L'equazione differenziale per un pendolo è

$$ \ ddot {\ phi} (t) = - \ frac {g} {l} \ cdot \ sin {\ phi (t)} $$

Se risolvi questo problema, otterrai $$ \ omega = \ sqrt {\ frac {g} {l}} $$ o $$ T_ {1/2} = \ pi \ sqrt {\ frac {l} {g}} $$ $$ g = \ pi ^ 2 \ frac {l} {T_ {1/2} ^ 2} $$

Se definisci un metro come la lunghezza di un pendolo con $ T_ {1/2} = 1 \, \ mathrm {s} $ questo ti porterà inevitabilmente a $ g = \ pi ^ 2 $.

Questo è stato effettivamente proposto, ma l'Accademia francese delle scienze ha scelto di definire un metro come un decimilionesimo della lunghezza di un quadrante lungo il meridiano terrestre. Consulta l'articolo di Wikipedia sul contatore. Che questi due valori siano così vicini tra loro è pura coincidenza. (Beh, se non si tiene conto del fatto che l'Accademia francese delle scienze avrebbe potuto scegliere qualsiasi frazione del quadrante e probabilmente ne ha presa una corrispondente al secondo pendolo.)

Inoltre, $ \ pi $ ha lo stesso valore in ogni sistema di unità, perché è solo il rapporto tra il diametro di un cerchio e la sua circonferenza, mentre $ g $ dipende dalle unità di lunghezza e tempo scelte.

È fastidiosamente poco chiaro fino a che punto sia una coincidenza, ma in ogni caso non è completamente una coincidenza.

Come puoi vedere ad es. l'articolo di Wikipedia sul contatore, un'unità quasi uguale al metro ma derivata da un pendolo fu proposta per la prima volta nel 1670 e l'idea era nell'aria quando la rivoluzionaria Francia decise di creare un nuovo set di unità.

Questa unità derivata dal pendolo, se adottata, avrebbe reso $ g $ uguale a $ \ pi ^ 2 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 $ per definizione . La prova di ciò è molto semplice e può essere trovata in altre risposte qui, quindi non la ripeterò.

(Quindi, se quella definizione fosse stata adottata, la risposta alla domanda qui sarebbe un sì inequivocabile.)

Ecco un collegamento a una traduzione in inglese del rapporto della commissione nominata dall'Accademia delle scienze francese. Spiegano che la definizione basata sul pendolo è molto carina ma ha lo svantaggio di dipendere dal secondo che è un'unità piuttosto arbitraria. Così invece propongono di prendere $ 10 ^ {- 7} $ di un quarto di meridiano della terra.

Ora, questa unità che hanno adottato è (1) quasi esattamente uguale all'unità basata sul pendolo, ma anche (2) derivata in modo evidentemente semplice dalle dimensioni del nostro pianeta. Quindi è sovradeterminato. Borda, Lagrange, Laplace, Mongé e Condorcet (davvero un elenco impressionante di nomi, a proposito!) Hanno scelto la particolare definizione basata sulla terra che hanno fatto perché della sua vicinanza alla definizione basata sul pendolo, o no? Questo è ciò che è fastidiosamente poco chiaro.

Trovo due utili indizi nella loro relazione. Puntano in direzioni opposte.

In primo luogo, dicono

adottando l'unità di misura che abbiamo proposto, si può formare un sistema generale, in cui tutte le divisioni possono seguire la Scala aritmetica, e nessuna parte di essa mette in imbarazzo i nostri usi abituali: diremo solo che questa la decimilionesima parte di un quadrante del meridiano che costituirà la nostra comune unità di misura non differirà dal semplice pendolo ma circa centoquarantacinque parte; e che così l'una e l'altra unità conducono a sistemi di misura assolutamente simili nelle loro conseguenze.

il che rende chiaro che sapevano quanto fossero vicini i due e furono felici di approfittarne. Ma, secondo, dicono

Potremmo, infatti, evitare quest'ultimo inconveniente prendendo per unità l'ipotetico pendolo che dovrebbe produrre una sola vibrazione in un giorno, una lunghezza che divisa in diecimila milioni di parti darebbe un'unità di misura comune, di circa ventisette pollici; e questa unità corrisponderebbe a un pendolo che dovrebbe produrre centomila vibrazioni in un giorno: ma rimarrebbe comunque l'inconveniente di ammettere un elemento eterogeneo, e di impiegare il tempo per determinare un'unità di lunghezza, o che è lo stesso in questo caso , l'intensità della forza di gravità sulla superficie terrestre.

quindi erano chiaramente preparati a sostenere la possibilità di un'unità in qualche modo diversa, e l'argomento che danno contro questa non ha nulla a che fare con il suo disaccordo con l'unità basata sul pendolo che è così vicina al metro.

