamo ancora una descrizione nella teoria delle stringhe che ci dia esattamente il Modello Standard, ma il fatto che limiti la fenomenologia a bassa energia è un'affermazione piuttosto potente.
In realtà, tutto ciò che resta da considerare per convincere un lettore molto scettico è che una delle seguenti cose è vera:
- È possibile per la teoria delle stringhe riprodurre il Modello Standard (ad esempio, ammette soluzioni con i gruppi di gauge corretti, fermioni chirali, ecc.)
- È non è possibile per la teoria delle stringhe riprodurre il Modello Standard (ad esempio, non c'è modo di scrivere teorie chirali, non ammette i gruppi di gauge corretti, ecc. Questo è il caso, ad esempio, di Kaluza-Klein modelli.)
Affermo, e generalmente si crede (per ottime ragioni), che la prima di queste sia vera. Non esiste una prova matematica formale, completa e matematica che sia così, ma non c'è assolutamente alcun accenno che qualcosa vada storto e possiamo ottenere modelli molto simili al modello standard. Inoltre, si può dimostrare che tutte le caratteristiche di base del Modello Standard, come i fermioni chirali, il giusto numero di generazioni, ecc., Sono coerenti con la teoria delle stringhe.
Possiamo anche chiederci cosa sarebbe intendi se la teoria delle stringhe fosse sbagliata? In realtà, questo segnalerebbe che,
-
La teoria era matematicamente incoerente (non c'è motivo di crederlo)
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A un livello fondamentale, sia la meccanica quantistica che la relatività hanno fallito in qualche modo abbastanza patologico, come una violazione dell'invarianza di Lorentz o dell'unità. Ciò indicherebbe che una teoria del tutto apparirebbe radicalmente diversa da qualsiasi cosa scritta finora; questa è un'affermazione molto precaria: considera cosa accadrebbe nell'esempio di aritmetica di cui sopra se ci fosse qualcosa di "sbagliato" con l'aggiunta.
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La teoria è coerente e una generalizzazione di GR e QFT, ma in qualche modo non è una generalizzazione nel giusto "limite" in un certo senso. Ciò accade, ad esempio, nella teoria di Kaluza-Klein, dove i fermioni chirali non possono essere scritti correttamente. In tal caso, una soluzione è suggerita anche da un'analisi sufficientemente attenta (ed è un potenziale modo per arrivare alla teoria delle stringhe).
Di queste tre possibilità, le prime due sono estremamente improbabili. Il terzo è più probabile, ma dato che è noto che tutte le funzionalità di base possono essere visualizzate, sembrerebbe molto strano se potessimo riprodurre quasi ciò che vogliamo, ma non del tutto. Sarebbe come, nell'esempio aritmetico, essere in grado di riprodurre tutte le proprietà che vogliamo, tranne $ 1 + (-1) = 0 $.
Se stai attento, puoi formulare il mio argomento in modo più formale, in termini di cosa significhi precisamente avere una generalizzazione coerente, nel senso di logica simbolica formale, se si vuole, e vedere cosa deve "fallire" perché sia vero il contropositivo dell'argomento. (Cioè, (roba) => le stringhe sono vere, quindi ~ strings => ~ (roba), quindi decomprimere le possibilità di cosa ~ (roba) potrebbe significare in termini di componenti!)