(Anche se ... se avessero finito per optare per quella definizione, avrebbero anche potuto proporre di ridefinire la seconda in $ 10 ^ {- 5} $ giorni, nel qual caso avrebbero nuovamente guadagnato $ g = \ pi ^ 2 $ per definizione.)

Penso che il primo di questi passaggi sia sufficiente per chiarire che it non è una coincidenza totale, che $ g \ simeq \ pi ^ 2 $.Borda et al sapevano che la loro definizione era vicina a quella basata sul pendolo e hanno offerto questo fatto come una ragione (minore) per accettarlo.Ma penso che il secondo sia sufficiente per suggerire che it avrebbe potuto facilmente essere altrimenti : la mia sensazione è che se la definizione basata sulla lunghezza del meridiano fosse stata, diciamo, del 5% diversa da quella basata sul pendolo, l'avrebbero comunque preferita.

Nei commenti sottostanti, l'utente Pulsar ha trovato un articolo interessante su questo argomento le cui conclusioni sono più o meno le mie: sembra proprio che il secondo basato sul pendolo fosse una motivazione per la scelta di $ 1/ (4 \ times10 ^ {7}) $ di un grande cerchio meridionale, ma qui nulla è del tutto chiaro e dobbiamo fare affidamento su congetture sulle motivazioni degli scienziati coinvolti.

Oltre alla risposta di Anedar, cercherò di affrontare le cose da una prospettiva più ampia.

Quando hanno creato il sistema di unità SI, hanno scelto unità convenienti per gli esseri umani. Da un punto di vista scientifico, avrebbe senso utilizzare ad esempio unità gaussiane, ma per l'uomo della strada è più utile che le unità siano più o meno d'accordo con le cose che gli esseri umani incontrano nella vita quotidiana.

Quindi, per una scala di lunghezza, vuoi qualcosa che abbia all'incirca le stesse dimensioni di un corpo umano. E per una scala temporale, vuoi qualcosa che rappresenti approssimativamente la velocità con cui gli esseri umani possono contare.

Nell'unità SI, il metro e il secondo sono stati scelti in modo tale che:

• 1 m è all'incirca la distanza tipica della gamba di un adulto.
• 1 s è all'incirca il tempo necessario per compiere due passaggi.

Poiché esiste una relazione tra la lunghezza delle gambe, il tempo tra i passi e la gravità, ciò corrisponde a una costante di gravità in questo sistema di unità di circa $ \ pi ^ 2 $.

Avrebbero potuto scegliere diverse unità antropocentriche. Il metro avrebbe potuto essere definito due volte più lungo o due volte più corto e il secondo avrebbe potuto essere definito due volte più lungo o due volte più corto. Ma non un fattore mille in più o in meno, quindi non sarebbe stato accettato dalla comunità, perché le unità sarebbero state molto scomode.

Quindi sostengo che su ogni pianeta con vita che ha sviluppato un sistema di unità, la loro costante di gravità locale nel loro sistema di unità è compresa tra 1 e 100.

(Questa risposta spiega perché il valore numerico di $ g $ in unità SI non è 10000000. Non spiega perché il valore numerico di $ g $ in unità SI non è 13.)

$ g $ è un valore con unità e $ \ pi $ è un numero adimensionale.Se consideri un sistema di unità che utilizza miglia, giorni e grammi come unità di lunghezza, tempo e massa, puoi vedere che $ g $ sarà molto diverso.

Supponiamo che i valori di metro e secondi siano fissi.L'equazione per mezzo periodo nella risposta di Anedar $$ T_ {1/2} = \ pi \ sqrt {\ frac {l} {g}} $$ restituirebbe i valori di $ \ pi ^ 2 $ e $ g $ aessere uguale se si misura un pendolo lungo un metro per completare mezzo periodo in 1 secondo.

Basta semplicemente trovare un posto sulla terra in cui questo sarebbe il caso poiché $ g $ non è realmente una costante.In quel punto si misurerebbe davvero $ g = \ pi ^ 2 $.Quindi in quel posto sarebbe una coincidenza.

$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad $ $ ~ \ pi ^ 2 \ approx g ~ $ è una coincidenza?

Alcuni hanno risposto sì , altri hanno detto no e altri ancora hanno considerato entrambi $ (!) $ Come opzioni perfettamente praticabili. Personalmente, non posso fare a meno di ridere, poiché questa domanda mi ricorda il famoso disco di Newton , che si può dire sia bianco che colorato allo stesso tempo, a seconda che è in rotazione o è fermo. Per aggiungere ancora di più alla già mistificante nebbia di confusione, con la presente mi avventurerò ancora un quarto parere :

$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ quad $ Non lo sappiamo e non lo sapremo mai!

Certo, una simile affermazione, se presa per valore nominale, apparirebbe senza dubbio come un empio affronto al celebre adagio di Hilbert , wir mussen wissen, wir werden wissen , ma prima che qualcuno mi accusi di abbracciare il pessimismo filosofico o l'agnosticismo epistemologico, lascia che ti assicuri, caro lettore, che questo è semplicemente non il caso; piuttosto, sto basando questa breve affermazione puramente su basi matematiche. Fondamentalmente, ci sono quattro modi principali in cui è possibile creare un'unità di misura, che sia sia pratica che antropocentrica, oltre che universalmente significativa, allo stesso tempo $ ($ per non parlare riproducibile $) $ :

• la lunghezza del pendolo con un semiperiodo esattamente di un secondo , poiché la lunghezza di un pendolo con mezzo periodo di un minuto sarà eccessivamente lungo;

• decimilionesimo , centomilionesimo , o anche miliardesimo parte di entrambi un meridiano terrestre, o l'equatore della Terra, poiché anche le altre due opzioni adiacenti, cioè milionesimo e decimilionesimo , sarebbero anch'esse grande o troppo piccolo;

• la distanza percorsa dalla luce nell' centomilionesimo , nel miliardesimo miliardesimo , o anche nell' decimilionesimo parte di un secondo; ancora, le altre due opzioni adiacenti, cioè la parte dieci milionesima e la parte cento miliardesima , sarebbero troppo lunghe o troppo corte;

• la lunghezza di un cosiddetto terzo $ ($ cioè, la sessantesima parte di un secondo $) $ del meridiano terrestre o equatore.

Naturalmente, qualcuno potrebbe, a questo punto, essere facilmente tentato di dire che ho commesso un abuso orribile e imperdonabile enumerando scrupolosamente tutti quei poteri di dieci sopra elencati, poiché il sistema metrico, come lo abbiamo oggi, è coincidenza decimale, ma tale non sarebbe stato necessariamente il caso, dato un corso alternativo della storia umana $ ($ quindi, per esempio, se si dovesse prendere la distanza percorsa dalla luce in $ 10 ^ {-9} $ secondi, una lunghezza del genere avrebbe potuto essere facilmente interpretata come rappresentativa di un "nuovo piede", da suddividere ulteriormente in $ 12 $ "nuovi pollici", ottenendo in definitiva un "nuovo cantiere" di $ 0,9 $ metri $) $.

Ora, la sorpresa scioccante, che ha sbalordito molti al momento della sua prima scoperta, e lo fa ancora oggi, è la seguente : il rapporto tra le prime tre unità è $ 1: 4: 3 $, quasi esattamente , l'assoluta "gentilezza" dei numeri implicava che fosse assolutamente inquietante, per non dire molto . $ ($ Mi vengono in mente anche spettrali, stimolanti, stimolanti, sconcertanti e ipnotizzanti $) $. Aggiungendo la beffa al danno, come recita il proverbio, notiamo anche che il doppio del valore di quest'ultima unità, che rappresenta la $ 3 ~ 600 ^ \ text {th} $ parte di un miglio nautico, equivale a $ 103 $ centimetri, con un errore di inferiore a $ \ pm1 $ millimetro ; A proposito, la millesima parte di un miglio nautico è anche vistosamente vicina alla lunghezza di un braccio, misurando la distanza tra la punta delle dita delle braccia tese di un uomo.

Inoltre, anche se si dovesse intenzionalmente uscire dalla propria strada e cercare intenzionalmente di evitare le due coincidenze di cui sopra, dividendo $ ($ ripetutamente $) $, basato esclusivamente su principi di teoria dei numeri, il suddetto non- unità metrica in, diciamo, settimi, $ ($ poiché le potenze di tutti gli altri numeri primi precedenti appaiono già abbondantemente nella sua creazione sessagesimale $) $, si arriverebbe alla strana conclusione che si somma a $ 5,4 $ metri, con un errore di meno di mezzo millimetro .

Per inciso, poiché la coincidenza $ ($ ancora più $) $ vorrebbe, la mia misura personale è di $ 1,8 $ metri quasi esattamente, con un errore di non più di pochi millimetri, rendendo la lunghezza di cui sopra mia personale asta; anzi, sono una persona piuttosto metrica, dal momento che anche la mia altezza supera di poco $ 1,7 $ metri, e non supera $ 171 \ rm ~ cm $ - ma divago $ \ ldots $

Alcune delle relazioni precedenti sono $ ($ facilmente $) $ spiegate $ ($ away $) $ mediante aritmetica di base, come, ad esempio, il fatto che $ 3 \ cdot7 ^ 3 \ simeq2 ^ {10} \ simeq10 ^ 3 $, o $ 2 ^ 7 \ simeq5 ^ 3 \ simeq11 ^ 2 $ e $ 2 ^ 8 \ simeq3 ^ 5 $, gli ultimi due "colpevoli" sono responsabili della bellissima approssimazione $ 3000_ {12} \ simeq5000_ { 10} $, o, in modo equivalente, $ 12 ^ 4 \ simeq2 \ cdot10 ^ 4 $, che mettono in relazione migliaia e miriadi duodecimali con le loro controparti decimali; altri, invece, sono $ ($ molto $) $ più difficili da dissipare. Tuttavia, questo è precisamente ciò che ci sforzeremo di ottenere!

Affrontiamoci quindi senza paura alla più maestosa di tutte le coincidenze sopra elencate e allegramente $ ($ e senza pietà $) $ smascherare la vita fuori di essa $ - $ in il nome della scienza! : - $) $

Ora, per come la vedo io, se il rapporto in questione fosse veramente $ 3: 4 $, dividendo la distanza percorsa dalla luce in un giorno $ ($ poiché questo è il la più piccola unità di tempo presente in natura che è anche facilmente osservabile dall'uomo $) $ alla lunghezza di un meridiano terrestre dovrebbe fornire un risultato di esattamente $ 648 ~ 000. ~ $ Tuttavia, impiegando il più accurato misurazioni note fino ad oggi, vale a dire quella di $$ c = 299 ~ 792 ~ 458 ~ \ rm \ dfrac ms ~, $$ e un quarto di meridiano terrestre essendo $ \ ell \ simeq10 ~ 001 ~ 965 ~. ~ 7293 \ rm ~ m $, alla fine arriviamo alla cifra noiosa e poco interessante di $ ~ \ dfrac {24 \ cdot60 ^ 2 \ cdot c} \ ell ~ \ simeq ~ 647 ~ 424 ~ \ dfrac49, ~ $ che è circa $ ~ 575 ~ \ dfrac59 ~ $ volte inferiore al previsto.

In altre parole, di valorizzando la risoluzione delle nostre lunghezze e rapporti, i fantasmi delle superstizioni moderne vengono distrutti per sempre alla fredda luce del giorno da il potere della ragione, e le nostre menti possono finalmente stai certo che l'intera faccenda non era altro che un tempesta in una teiera ,
o molto rumore per nulla , come Shakespeare ha detto così meravigliosamente tutti quei secoli fa! Ora
tutto ciò che resta da fare è pregare nessuno si accorge che il rapporto precedente può essere espresso anche come $ 27 ~ 27 \ rm ~ BB $ in base $ 12 $, con un errore di meno di una unità e mezza. : - $) $

In una nota più seria, tutto si riduce ai divisori $ ($ solitamente potenze di $ 2, ~ 3, $ e $ 5) $ e ai sistemi di numerazione. $ - ~ $ Non è ? $ \ Ldots $ Nelle parole di Thomas More, confido di rendermi oscuro . : - $) $

Pi è invariante nella maggior parte dei sistemi di geometria newtoniana.g tuttavia cambia drasticamente in tutto il pianeta così come quando cambi unità.Ma se ti piacciono le coincidenze, ci sono circa π * 10 ^ 7 sec / anno.

Data la nostra conoscenza della fisica, questa deve essere sicuramente una coincidenza.

$ \ pi $ nasce dall'indagine di alcune relazioni matematiche. Consideriamo il rapporto tra il raggio e la circonferenza di un cerchio: questa non è l'occorrenza più interessante di $ \ pi $ (le relazioni studiate da Eulero e successive sono talvolta considerate più degne di nota) ma è un bell'esempio semplice.

Il cerchio è un insieme di punti equidistanti da un'origine. I vincoli consentono solo una singola disposizione di tali punti in determinati tipi di spazio. $ \ pi $ caratterizza questa disposizione unica. Notate come si sia arrivati ​​a questo con un ragionamento puramente matematico, senza alcun ricorso al mondo fisico. Alieni in un universo parallelo completamente diverso, o demoni all'inferno, avrebbero potuto ragionare allo stesso modo e scoprire lo stesso $ \ pi $, indipendentemente da quanto diverse siano le leggi fisiche che li governano. La matematica ignora la realtà, non si preoccupa di ciò che accade nel cosiddetto mondo reale. È solo una deduzione logica delle conseguenze derivanti da un insieme di assiomi.

Accade così che $ \ pi $ possa essere osservato sperimentalmente, ad esempio costruendo cerchi senza fili. Ma qui c'è una causalità molto distorta: il filo metallico mostra $ \ pi $ perché il nostro mondo è come l'ideale platonico dello spazio euclideo , non il contrario. Anche se vale la pena notare che c'è ovviamente un motivo per cui Euclide è iniziato con esattamente quel tipo di spazio, e non un altro.

$ g $ nasce dall'azione delle masse l'una sull'altra. Per ragioni poco chiare, il mondo in cui viviamo contiene masse. Il modo in cui si comportano queste masse sembra seguire determinate regole. Queste regole sono state dedotte dall'osservazione del mondo fisico . L'analisi delle regole ha prodotto $ g $.

Gli alieni dell'Universo X, o i demoni dell'inferno, non sono riusciti a trovare $ g $ senza osservare il nostro universo. Con metodi analoghi ai nostri, possono trovare $ g_ {alien} $ o $ g_ {hell} $. Questi possono essere facilmente diversi dal nostro $ g_ {earth} $, ma non è nemmeno proibito eguagliarlo per coincidenza. I numeri non hanno assolutamente nulla a che fare l'uno con l'altro, essendo parti di sistemi fisici disgiunti.

Nota che la fisica stessa è un costrutto astratto, non c'è motivo di credere che l'universo obbedisca alle nostre leggi della fisica, semplicemente non è mai stato osservato agire in contraddizione con quelle leggi che non sono state ancora confutate (la circolarità è significativa). A differenza della matematica, il costrutto della fisica si basa non solo su presupposti a priori , ma anche su osservazioni a posteriori del nostro mondo fisico .

Non devi accettare che $ \ pi_ {earth} = \ pi_ {hell} = \ pi_ {alien} $. Puoi, per esempio, fare l'obiezione inquietante ma ragionevole che la matematica non è altro che un artefatto del cervello umano e non è universale ma a posteriori . In un certo senso questa posizione è debole, perché abbiamo osservato che gli animali hanno una comprensione simile della matematica, ma ovviamente questa è solo una prova circostanziale, non una prova.

Se accetti che $ \ pi_ {earth} = \ pi_ {hell} = \ pi_ {alien} $, essendo che $ \ pi $ si ottiene senza input dal mondo fisico: Allora mentre $ \ pi di tutti $ è necessariamente uguale, $ g $ di tutti non è necessario. Quindi la relazione che osservi sarebbe valida solo nel nostro universo, non nell'inferno o nell'Universo X. In altre parole, il nostro universo "avrebbe potuto facilmente avere" un $ g $ diverso - non è chiaro se le leggi della fisica che conosciamo non avessero scelta ma per essere come sono, o se ci fosse una sorta di lancio di dadi per evocare un mucchio di leggi casuali, e "avremmo potuto" finire con un set diverso. Non è nemmeno chiaro se le leggi abbiano sempre tenuto, o manterranno in futuro. Anche se non li abbiamo mai visti non reggere fino ad ora, tranne quelli che abbiamo fatto, ma non ne parliamo più ...

Si può osservare che mentre la matematica non si preoccupa del mondo, il mondo sembra obbedire alla matematica. Non abbiamo mai osservato che il mondo reale contraddice la logica matematica. Quindi, non è impossibile che un giorno si capirà la vera natura di $ g $, e risulterà avere un'origine geometrica (per esempio), e scopriremo che la tua osservazione è in effetti significativa, non mera coincidenza. Ma per quanto ne so, non esiste alcuna spiegazione geometrica del genere. Dubito che anche questo accadrà mai, perché la relazione funziona solo sulla Terra, e nemmeno ovunque sulla Terra.

Note 1: In questa risposta, ho preso una posizione filosofica riguardo alla natura della matematica, che non è intesa come necessariamente vera. Ci sono valide obiezioni ad esso. Personalmente ritengo che la mia posizione sia prima facie congruente, quindi ho scritto questa risposta. Se hai un concetto di matematica radicalmente diverso, forse puoi dare altre risposte alla tua domanda originale.

Note 2: Non volevo essere cattivo e darti subito la risposta noiosa.Per completezza, eccolo: $ \ pi ^ 2 $ è come $ g $ ... solo se usi metri e secondi, due unità esplicitamente arbitrarie.Nelle unità di Planck la relazione non esiste.In effetti, con le unità giuste, puoi fare in modo che $ g $ sia come $ e $, o la tua età, il tuo codice postale o qualsiasi altro numero che desideri.